सीईएस उपयोगिता फ़ंक्शन में कोब-डगलस उपयोगिता फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए मापदंडों को एकता में जोड़ने की आवश्यकता है?

सीईएस उपयोगिता फ़ंक्शन पर विचार करें

U (x, y) = (a x^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}}

$U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$

क्या यह सही है कि हमारे पास डगलस यूटिलिटी फ़ंक्शन को रूप में प्राप्त करने के लिए होना चाहिए ? $a+b=1$ $c\rightarrow 0$

microeconomics mathematical-economics cobb-douglas

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

की सीमा के

U (x, y) = (a x^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}}

$U(x, y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}}$

— ओलिव

@Oliv यह धागा निश्चित रूप से आपके द्वारा बताए गए धागे का एक प्रकार है, और मेरा मूल उद्देश्य एक उत्तर पोस्ट करने के लिए था, जिससे कि और अधिक दृश्यमान की आवश्यकता हो । मुझे स्व-प्रश्नोत्तर बनाने का कारण यह था कि आपके द्वारा उल्लिखित प्रश्न को बंद कर दिया गया था और सिस्टम द्वारा कोई नए उत्तर स्वीकार नहीं किए गए थे।

a + b = 1

$a+b=1$

— एलेकोस पापाडोपौलोस

के संभावित डुप्लिकेट मैं कैसे सीईएस समारोह से लिओनटिफ और कोब-डगलस उत्पादन समारोह प्राप्त कर सकते हैं?

— 19

हाँ।

लिखना

\begin{matrix} (1) & U (x, y) = (a x^{- c} + b y^{- c})^{- \frac{1}{c}} = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (a x^{- c} + b y^{- c})} \end{matrix}

$U(x,y) = (ax^{-c} + by^{-c})^{-\frac{1}{c}} = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)\right\} \tag{1}$

अब अगर तो , अभिव्यक्ति $a+b=1$ $c\rightarrow 0$

\begin{matrix} (2) & \frac{\ln (a x^{- c} + b y^{- c})}{- c} \end{matrix}

$\frac {\ln \left(ax^{-c} + by^{-c}\right)}{-c} \tag{2}$

एक अनिश्चित फॉर्म होगा और इसलिए हम इसे प्राप्त करने के लिए L'Hopital के नियम को लागू कर सकते हैं $0/0$

\frac{1}{- c} \cdot \frac{- a x^{- c} \ln x + b y^{- c} \ln y}{a x^{- c} - b y^{- c}} \to \frac{a}{a + b} \ln x + \frac{b}{a + b} \ln y, c \to 0

$\frac {1}{-c}\cdot \frac {-ax^{-c}\ln x + by^{-c}\ln y}{ax^{-c} - by^{-c}} \rightarrow \frac {a}{a+b}\ln x + \frac {b}{a+b}\ln y,\;\;\; c\rightarrow 0$

जहाँ हमने ग्रहण किया । $a+b=1$

इसलिए (घातीय कार्य की एकरूप निरंतरता से)

c \to 0, U (x, y) = \exp {\frac{- 1}{c} \ln (a x^{- c} + b y^{- c})} \to \exp {a \ln x + b \ln y} = x^{a} y^{b}

$c\rightarrow 0,\;\;\; U(x,y) = \exp\left\{\frac {-1}{c}\ln \left(ax^{-c} + by^{-c} \right) \right\} \rightarrow \exp\left\{a\ln x + b\ln y \right \} = x^ay^b$ ।

लेकिन अगर , तो , eq में अंश में लॉगरिदम का तर्क। एकता के बराबर नहीं होगा, और इसलिए लघुगणक शून्य के बराबर नहीं होगा (जो हमें अनिश्चित रूप देगा, और हमें एल 'होपिटल के नियम का उपयोग करने की अनुमति देगा)। इसके बजाय, ईक। अनन्तता में चले जाते। तो कोब्-डगलस फंक्शन में आने के लिए की जरूरत होती है। $a+b\neq 1$ $c\rightarrow 0$ $(2)$ $(2)$ $a+b=1$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत