Quasilinear उपयोगिता: Pareto Optimality Implies कुल उपयोगिता अधिकतमकरण?

मैंने पढ़ा है कि अगर हमारे पास सभी उपभोक्ताओं के लिए quasilinear उपयोगिता है, तो कोई भी pareto इष्टतम आवंटन सभी उपभोक्ताओं के उपयोगिता स्तर के योग को अधिकतम करता है। अर्थात्:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

क्या कोई इसका प्रमाण दे सकता है? किसी भी तरह की सहायता का स्वागत किया जाएगा!

$\textbf{Edit:}\,$ मुझे नहीं पता कि यह सही रास्ता है, लेकिन की सख्त बढ़ती संपत्ति से , प्राथमिकताएं स्थानीय गैर-संतृप्ति को संतुष्ट करती हैं, जिसका अर्थ है कि वे पहले कल्याण प्रमेय को संतुष्ट करते हैं। अब, अगर मैं यह पता लगा सकता हूं कि क्या सभी प्यारेटो इष्टतम आवंटन क्वैसिलिनियर उपयोगिता के साथ प्रतिस्पर्धी संतुलन हैं, तो मैं कुछ पर हो सकता है! $\phi(\,)$

microeconomics pareto-efficiency proof

— DornerA
स्रोत

क्या आपको यकीन है कि अंडर , अंडर ? एक बजट / संसाधन की कमी महसूस होती है। और उस के साथ, आप के ऊपर (3) में असमानताओं संक्षेप द्वारा आप क्या चाहते हैं पाने के लिए सक्षम होना चाहिए ।

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— हिर के।

@HerrK। यही कारण है कि एक उत्कृष्ट बात है और मेरे द्वारा एक नहीं बल्कि शर्मनाक गलती, मुझे लगता है कि बदल जाएगा

— DornerA

क्या एक्स के कार्य के लिए कोई गुण हैं? उदाहरण के लिए, यदि यह सख्ती से बढ़ रहा है, लेकिन अवतल है तो पीओ आवंटन जहां एक एजेंट कुल बंदोबस्ती लेता है, उसे कम कुल उपयोगिता प्राप्त करनी चाहिए जो उस आवंटन को दो एजेंटों के बीच समान रूप से विभाजित करती है।

— 123

@ 123 दुर्भाग्य से ऊपर सूचीबद्ध लोगों की तुलना में बारे में कोई अन्य धारणा नहीं है

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

जवाबों:

संपादित करें: एज मामले चूसना; टिप्पणी देखो। MWG चैप्टर 10 सेक्शन C, D भी देखें।

मान लीजिए हल करती है $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

लेकिन पारेटो इष्टतम नहीं है।

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

जो एक विरोधाभास है। अगर हमारे पास यूटिलिटी मैक्सिमाइजेशन की समस्या का समाधान है, तो यह Pareto इष्टतम होना चाहिए।

(ध्यान दें कि यह निरंतर और बढ़ते गुणों के रूप में आता है ) $\phi(\cdot)$

मान लीजिए एक संभव पार्टो इष्टतम आवंटन है, लेकिन हल नहीं होता है $(\vec x^*, \vec m^*)$

अधिकतम Σ_{मैं = 1}^{मैं} म_{मैं} + φ_{मैं} ({एक्स}_{मैं})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

क्योंकि हम को numeraire मानते हैं और सख्ती से बढ़ रही है, हम जानते हैं कि स्थानीय रूप से गैर-संतृप्त है। पेरेटो आवंटन बस संभव होना चाहिए। $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists ({एक्स}_{मैं}^{'}, म_{मैं}^{'}) सेंट Σ_{मैं = 1}^{मैं} म_{मैं}^{'} + φ_{मैं} ({एक्स}_{मैं}^{'}) > Σ_{मैं = 1}^{मैं} म_{मैं}^{*} + φ_{मैं} ({एक्स}_{मैं}^{*}) ⟹ Σ_{मैं = 1}^{मैं} φ_{मैं} ({एक्स}_{मैं}^{'}) > Σ_{मैं = 1}^{मैं} φ_{मैं} ({एक्स}_{मैं}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

यदि यह सच है क्योंकि यह वैकल्पिक आवंटन किसी व्यक्ति को केवल एक और , बाकी सभी समान के लिए, तो वैकल्पिक आवंटन संभव नहीं है। तो हम एक विरोधाभास होगा। $x$

यदि यह सच है क्योंकि वैकल्पिक आवंटन में, किसी और को अधिक आवंटित किया जाता है और सिर्फ एक अन्य व्यक्ति को कम आवंटित किया जाता है, तो मूल आवंटन Pareto इष्टतम नहीं होगा। मान लीजिए कि यह था। यदि आपने मूल आवंटन लिया और नए आवंटन के रास्ते में को स्थानांतरित कर दिया , तो आपको numeraire में एक समान व्यापार की आवश्यकता होगी, , जो कोई भी कम से कम उसी उपयोगिता स्तर पर खो रहा है। लेकिन सिर्फ सुन्न में व्यापार अच्छा कभी अभिव्यक्त कुल उपयोगिता बदल सकता है । मूल आवंटन से, यदि आप लिए व्यापार कर सकते हैं $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ और किसी को चोट पहुँचाए बिना किसी को बेहतर बनाने के लिए, आप एक Pareto इष्टतम पर नहीं थे, और अगर आप किसी को बेहतर बंद करने के लिए लिए व्यापार नहीं कर सकते हैं, तो आप सारांशित उपयोगिता में वृद्धि नहीं कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि मूल आवंटन एक था अधिकतम समस्या का समाधान। $m$ $x$

यह तर्क लागू नहीं होता है कि आप कितने लोगों के बीच पुनर्व्यवस्थित करते हैं। $x$

$\square$

— कित्सुने कैवलरी
स्रोत

मैं देख रहा हूं कि ओपी ने इस जवाब को स्वीकार कर लिया है लेकिन यह उनके वास्तविक प्रस्ताव को साबित नहीं करता है। ओपी का दावा है कि कोई भी पीओ आवंटन दिए गए अधिकतमकरण की समस्या को हल करता है। यह प्रमाण दिखाता है कि अधिकतम समस्या का हल पीओ है। हालांकि, यह परिणाम इस तथ्य से तुरंत है कि उपयोगिता फ़ंक्शन स्पष्ट करता है कि प्राथमिकताएं स्थानीय गैर-संतृप्ति को संतुष्ट करती हैं। और हम जानते हैं कि आवश्यक रूप से सीई और पीओ बिंदुओं के बीच कोई आपत्ति नहीं है। मूल प्रस्ताव गलत है, एक्स के कार्य पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर गलत है। (लाटेक्स का उपयोग करने के लिए इतना कठिन फोन का उपयोग करना - क्षमा करना।)

— 123

मुझे नहीं लगता कि प्रस्ताव मानक शुद्ध विनिमय अर्थव्यवस्था के वातावरण में सच है। यहाँ काउंटर उदाहरण है: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— अमित

@ मुझे लगता है कि आप सही हैं। हालाँकि यह कथन अतिरिक्त शर्त के साथ लगता है कि PO आवंटन ऐसा है जो सभी उपभोक्ताओं के लिए : । या वैकल्पिक रूप से यदि समस्या लिए नकारात्मक मानों की अनुमति देती है । इस मामले में आपका प्रतिसाद पीओ नहीं होगा।

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— जिस्कार्ड 24:17

@KitsuneCavalry यहाँ ग़लती है: "मूल आवंटन से, यदि आप लिए व्यापार कर सकते हैं और किसी को नुकसान पहुँचाए बिना किसी को बेहतर बना सकते हैं, तो आप Pareto इष्टतम पर नहीं थे, और यदि आप बनाने के लिए व्यापार नहीं कर सकते हैं किसी को बेहतर बंद, आप समग्र उपयोगिता में वृद्धि नहीं कर सकते ... "या आप व्यापार नहीं कर सकते क्योंकि यह एक गैर-नकारात्मकता बाधा का उल्लंघन करेगा। बू, ठग! : D 50 अंक वापस दें: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp मैं मानता हूँ कि परिणाम धारण करता है, तो हम या तो अनुमति देने के कोई वास्तविक संख्या, या केवल सख्ती से सकारात्मक वास्तविक संख्या, सभी के लिए होने के लिए ।

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— अमित

मुझे नहीं लगता कि यह एक मानक शुद्ध विनिमय अर्थव्यवस्था में सच है जिस सवाल का जिक्र है। निम्नलिखित प्रतिधारण पर विचार करें: मान लीजिए

$I = \{1,2\}$ और और । $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

और संभव आवंटन का सेट होने दें

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ ।

ध्यान दें कि आवंटन Pareto कुशल है, लेकिन उपयोगिताओं का योग अधिकतम नहीं है। कारण यह है कि आवंटन उच्च राशि प्राप्त करता है। $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ ।

— अमित
स्रोत

@DornerA इस पर आपके विचार?

— जिस्कार्ड 24:17

मेरा मानना है कि आप निम्नलिखित परिणाम का उल्लेख कर रहे हैं: कोई भी पीई आवंटन अधिकतम करता है, लेकिन यह ठीक से जानना मुश्किल है क्योंकि आप विशिष्ट नहीं हैं व्यवहार्यता। $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

मुझे ज्यादा केंद्रित होना चाहिए। प्रत्येक , । एक आवंटन । संभव आवंटन का सेट । की उपयोगिता से है है, जहां सख्ती बढ़ रही है। $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

पीई आवंटन की परिभाषा मानक है: में पीई है, अगर ऐसा है कि सभी और कुछ । $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

अब मैं दावा करता हूं कि यदि PE है तो , या बनाने में समाधान है। s स्पष्ट के साथ अधिकतमकरण , st । $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

मैं यहाँ दावा साबित नहीं करने जा रहा हूँ, लेकिन मुख्य विचार सरल है और इस प्रकार है। मान लीजिए कि पीई है, लेकिन अधिकतमकरण समस्या का समाधान नहीं करता है। तब हम और संभव जैसे कि । यह सच है कि, , सापेक्ष , एजेंट्स खराब होते हैं, लेकिन हम पैसे का उपयोग कर सकते हैं, s, उन्हें तहत समान रूप से अच्छी तरह से बनाने के लिए , और अभी भी छोड़ा जा सकता है कुछ पैसे के बाद से हमने s से आने वाली उपयोगिता का योग बढ़ाया । $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

दूसरे शब्दों में, जिस तरह से से उपयोगिता का योग है कि है । अब किसी भी गैर-बेकार आवंटन में _ का पहला पद समान होगा। $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

इसके बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि का आकार पाई और धन, s निर्धारित करें, पुनर्वितरण निर्धारित करें। अर्ध-रैखिकता से, एक इकाई से और एक इकाई से अपरिवर्तित हो जाता है। यह और लिए सही नहीं है । $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

इसका अर्थ यह भी है कि कोई भी जो अधिकतम समस्या को हल करता है PE है। $a\in F$

— जनवरी
स्रोत

क्या आपने अन्य दो उत्तर पढ़े हैं? एक मूल रूप से एक ही बताता है। दूसरा एक प्रतिरूप प्रदान करता है।

— गिस्कार्ड

@ अचानक मैंने जवाब पढ़ा और मैं अलग बात कह रहा हूं। दो उत्तर उपयोगिता की राशि के अधिकतमकरण के बारे में बात कर रहे हैं, मैं s से अधिकतम राशि के बारे में बात कर रहा हूं । प्रति-उदाहरण में, महत्वपूर्ण धारणा यह है कि । यदि लिए , तो मैं जो कह रहा हूं वह लागू होता है। कौन सी धारणा 'मानक' है, यह विचारणीय है। मुझे MWG द्वारा लाया गया है।

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— जन

एक और टिप्पणी, मास-कोल, व्हिस्टन, ग्रीन अध्याय 10, विशेष रूप से भागों सी और यहां तक कि विशेष रूप से डी भाग, ओपी के बारे में पूछे जाने वाले मुद्दे के अच्छे पाठ्यपुस्तक उपचार हैं।

— जनवरी