सीईएस: उत्पादन समारोह: प्रतिस्थापन की लोच

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मुझे CES के उत्पादन समारोह के लिए उस को साबित करना होगा : $\sigma = 1/(1 + \rho)$

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

मुझे पता चला कि मुझे निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

लेकिन मैं अभी यह नहीं जानता कि कैसे इस अभिव्यक्ति को फिर से लिखना है $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
स्रोत

कोब डगलस उत्पादन के लिए उदाहरण की जाँच करें और सीईएस के लिए इसे हल करने का प्रयास करें। en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— कोई खबर नहीं

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उत्पादन समारोह है: MPL और MPK क्रमशः हैं: वह दर क्या है जिसे l k के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है?

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$

जहाँ एक एकल चर का एक अलग-अलग वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, हम x (बिंदु x पर) के संबंध में f (x) की लोच को परिभाषित करते हैं $f$

σ (x) = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

चरों के परिवर्तन को ऐसे करें जैसे कि ( ) और ( ) $u = ln(x)$ $\rightarrow x = e^u$ $v=ln(f(x))$ $\rightarrow f(x) = e^v$
ध्यान दें कि और ताकि $v' = f'(x) / f(x)$ $u'=\frac{1}{x}$ $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
ध्यान दें कि यह भी परिणाम है जिसे आप लिए हल करके प्राप्त करते हैं क्योंकि जिसे हम चेन नियम के माध्यम से हल करते हैं: जो होता है बिल्कुल की परिभाषा । $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ $\sigma(x)$

अब आप अपनी लोच समस्या से निपटें।

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

तो $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
स्रोत

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ एक्सपोज़र को सरल बनाने के लिए डेरिवेटिव एमपीएल और एमपीके से और को कम किया जा सकता है।

ρ

$\rho$

— गेरेज

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मैं उपरोक्त उत्तर में थोड़ा सा जोड़ना चाहूंगा। मैंने पहले एक टिप्पणी लिखी थी, लेकिन मुझे लगा कि यह तर्क को थोड़ा और बढ़ा देगा।

हमारे पास उत्पादन करने के लिए उत्पादन, श्रम और पूंजी दो कारकों का उपयोग करने वाली एक फर्म है । आउटपुट की मात्रा लिखी जाती है । $l$ $k$ $q$

एकल चर के एक कार्य की लोच स्वतंत्र चर में प्रतिशत परिवर्तन के लिए आश्रित चर की प्रतिशत प्रतिक्रिया को मापती है।

दूसरी ओर, दो कारक आदानों के बीच प्रतिस्थापन की लोच उनकी मात्रा के अनुपात की प्रतिशतता को सापेक्ष सीमान्त उत्पादों में एक प्रतिशत परिवर्तन के रूप में मापता है।

उपरोक्त से संबंधित, हमारे पास यह है कि लोच द्वारा दिया गया है

\begin{aligned} σ \equiv \frac{d \ln (k / l)}{d \ln (M P L / M P K)} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma \equiv \frac{d \ln{\left( k/l \right)}}{d\ln{ \left( MPL/MPK \right)}} \end{align}$

जहाँ श्रम का सीमांत उत्पाद है और पूंजी का सीमांत उत्पाद है। $MPL$ $MPK$

इसका कारण मैं यह लिख रहा हूं कि उपरोक्त उत्तर में एक छोटी सी त्रुटि है। समीकरण के ठीक बाद में "अब अपनी लोच समस्या से निपटने के लिए," को तुरंत लिए एक अभिव्यक्ति के साथ अंश का स्विचन करें। भाजक। $\ln{\frac{q_k}{q_l}}$ $\ln{\frac{q_l}{q_k}}$

यदि आप इसे सही करते हैं, तो आपको वह , जो कि करीब है लेकिन काफी सही नहीं है। सही उत्तर पाने के लिए, आप ठीक उसी तरह का अनुसरण करते हैं, जैसा कि ऊपर दिए गए उत्तर द्वारा दिया गया है $\sigma = -\frac{1}{1-\rho}$

\ln k / l = \frac{1}{1 - ρ} \cdot \ln \frac{q_{l}}{q_{k}}

$\ln{k/l} = \frac{1}{1-\rho}\cdot \ln {\frac{q_l}{q_k}}$

उस को प्राप्त करने के लिए , जहां सुधार ऊपर उल्लिखित कारणों के लिए हैं। $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— mathsquestions1
स्रोत