एक तत्व में परिवर्तन होने पर उलटा मैट्रिक्स को कम्प्यूट करना

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एक मैट्रिक्स को देखते हुए । व्युत्क्रम मैट्रिक्स को be (यानी, )। मान लें कि एक तत्व in बदल गया है (चलो को ) कहते हैं। इस परिवर्तन के बाद उद्देश्य खोजना है । क्या इस उद्देश्य को खोजने के लिए एक विधि है जो खरोंच से उलटा मैट्रिक्स की फिर से गणना करने से अधिक कुशल है। $n \times n$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}$ $\mathbf{A}^{-1}$ $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}$ $\mathbf{A}$ $a _{ij}$ $a' _{ij}$ $\mathbf{A}^{-1}$

algorithms numerical-analysis online-algorithms

— AJed
स्रोत

शानदार उत्तर: मुझे निम्नलिखित पेपर मिला, जो इस सटीक समस्या से निपटता है: सांकॉस्की, पियोट्र। "डायनामिक मैट्रिक्स व्युत्क्रम के माध्यम से डायनामिक ट्रांज़िटिव क्लोजर।" कंप्यूटर विज्ञान, 2004 की नींव। कार्यवाही। 45 वें वार्षिक IEEE संगोष्ठी पर। IEEE, 2004.

— AJed

अगर पेपर किसी तरह से आपकी समस्या का जवाब या पता देता है, तो उत्तर जोड़ना ठीक है! :) आखिरकार, टिप्पणियां किसी भी समय हटा दी जा सकती हैं।

— जूहो

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शर्मन मॉरिसन सूत्र मदद कर सकता है:

(A + u v^{T})^{- 1} = A^{- 1} - \frac{A^{- 1} u v^{T} A^{- 1}}{1 + v^{T} A^{- 1} u} .

$(A + uv^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{A^{-1} uv^T A^{-1}}{1 + v^T A^{-1} u}.$

चलो और , जहां मानक आधार स्तंभ वेक्टर है। आप देख सकते हैं कि अगर अद्यतन मैट्रिक्स है तो $u = (a'_{ij}-a_{ij}) e_i$ $v = e_j$ $e_i$ $A'$

A^{' - 1} = A^{- 1} - \frac{(a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i \to}^{- 1} A_{↓ j}^{- 1 T}}{1 + (a_{i j}^{'} - a_{i j}) A_{i j}^{- 1}} .

$A^{\prime -1} = A^{-1} - \frac{(a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{i\rightarrow} A^{-1T}_{\downarrow j}}{1 + (a'_{ij}-a_{ij})A^{-1}_{ij}}.$

— युवल फिल्मस
स्रोत

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$A$ $A^{-1}$

$\delta = a_{ij}' - a_{ij}$ $a_{ij}$ $e_i$ $i$

(A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) A^{- 1} = I + e_{i} δ e_{j}^{⊤} A^{- 1}

$(A + e_i \delta e_j^\top )A^{-1} = I + e_i \delta e_j^\top A^{-1}$

$e_i \delta e_j^\top$ is the zero matrix, except the value of $\delta$ in the $ij$ position. Can you see here how an appropriate rank one right multiplication with $A^{-1}$ may give the desired new inverse? (Or equivalently, elementary column operations on $A^{-1}$ .)

Or if you like to do row operations instead, you can use

A^{- 1} (A + e_{i} δ e_{j}^{⊤}) = I + A^{- 1} e_{i} δ e_{j}^{⊤}

$A^{-1}(A + e_i \delta e_j^\top ) = I + A^{-1}e_i \delta e_j^\top$

In the first case we have the identity with a row added. This is easy to do column operations upon to have the identity back again. Do these operations on $A^{-1}$ and the result is the new inverse, as desired. The second case is the identity with a column added. In that case, you may do row operations instead. You may choose whichever is more convenient.

— adam W
स्रोत

Nice answer, but how different is this from the previous one of Yuval ?

— AJed

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A different perspective is all, if you like pivot operations this form shows the values to be zeroed, and that row or column operations may be done in this case. If an entire row were changed instead, it would still work but then column operations on

A^{- 1}

$A^{-1}$ would be necessary.

— adam W