यूलर का प्रमेय और कॉब-डगलस

Question

जब मैं कोब-डगलस समीकरण पर यूलर के प्रमेय को लागू करता हूं तो मुझे कॉब-डगलस समीकरण वापस मिलता है। यही है, प्रमेय को लागू करने के बाद कोई बदलाव नहीं है। क्या कोई यह समझा सकता है कि इसका अंतर और बिंदु क्या है, कोई अंतर नहीं?

Comments

गणितीय संचालन एक शून्य में मौजूद नहीं है। आप यूलर के प्रमेय का उपयोग क्यों कर रहे हैं? क्या यह हो सकता है कि कुछ फ़ंक्शन के पूर्ण व्युत्पन्न के बराबर है? कोई यह भी कह सकता है कि को अलग करने का कोई मतलब नहीं है क्योंकि व्युत्पन्न समान है। सच है, जब तक कि किसी को वास्तव में किसी चीज के लिए व्युत्पन्न की आवश्यकता न हो। क्या आप पीएचडी कर रहे हैं? गणित के माध्यम से रटना करने के बजाय यह सोचने की कोशिश करें कि आप क्या और क्यों करेंगे। गणित एक उपकरण मात्र है। $e^x$

— गिस्कार्ड

Answer 1

आप शायद यूलर के सजातीय फंक्शन प्रमेय http://mathworld.wolfram.com/EulersHomogeneousFunctionTheorem.html के बारे में बात कर रहे हैं , जो यह दर्शाता है कि आप अपनी समरूपता के आधार पर किसी फ़ंक्शन को उसके आंशिक व्युत्पन्न में विघटित कर सकते हैं।

तो एक विशिष्ट कॉब डगलस$U(x,y)=x^ay^{1-a}$

यह फ़ंक्शन डिग्री 1 का सजातीय है क्योंकि जब हम एक स्केलर द्वारा प्रत्येक तर्क को गुणा करते हैं:

$U(cx,cy)=(cx)^a(cy)^{1-a}=cx^ay^{1-a}=cU(x,y)$

इसलिए अगर हम इस समारोह में प्रमेय लागू करते हैं तो हमें यह मिलेगा:

$U(x,y)=xU_x+yU_y=xax^{a-1}y^{1-a}+x^ay(1-a)y^{-a}=x^ay^{1-a}$

इसलिए जो परिणाम हमें वापस मिलता है, उसकी मूल उपयोगिता अपेक्षित है।