जोखिम तटस्थ एजेंट के साथ नैतिक जोखिम

हमारे पास छिपे हुए कार्यों के साथ एक प्रिंसिपल-एजेंट मॉडल है जिसमें प्रिंसिपल जोखिम का उल्टा है और एजेंट जोखिम तटस्थ है; यह भी मान लें कि आउटपुट के दो स्तर हैं, $x$ तथा $x'$ (साथ में $x'>x$ ) और दो क्रियाएं $a,a'$ । परिभाषित करें $p(a),p(a')$ की संभावनाएं $x'$ कार्रवाई के तहत $a,a'$ क्रमशः। इसके अलावा, एजेंट कार्रवाई से बर्खास्तगी $a'$ है $-1$ । से जुड़ी मजदूरी $x,x'$ कर रहे हैं $w,w'$ क्रमशः।

मेरी समस्या यह है कि मुझे यकीन नहीं है कि यह कैसे दिखाया जाए कि इष्टतम अनुबंध की आवश्यकता है $x'-w' =x-w$ , यानी कि एजेंट, तटस्थ होने के नाते, परियोजना से जुड़ी सभी परिवर्तनशीलता को लेता है।

मैं समस्या को औपचारिक रूप देता हूं (मान लें कि प्रिंसिपल प्रेरित करना चाहता है $a'$ , अन्यथा मेरा प्रश्न तुच्छ है)

$\max\limits_{\{w,w'\}} u(x'-w')p(a') + u(x-w)(1-p(a'))$

सेंट

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq 0$

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

विशेष रूप से, जब मैं "मानक" व्यक्तिगत तर्कसंगतता (with $\lambda$ गुणक) और प्रोत्साहन संगतता (with $\mu$ गुणक) बाधाओं के साथ प्रिंसिपल अपेक्षित अदायगी को अधिकतम करने के द्वारा समस्या को हल करने का प्रयास करता हूं (मुझे लगता है कि प्रिंसिपल को अधिक रुचि है महंगा कार्रवाई $a'$ ) मैं दो समीकरणों के साथ समाप्त होता हूं जो उपरोक्त परिणाम के अनुरूप नहीं हैं। विशेष रूप से:

$u'(x-w) = \lambda + \mu [1- \frac{(1-p(a))}{(1-p(a'))}]$

$u'(x'-w') = \lambda + \mu [1- \frac{p(a)}{p(a')}]$

यह स्पष्ट है कि iff रखता है जो इस समस्या में नहीं है (यहाँ हमारे पास वह ) है। एक और संभावना यह होगी कि इंसेंटिव संगतता बाधा सुस्त है (इसलिए ); हालाँकि मैं यह नहीं समझ सकता कि ऐसा क्यों होना चाहिए, जब प्रिंसिपल सबसे महंगी कार्रवाई को प्रेरित करना चाहता (यहाँ मदद करें) $x-w = x'-w'$ $p(a) =p(a')$ $p(a') >p(a)$ $\mu = 0$ $a'$

मैं ऑनलाइन पढ़ा है कि एक और दृष्टिकोण ग्रहण करने के लिए है कि प्रधान प्रतिनिधि और एजेंट के लिए "बेचता है" परियोजना, चुने हुए होने जो प्रयास के स्तर इसकी उम्मीद उपयोगिता को अधिकतम, वापस प्रिंसिपल (इसे कहते हैं एक निश्चित राशि का भुगतान करती है के बाद किया जाएगा ) $\beta_{a}, \beta_{a'}$

तो हमारे पास कुछ ऐसा होगा:

$w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 -\beta_{a'} \geq 0$ यदि एजेंट ने उच्च प्रयास करने का फैसला किया और अन्यथा। $w'p(a) + w(1-p(a)) -\beta_a \geq 0$

लेकिन फिर वहां से कैसे जाएं? बीमा कैसे करें कि एजेंट कार्रवाई को चुनने जा रहा ? निश्चित मात्राएँ कैसे निर्धारित की जाती हैं? वे इष्टतम क्यों हैं? $a'$

decision-theory principal-agent

— night_owl89
स्रोत

एक संकेत: आपके सेटअप को देखते हुए, आवश्यक रूप से कुशल कार्रवाई नहीं है, और इसलिए प्रिंसिपल जरूरी नहीं कि इसे प्रेरित करना चाहते हैं। क्या आप चाहते हैं कि लोग मान लें कि यह है?

a^{'}

$a^\prime$

— शेन

@ शन इस प्रश्न में कहा गया है: "मान लीजिए कि प्रिंसिपल को प्रेरित करना चाहता है "

a^{'}

$a'$

— गिस्कार्ड

@ अचानक यह सच है, लेकिन यह जानना अभी भी महत्वपूर्ण है कि क्या actually वास्तव में कुशल है या नहीं , क्योंकि, रिस्क-न्यूट्रल एजेंट को देखते हुए, प्रोजेक्ट को एजेंट को बेचना इष्टतम होगा चाहे जो भी हो, लेकिन केवल प्रेरित करेगा अगर यह कुशल है। यदि कुशल नहीं है, लेकिन प्रिंसिपल इसे ध्यान से प्रेरित करना चाहता है, तो इष्टतम अनुबंधों की पूरी धारणा धुंधली हो जाती है - हम अनुबंधों के एक सेट से इष्टतम अनुबंध ढूंढ रहे होंगे जो एक उप-प्रकारीय विकल्प को प्रेरित करता है।

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

a^{'}

$a^\prime$

— शेन

प्रिंसिपल इस कार्रवाई से जो भी उपयोगिता प्राप्त करता है, उसके आधार पर, राशि को 'प्रेरित करने के लिए' भुगतान कर सकता है।

— डीजे सिम्स

क्या "मजदूरी" नकारात्मक या शून्य हो सकती है?

— एलेकोस पापाडोपोलोस 19

जवाबों:

यह उत्तर तीन चीजों को दर्शाता है:

आपकी अधिकतम समस्या को हल करने के लिए हमें Lagrangian के दृष्टिकोण की आवश्यकता नहीं है।
हमें इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि या तो। $x'-x=\frac{1}{p(a')-p(a)}$
शर्त जरूरी नहीं कि इष्टतम अनुबंध के लिए संतुष्ट हो। $x'-w'=x-w$

वास्तव में भुगतान को ठीक करें । समस्या को लिखा जा सकता है देखते हुए बाधाओं यह स्पष्ट है कि प्रिंसिपल के पास लिए सबसे कम संभव मान सेट करने के लिए ब्याज है इस सेट को बाधा के रूप में दिया गया है, क्योंकि उद्देश्य फ़ंक्शन में घट रहा है ।इसलिए वह $w$

max_{w^{'}} u (x^{'} - w^{'}) p (a^{'})

$\begin{equation*} \max_{w'}{u(x'-w')p(a')} \end{equation*}$

\begin{aligned} w^{'} p (a^{'}) \geq 1 - w [1 - p (a^{'})] \\ w^{'} [p (a^{'}) - p (a)] \geq 1 + w [p (a^{'}) - p (a)] \end{aligned}

$\begin{align*} & w'p(a') \geq 1 - w[1-p(a')] \\ & w'[p(a')-p(a)] \geq 1+w[p(a')-p(a)] \end{align*}$

w^{'}

$w'$

w^{'}

$w'$

w^{'} = max {\frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}, \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}}

$\begin{equation} w' = \max\{\frac{1-w[1-p(a')]}{p(a')},\frac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)}\} \end{equation}$

जैसा कि @Alecos_Papadopoulos ने किया था, यह समझ में आता है कि एजेंट सीमित देयता से सुरक्षित है, अर्थात उसका भुगतान नॉनगेटिव है। अन्यथा समस्या का समाधान जरूरी नहीं है: प्रिंसिपल हमेशा को कम करने और बढ़ाने से लाभान्वित हो सकता है, ताकि व्यक्तिगत तर्कसंगतता को संतुष्ट रखने के लिए। लेकिन अनुबंध स्पष्ट रूप से एक संतोषजनक समाधान नहीं है। इसलिए मैं उस मामले पर ध्यान केंद्रित करता हूं जहां और । $w$ $w'$ $(w=-\infty,w'=+\infty)$ $w \geq 0$ $w' \geq 0$

स्थिति तात्पर्य और इसलिए $w \geq 0$

\frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)} \geq \frac{1 - w [1 - p (a^{'})]}{p (a^{'})}

$\begin{equation*} \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \geq \dfrac{1-w[1-p(a')]}{p(a')} \end{equation*}$

w^{'} = \frac{1 + w [p (a^{'}) - p (a)]}{p (a^{'}) - p (a)}

$\begin{equation*} w' = \dfrac{1+w[p(a')-p(a)]}{p(a')-p(a)} \end{equation*}$

इस समीकरण को ऑब्जेक्टिव फंक्शन में प्लग करने से प्रिंसिपल की समस्या बन जाती है

max_{w \geq 0} u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} - w) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} \max_{w \geq 0}{u(x'-\frac{1}{p(a')-p(a)}-w)p(a')+u(x-w)(1-p(a'))} \end{equation*}$ यह उद्देश्य फ़ंक्शन में घट रहा है । इसलिए वह बस और । निष्कर्ष के रूप में, समानता संतुष्ट होने का कोई कारण नहीं है जब तक कि कोई यह न मान ले कि , यानी that यह बाद वाला समीकरण इसका अर्थ है कि सामाजिक अधिशेष से उत्पन्न अधिशेष के बराबर

w

$w$

w = 0

$w=0$

w^{'} = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$w'=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

x^{'} - w^{'} = x - w

$x'-w'=x-w$

x^{'} - x = \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)}

$x'-x=\dfrac{1}{p(a')-p(a)}$

p (a^{'}) x^{'} + (1 - p (a^{'})) x - 1 = p (a) x^{'} + (1 - p (a)) x

$\begin{equation*} p(a') x' + (1-p(a'))x -1= p(a)x' + (1-p(a))x \end{equation*}$

a^{'}

$a'$

a

$a$ : यह एक बहुत ही विशेष मामला है जहां एजेंट के लिए प्रयास की लागत मूलधन के लिए अपेक्षित उत्पादन में वृद्धि से पूरी तरह से भरपाई होती है। अन्य सभी मामलों में, हमारे पास ।

x^{'} - w^{'} \neq x - w

$x'-w' \ne x-w$

मुझे लगता है कि इसका कारण यह है कि एजेंट सभी जोखिमों को नहीं लेता है, क्योंकि उसके कार्य अवलोकनीय नहीं हैं, और इसलिए अनुबंधित नहीं हैं। यह संपत्ति एक अप्रतिबंधित आवंटन के साथ जोखिम-साझा करने वाली अर्थव्यवस्था में सही होगी। लेकिन आवंटन एक उच्च प्रयास प्राप्त करने के लिए एजेंट को प्रोत्साहित करने की आवश्यकता से यहां विकृत है।

— oliv
स्रोत

(+1) यह एक अच्छा तरीका है, मैं साधारण समस्याओं के साथ औपचारिक रहना पसंद करता हूं। ओपी के सेट अप के साथ एक अंतिम मुद्दा: चूंकि मनमाना है, इसलिए कुछ भी गारंटी नहीं देता है कि ।

x^{'}

$x'$

x^{'} \geq 1 / (p^{'} - p)

$x' \geq 1/(p'-p)$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

मुझे नहीं लगता कि "प्रिंसिपल हमेशा को कम करने और बढ़ाने से लाभान्वित हो सकता है ताकि व्यक्तिगत तर्कसंगतता को संतुष्ट रखा जा सके।" सच हैं। मेरा मतलब है कि ऐसे मामले हैं जहां आप दोनों को लाभ नहीं हो सकता है और भागीदारी की कमी को पूरा करना चाहिए।

w

$w$

w^{'}

$w'$

— गिस्कार्ड

@ अचानक मुझे लगता है कि यह सच है। नकारात्मक और छोटे पर्याप्त है, और दोनों बाधाओं को पूरा करने के लिए । प्रिंसिपल का उद्देश्य फ़ंक्शन और इस समारोह सख्ती से में कम हो रही है , जब छोटे पर्याप्त है। इसलिए प्रिंसिपल हमेशा को कम करके और सेट करके बेहतर कर सकता है : कोई परिमित soution इष्टतम नहीं है।

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w' = \frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

u (x^{'} - \frac{1}{p (a^{'})} + w \frac{1 - p (a^{'})}{p (a^{'})}) p (a^{'}) + u (x - w) (1 - p (a^{'}))

$\begin{equation*} u(x'-\frac{1}{p(a')}+w \frac{1-p(a')}{p(a')})p(a') + u(x-w)(1-p(a')) \end{equation*}$

w

$w$

w

$w$

w

$w$

w^{'} = \frac{1 - w (1 - p (a^{'}))}{p (a^{'})}

$w'=\frac{1-w(1-p(a'))}{p(a')}$

— ओलिव

@ एलेकोस पापाडोपोलस धन्यवाद। आप उस गारंटी क्यों देना चाहेंगे ?

x^{'} \geq \frac{1}{p^{'} - p}

$x' \geq \frac{1}{p'-p}$

— ओलिव

@Oliv यदि , तो मूल के लिए शुद्ध राजस्व है, तो नकारात्मक है, जबकि होने पर यह सकारात्मक है ( )। वास्तव में, भले ही , हम एक स्थिति है जहाँ प्रिंसिपल आवश्यकताओं कार्रवाई के लिए प्रेरित करने में कर रहे हैं है, भले ही सशर्त उपयोगिता कम करता है, तो है होता है। यह निर्धारित करने के लिए और अधिक व्यापक उपचार की आवश्यकता होगी कि यहां वास्तव में क्या इष्टतम है। निश्चित रूप से, हम समस्या को उसी रूप में स्वीकार कर सकते हैं, जैसा कि तदर्थ givens के रूप में ली गई अपनी सभी मान्यताओं के साथ है, लेकिन मैं समस्याओं को पसंद करता हूं जो केवल अंतर्ज्ञान को काउंटर करता है यदि, अंत में, वे रोशन को स्पष्ट रूप से समझा सकते हैं कि क्यों।

x^{'} < 1 / (p^{'} - p)

$x' < 1/(p'-p)$

x^{'}

$x'$

x

$x$

w = 0

$w=0$

0 < x^{'} - 1 / (p^{'} - p) < x

$0< x' - 1/(p'-p) < x$

a^{'}

$a'$

x^{'}

$x'$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

एक चीज़ जो मुझे यहाँ परेशान करती है, वह है निम्नलिखित: प्रोत्साहन संगतता बाधा है

I C : w^{'} p (a^{'}) + w (1 - p (a^{'})) - 1 \geq w^{'} p (a) + w (1 - p (a))

$IC: w'p(a') + w(1-p(a')) - 1 \geq w'p(a) + w(1-p(a))$

\begin{matrix} (1) & ⟹ w^{'} - w \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$\implies w'-w \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{1}$

... चूंकि धारणा । हमें बताया गया है कि हमें यह पता लगाना चाहिए कि इष्टतम पर, $p(a')-p(a) >0$

\begin{matrix} (2) & x^{'} - w^{'} = x - w ⟹ x^{'} - x = w^{'} - w \end{matrix}

$x'-w' = x-w \implies x'-x = w'-w \tag{2}$

संयोजन और , यदि वास्तव में यह दी गई बाधाओं के तहत इष्टतम है, तो हमारे पास भी होना चाहिए $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & x^{'} - x \geq \frac{1}{p (a^{'}) - p (a)} \end{matrix}

$x'-x \geq \frac {1}{p(a')-p(a)} \tag{3}$

लेकिन यह एक प्राथमिक परिमाण पर एक अतिरिक्त, आवश्यक बाधा है, जो कि धारण किया जाना चाहिए यदि पोस्ट किया गया इष्टतम समाधान स्वीकार्य हो। यहां तक कि अगर वास्तव में इस तरह की बाधा को मान लिया जाता है, तो किसी भी मामले में, यह नेत्रहीन रूप से समस्या की व्यापकता को कम करता है (जो कि कुछ सामान्य दिखाने का उद्देश्य रखता है, अर्थात एजेंट की जोखिम-तटस्थता समाधान को कैसे प्रभावित करती है)।

फिर भी, आइए इसे थोड़ा और औपचारिक रूप से काम करें। मैं मान लूंगा कि शून्य हो सकता है, लेकिन नकारात्मक नहीं। यह असमानता बाधाओं, गैर-नकारात्मक निर्णय चर और गैर-नकारात्मक गुणकों के साथ सामान्य रूप में एक अधिकतम समस्या है। इस समस्या का पूर्ण लेरेंजियन है (मैं एक स्पष्ट तरीके से संकेतन संकलित करूंगा), $w, w'$

Λ = u (x^{'} - w^{'}) p^{'} + u (x - w) (1 - p^{'}) + λ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1] + μ \cdot [w^{'} p^{'} + w (1 - p^{'}) - 1 - w^{'} p - w (1 - p)] + ξ w + ξ^{'} w^{'}

$\Lambda = u(x'-w')p' + u(x-w)(1-p') + \lambda\cdot [w'p' + w(1-p') - 1 ]\\ + \mu \cdot [ w'p' + w(1-p') - 1 - w'p - w(1-p)] + \xi w + \xi' w'$

आवश्यक प्रथम क्रम की शर्तें हैं

\frac{\partial Λ}{\partial w} \leq 0, \frac{\partial Λ}{\partial w} \cdot w = 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \leq 0, \;\;\frac {\partial \Lambda}{\partial w} \cdot w = 0$

और लिए अनुरूप ।इनका परिणाम है $w'$

\frac{\partial Λ}{\partial w} = - u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) + λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w} = -u'(x-w)(1-p') +\lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi \leq 0$

⟹ u^{'} (x - w) (1 - p^{'}) \geq λ (1 - p^{'}) - μ (p^{'} - p) + ξ

$\implies u'(x-w)(1-p') \geq \lambda (1-p') - \mu (p'-p) + \xi$

\begin{matrix} (4) & ⟹ u^{'} (x - w) \geq λ - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x-w) \geq \lambda - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag{4}$

\frac{\partial Λ}{\partial w^{'}} = - u^{'} (x^{'} - w^{'}) p^{'} + λ p^{'} + μ (p^{'} - p) + ξ^{'} \leq 0

$\frac {\partial \Lambda}{\partial w'} = -u'(x'-w')p' +\lambda p' + \mu (p'-p) + \xi' \leq 0$

\begin{matrix} (5) & ⟹ u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq λ + μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$\implies u'(x'-w') \geq \lambda + \mu\frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5}$

पहले ध्यान दें कि दोनों मजदूरी शून्य नहीं हो सकती हैं, क्योंकि बाधाओं का उल्लंघन किया जाएगा। इसे देखते हुए, इस संभावना पर विचार करें कि बाध्यकारी है (so )। यदि यह बाध्यकारी है, तो दोनों मजदूरी शून्य नहीं हैं, तो बाधा को अनिवार्य रूप से उल्लंघन किया जाएगा। तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $IR$ $\lambda >0$ $IC$

λ_{*} = 0

$\lambda_* = 0$

और पहले-क्रम की स्थिति अब बन गई है

\begin{matrix} (4a) & u^{'} (x - w) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x-w) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi}{1-p'} \tag {4a}$

\begin{matrix} (5a) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) \geq μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ^{'}}{p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') \geq \mu \frac{p'-p}{1-p'} + \frac {\xi'}{p'} \tag{5a}$

अब ध्यान दें कि अगर (यानी ) तो एक समानता के रूप में और दाहिने शब्द पर शून्य के बराबर होना चाहिए। लेकिन इसके लिए नकारात्मक सीमांत उपयोगिता की आवश्यकता होगी जो कि अप्राप्य हो। हम यह भी जानते हैं कि दोनों मजदूरी शून्य नहीं हो सकती हैं। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि हमारे पास होना चाहिए $\xi =0$ $w >0$ $(4a)$

ξ_{*} > 0, w_{*} = 0, ξ_{*}^{'} = 0, w_{*}^{'} > 0

$\xi_* > 0 , w_*=0,\;\;\; \xi'_* = 0,\; w'_* >0$

और अब स्थितियां बन गई हैं

\begin{matrix} (4b) & u^{'} (x) \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4b}$

\begin{matrix} (5b) & u^{'} (x^{'} - w^{'}) = μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x'-w') = \mu \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5b}$

Eq। तात्पर्य है कि एक सामान्य उपयोगिता फ़ंक्शन विनिर्देश के तहत , जो अनंत को छोड़कर शून्य सीमांत उपयोगिता नहीं देता है। बदले में इसका मतलब है कि बाधा को एक समानता के रूप में रखना चाहिए। यह देखते हुए कि यह देता है $(5b)$ $\mu_*>0$ $IC$ $w_*=0$

\begin{matrix} (6) & I C : w^{'} p^{'} - 1 - w^{'} p = 0 ⟹ = w_{*}^{'} = \frac{1}{p^{'} - p} \end{matrix}

$IC: w'p' - 1 - w'p =0 \implies = w'_* = \frac 1{p'-p} \tag{6}$

यह एक घंटी बजनी चाहिए, क्योंकि के दाहिने हाथ की ओर और के दाहिने हाथ-पक्ष के समान है । $(6)$ $(1)$ $(3)$

अर्थात्, यदि हम एक प्राथमिकता मान रहे हैं कि , तो हम जिस समाधान पर पहुंचे हैं, वह दावा को मान्य करता है $x'-x = \frac 1{p'-p}$ $x'-w'_* = x-w_*$

इस अतिरिक्त धारणा के तहत, हम भी प्राप्त करते हैं

\begin{matrix} (4c) & u^{'} (x) \geq - μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) \geq - \mu_* \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'} \tag {4c}$

\begin{matrix} (5c) & u^{'} (x) = μ_{*} \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \end{matrix}

$u'(x) = \mu_* \frac{p'-p}{1-p'} \tag{5c}$

संयोजन, हम प्राप्त करते हैं

μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} \geq - μ \frac{p^{'} - p}{1 - p^{'}} + \frac{ξ_{*}}{1 - p^{'}}

$\mu \frac{p'-p}{1-p'} \geq - \mu \frac {p'-p}{1-p'} + \frac {\xi_*}{1-p'}$

\begin{matrix} (7) & ⟹ μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)} \end{matrix}

$\implies \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)} \tag{7}$

यह स्वीकार्य है । तो तहत , हम समाधान प्राप्त करते हैं $x'-x = \frac 1{p'-p}$

{w_{*}^{'} = x^{'} - x = 1 / (p^{'} - p), w_{*} = 0, λ_{*} = 0, μ_{*} \geq \frac{ξ_{*}}{2 (p^{'} - p)}, ξ_{*} > 0, ξ_{*}^{'} = 0}

$\left \{w'_* = x'-x = 1/(p'-p), w_* =0, \lambda_*=0, \mu_* \geq \frac {\xi_*}{2(p'-p)}, \xi_* >0, \xi'_* =0\right\}$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत