इष्टतम रैंडम बोलियां

यह प्रश्न इस वेबसाइट से आता है कि मैं अक्सर मना करता हूं।

दो खिलाड़ी एक गर्म नए गेम शो में जाते हैं जिसे "हायर नंबर विंस" कहा जाता है। दो अलग-अलग बूथों में जाते हैं, और प्रत्येक एक बटन दबाता है, और एक स्क्रीन पर शून्य और एक के बीच एक यादृच्छिक संख्या दिखाई देती है। (इस बिंदु पर, न तो दूसरे की संख्या को जानता है, लेकिन वे जानते हैं कि संख्या एक मानक समान वितरण से चुनी गई है।) वे उस पहले नंबर को रखने के लिए चुन सकते हैं, या पहले नंबर को छोड़ने के लिए फिर से बटन दबा सकते हैं और दूसरा प्राप्त कर सकते हैं। यादृच्छिक संख्या, जिसे उन्हें रखना होगा। फिर, वे अपने बूथ से बाहर आते हैं और दीवार पर प्रत्येक खिलाड़ी के लिए अंतिम संख्या देखते हैं। भव्य भव्य पुरस्कार - सोने के बुलियन से भरा एक मामला - उस खिलाड़ी को दिया जाता है जिसने अधिक संख्या में रखा था। खिलाड़ियों के लिए सबसे पहला कटऑफ कौन सा है? एक और तरीका रखो, उन्हें पहली संख्या रखने के लिए किस सीमा के भीतर चुनना चाहिए,

यह या तो सममित खिलाड़ियों के साथ एक बहुत ही अजीब नीलामी समस्या है (मैं यह भी मानता हूं कि खिलाड़ी जोखिम-तटस्थ हैं) या एक बहुत ही अजीब लॉटरी / गेम-थ्योरी गेम।

आप इस प्रश्न को गणितीय रूप से कैसे बोलेंगे और इसके लिए आपको क्या उत्तर मिलेगा? मेरे लिए साइट की पहेली का सही जवाब पाने के लिए कोई पुरस्कार नहीं है , मैं बस उत्सुक हूं। मेरा अंतर्ज्ञान मुझे बताता है कि इष्टतम कटऑफ 0.5 है, क्योंकि आपके पास अपने प्रतिद्वंद्वी की संख्या की तुलना में अधिक या कम होने का 50-50 मौका है, भले ही वह अपने यादृच्छिक संख्या को दोहराता हो या नहीं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है।

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— कित्सुने कैवलरी
स्रोत

मुझे नहीं लगता कि जोखिम तटस्थता का इससे कोई लेना-देना है, खिलाड़ी केवल जीतने की संभावना को अधिकतम करने की कोशिश करते हैं। अदायगी बाइनरी हैं, कोई सुरक्षित औसत परिणाम नहीं हैं।

— गिस्कार्ड

@ अचानक आप इस अर्थ में जोखिम में पड़ सकते हैं कि अगर आप 0.46 कहना चाहते हैं, तो आप भले ही आपको एक बुरे नंबर से बेहतर नंबर प्राप्त करने का बेहतर मौका न दें।

— Kitsune कैवेलरी

@KitsuneCavalry मैं देख रहा हूं कि आप क्या कह रहे हैं, लेकिन यह जोखिम के फैलाव की कुछ "व्यवहारिक" धारणा होगी, क्योंकि इसे अंतिम परिणामों के बजाय अंतरिम कदम पर परिभाषित किया गया है।

— शेन

@ शने ज़रूर, मैं तुम्हें सुनता हूँ। और मैं इसके बारे में वैसे भी चिंतित नहीं हूं।

— Kitsune कैवेलरी

जवाबों:

पहले मैं सिर्फ यह दिखाऊंगा कि 0.5 (या ) कट-ऑफ पॉइंट सममित संतुलन के रूप में काम नहीं करता है, फिर आप अपने लिए निर्णय ले सकते हैं कि क्या आप समस्या के बारे में सोचना चाहते हैं या पूरा उत्तर पढ़ना चाहते हैं । $\frac{1}{2}$

आइए हम द्वारा कट-ऑफ पॉइंट को । मान लीजिए दोनों खिलाड़ी रणनीति । आइए हम क्रमशः और द्वारा खिलाड़ी और संख्या और और द्वारा उनकी संभावित दूसरी संख्या को । मान लीजिए । इस संभावना को ध्यान में रखते हुए कि खिलाड़ी जीतता है इसका मतलब यह भी है कि है $c_x,c_y$ $c = \frac{1}{2}$ $x$ $y$ $x_1$ $y_1$ $x_2$ $y_2$ $x_1 = \frac{2}{3}$ $x$

P (\frac{1}{2} \leq y_{1} < \frac{2}{3}) + P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (y_{2} < \frac{2}{3}) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2} .

$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ इस वितरण का माध्यिका ।

अब मान लीजिए । इस संभावना को ध्यान में रखते हुए कि खिलाड़ी जीतता है लेकिन अगर वह को त्याग देगा तो उसके पास प्रायिकता जीतने का। इसलिए (और इसके दूत) को रखना इष्टतम नहीं है इसलिए यह एक संतुलन कदम नहीं हो सकता है। $x_1 = \frac{1}{2}$ $x$

P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (y_{2} < \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$

P (y_{1} < \frac{1}{2}) \cdot P (x_{2} > y_{2}) + P (y_{1} \geq \frac{1}{2}) \cdot P (x_{2} > y_{1}) = \frac{3}{8}

$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$

\frac{3}{8} > \frac{1}{4}

$\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$

x_{1} = \frac{1}{2}

$x_1 = \frac{1}{2}$

बिगड़ने की चेतावनी

यदि खिलाड़ी का कट-ऑफ और खिलाड़ी खींचता है और यह संभावना रखता है कि खिलाड़ी जीतता है यदि खिलाड़ी जहां को त्यागने की संभावना है, जो वह जीतता है, तो वह मान लीजिए कि एक सममित है संतुलन, वह है । (मुझे नहीं लगता कि अन्य संतुलन मौजूद हैं, लेकिन मैंने इसे साबित नहीं किया है।) $y$ $c_y$ $x$ $x_1 = c_y$ $x$

P (y_{1} < c_{y}) \cdot P (y_{2} < c_{y}) = c_{y} \cdot c_{y} = c_{y}^{2} .

$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$

x

$x$

x_{1}

$x_1$

\begin{array}{rcl} P (y_{1} \geq c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c_{y}) \cdot P (x_{2} > y_{2}) & = & (1 - c_{y}) \cdot (1 - \frac{1 + c_{y}}{2}) + c_{y} \cdot \frac{1}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

c_{x} = c_{y} = c

$c_x = c_y = c$

चूँकि जीतने की संभावना के मान में निरंतर है , कट-ऑफ मूल्य ऐसा है कि अगर तो जीतने की संभावना बराबर है जब को रखा जाता है और जब इसे छोड़ दिया जाता है। इसका अर्थ है कि

x_{1}

$x_1$

c

$c$

x_{1} = c

$x_1 = c$

x_{1}

$x_1$

\begin{array}{rcl} P (y_{1} < c) \cdot P (y_{2} < c) & = & P (y_{1} \geq c) \cdot P (x_{2} > y_{1}) + P (y_{1} < c) \cdot P (x_{2} > y_{2}) \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot (1 - \frac{1 + c}{2}) + c \cdot \frac{1}{2} \\ c^{2} & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{2} \\ \frac{1}{2} \cdot c^{2} + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} . \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$

— Giskard
स्रोत

किसी ने आपकी तरह एक ही व्युत्पत्ति की, और इस वुल्फ्राम की गणना की जाँच करने के लिए इसकी गणना की: smallurl.com/j9xey5t तो मैं आगे जा रहा हूँ और कहता हूँ कि यह सही लग रहा है। अब यदि आप इस गेम के सामान्य रूप को हल करते हैं, तो मैं आपको सबसे अच्छा जवाब दूंगा: पी किडिंग ~ (हालांकि यह देखना दिलचस्प होगा कि गेम फिर से खेलने के लिए अधिक अवसरों के साथ कैसे बदलता है।) क्या आपके संपादित कटऑफ का मतलब है कि दोनों खिलाड़ियों के पास 50 हैं। जीतने का%, या आप अभी भी सोचते हैं कि आपके उत्तर में कोई गलती है?

— Kitsune कैवेलरी

@KitsuneCavalry मुझे लगता है कि इसे स्वीकार करना थोड़ा समय से पहले था लेकिन सौभाग्य से गणना सही है और 50% के बारे में मेरा तर्क गलत था। कट-ऑफ इतनी अधिक है कि इसे खींचना 'भाग्यशाली' है और इस तरह से ड्रा होने पर आपके पास जीतने का 50% से बेहतर मौका है। ड्रा से पहले आपके पास 50% है।

— गिस्कार्ड

अगर यह किसी भी चीज़ के लिए मायने रखता है, तो सवाल पूछने वाली साइट ने जवाब दिया। आपने इसे पैसे पर पा लिया। आज एक विजेता की तरह महसूस करो। आप इसे बी) अर्जित

— Kitsune कैवेलरी

मान लीजिए व्यक्ति 1 के एक कटऑफ चुनता और व्यक्ति 2 चुनता की कटऑफ , साथ । बता दें कि संभावना है कि व्यक्ति 1 की अंतिम संख्या से अधिक नहीं है । बराबर है यदि और अन्यथा। परिभाषित करें इसी तरह। अब भूखंड के खिलाफ के लिए एक पैरामीट्रिक भूखंड पर । परिणाम तीन लाइन खंड है: $c_1$ $c_2$ $c_2\ge c_1$ $p_1(x)$ $x$ $p_1(x)$ $c_1x$ $x<c_1$ $c_1x+x-c_1$ $p_2(x)$ $p_2(x)$ $p_1(x)$ $0\le x\le1$

एक से , ; $(0,0)$ $(c_1^2,c_1c_2)$ $0\le x\le c_1$
से एक के लिए , के लिए इसी ; $(c_1^2,c_1c_2)$ $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ $c_1\le x\le c_2$
से एक करने के लिए , करने के लिए इसी । $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$ $(1,1)$ $c_2\le x\le1$

ये तीन पंक्ति खंड इकाई वर्ग को दो भागों में विभाजित करते हैं। ग्राफ के तहत भाग का क्षेत्र संभावना है कि व्यक्ति 1 की संख्या अधिक है। कुछ ज्यामिति से पता चलता है कि यह क्षेत्र । एक स्थिर संतुलन होने के लिए, इस के दोनों आंशिक व्युत्पन्न शून्य होना चाहिए, अर्थात $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

1 - {सी}_{2} - 2 {सी}_{1} {सी}_{2} + {सी}_{2}^{2} = 0 - 1 - {सी}_{1} + 2 {सी}_{2} - {सी}_{1}^{2} + 2 {सी}_{1} {सी}_{2} = 0

$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$

समीकरणों को जोड़ने से पता चलता है कि , जो कि केवल तभी संभव है जब । किसी एक समीकरण, में वापस प्रतिस्थापित करना , इसलिए एकमात्र स्थिर संतुलन । $(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$ $c_1=c_2$ $1-c_1-c_1^2=0$ $c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

— च ''
स्रोत

यह एक महान उत्तर है लेकिन आप संतुलन को एक स्थिर संतुलन क्यों कहते हैं?

— गिस्कार्ड

@ अचानक मुझे लगता है कि यह बेमानी है।

— f ''