मुझे स्पिलओवर के कारण अंतर्जात वृद्धि का एक मॉडल मिला है।
$ \ Textbf {मॉडल:} $ $$ K_t = \ frac {1} {n} \ sum_ {t = 1} ^ nk_t $$ इस मॉडल में, $ k_t $ को एजेंटों द्वारा चुना जाता है, और $ K_t = \ bar {k} _t $ (सभी $ k_t $ का औसत)।
अब, एजेंट सक्रिय रूप से अधिकतम उपयोगिता (कुछ बाधाओं के तहत) को अधिकतम करना चाहते हैं और उनके पास सीआरआरए (निरंतर रिश्तेदार जोखिम से बचने) उपयोगिता है, इसलिए अधिकतमकरण जैसा दिखता है: $$ \ sum_ {t = 0} ^ \ infty \ बीटा ^ t \ बिग (\ frac {c_t ^ {1- \ गामा}} {1- \ गामा} \ बिग) $$ $$ s.t \;। Y_t = k_t ^ \ अल्फा (E_tL) ^ {1- \ अल्फा} $$ $$ c_t + i_t = Y_t $$ $$ k_ {t + 1} = (1- \ डेल्टा) k_t + i_t $$ $$ c_t, i_t \ geq0 $$
$ E_tL $ प्रभावी श्रम है और बाकी चर विशिष्ट हैं (यदि अनुरोध किया गया है तो मैं उनकी परिभाषा दे सकता हूं)।
मॉडल के लिए एक अंतिम जोड़ यह है कि दो संतुलन बाधाएं हैं: $$ E_t = \ frac {K_t} {एल} $$ $$ k_t = K_t $$ $ \ Textbf {समाधान:} $
एक यूलर समीकरण दृष्टिकोण का उपयोग करना, उद्देश्य में दो शब्द: $ $ ... \ frac {\ बीटा ^ t [k_t ^ \ अल्फा K_t ^ {1- \ अल्फा} + (1- \ डेल्टा) k_t-k_ {t + 1}] ^ {1- \ "गामा}} { १ / १ गामा} + \ frac {\ बीटा ^ {t + १} [k_ {t + १} ^ \ अल्फ़ा K_ {t + १} ^ {१/१ अल्फ़ा} + (1- \ डेल्टा) k_ {t +1} -k_ {टी + 2}] ^ {1- \ गामा}} {1- \ गामा} ... $$ एफओसी:
w.r.t $ k_ {t + 1} $ और खपत में प्रतिस्थापन:
$ $ \ बीटा ^ tc_t ^ {- \ Gamma} = \ beta ^ {t + 1} c_ {t + 1} ^ {- \ Gamma} [\ अल्फा k_ {t + 1} ^ {\ alpha-1 }___ {t + 1} ^ {1- \ अल्फा} + 1- \ डेल्टा] $$ संतुलन बाधाओं में स्थानापन्न: $ $ c_t ^ {- \ Gamma} = \ beta c_ {t + 1} ^ {- \ Gamma} [\ अल्फा + 1- \ डेल्टा] $ $ $ $ \ _ का अर्थ है \ frac {c_ {t + 1}} {c_t} = [\ Beta (\ Alpha + 1- \ delta)] ^ {\ frac {1} {\ gamma}} $ $ इसका मतलब यह है कि खपत निरंतर दर से बढ़ती है जो वरीयता मापदंडों पर निर्भर करती है।
अगली बात मैं यह साबित करना चाहता हूं कि हमारे पास एक संतुलित विकास पथ है। इसके द्वारा मेरा मतलब है कि सभी चर एक ही स्थिर दर से बढ़ते हैं। $$ \ frac {{k_ t + 1}} {} k_t = \ frac {{c_ t + 1}} {} c_t? $$ मैंने सवाल का जवाब देना शुरू कर दिया है, लेकिन मैं अटक गया हूं। यह है, जो कि अभी तक मेरे पास है: $$ k_ {t + 1} = k_t ^ \ अल्फा K_t ^ {1- \ Alpha} + (1- \ डेल्टा) k_t-c_t $$ संतुलन में $ K_t = k_t $: $$ k_ {t + 1} = k_t + (1- \ डेल्टा) k_t-c_t $$ $ $ \ _ का अर्थ है \ frac {k_ {t + 1}} {k_t} = 1 + (1- \ डेल्टा) - \ frac {c_t} {k_t} $ $ यदि हमारे पास पूंजी वृद्धि की निरंतर दर है, तो मान लें: $$ \ frac {{k_ t + 1}} {} k_t & LT; \ frac {{c_ t + 1}} {} c_t $$ अगर यह सच है: $$ \ underset {t \ rightarrow \ infty} {lim} \; \ frac {k_ {t + 1}} {k_t} = \ underset {t \ rightarrow \ infty} {lim} \; 1+ (1- \ _) डेल्टा) - \ frac {c_t} {k_t} = - \ infty $$ इसका मतलब है कि विकास दर घटती-बढ़ती रहेगी। अब दो तरीके हो सकते हैं। पहला तरीका है यदि $ \ underset {t \ rightarrow \ infty} {lim} \; k_t = - \ infty $, जो स्पष्ट रूप से दिखाएगा कि यह मामला नहीं हो सकता क्योंकि पूंजी नकारात्मक नहीं हो सकती। दूसरा तरीका जो यह हो सकता है यदि $ \ underset {t \ rightarrow \ infty} {lim} \; k_t = D $ जहां $ D $ कुछ सकारात्मक क्षैतिज असममित है। यदि इसने कुछ विषमता का रुख किया, तो कोई कारण नहीं है कि ऐसा नहीं हो सकता है कि खपत पूंजी की तुलना में तेज दर से बढ़ती है। यह वह जगह है जहां मैं फंस गया हूं। मैं यह कैसे दिखा सकता हूं कि यह कुछ asymptote में परिवर्तित नहीं हो सकता है, और यह $ \ अंडरस्सेट {t \ rightarrow \ infty} {lim} \; k_t = - \ infty $ है? इसके अलावा, अगर यह दिखाने का एक आसान तरीका है कि यह मॉडल संतुलित विकास पथ प्रदर्शित करता है, तो यह क्या है? किसी भी तरह की सहायता का स्वागत किया जाएगा!