क्या

Question

यदि नियमित है, तो क्या यह पालन किया जाता है कि नियमित है?$A^2$$A$

एक प्रमाण पर मेरा प्रयास:

हाँ, विरोधाभास के लिए मान लें कि $A$ नियमित नहीं है। फिर $A^2 = A \cdot A$ ।

चूंकि दो गैर-नियमित भाषा का संघटन नियमित नहीं है इसलिए $A^2$ नियमित नहीं हो सकता है। यह हमारी धारणा के विपरीत है। अतः $A$ नियमित है। इसलिए यदि $A^2$ नियमित है तो $A$ नियमित है।

क्या प्रमाण सही है?

क्या हम इसे $A^3$ , $A^4$ , आदि के लिए सामान्यीकृत कर सकते हैं ...? और यह भी अगर $A^*$ नियमित रूप से है तो $A$ की जरूरत नहीं नियमित रूप से हो सकता है?

उदाहरण: $A=\lbrace 1^{2^i} \mid i \geq 0\rbrace$ नहीं नियमित रूप से है, लेकिन $A^*$ नियमित रूप से है।

Comments

पहला प्रमाण एक बड़ी छलांग लगाता है। आपका क्या प्रमाण है कि नियमित नहीं है A 2 नियमित नहीं है? साबित करना कि ठीक से आपको बाकी सवालों के जवाब देने में मदद मिल सकती है, अगर वास्तव में यह सच है। $A$$A^2$

— डेव क्लार्क

@DaveClarke ने सबूत संपादित किया।

— अक्षय

आप "क्या मैं सही हूँ" मंत्र का प्रबंधन? वह रास्ता बहुत पेचीदा है। एक सामान्य सलाह के रूप में: जब सैकड़ों लोगों ने पढ़ा कि आपने क्या लिखा है, तो सामान्य शालीनता यह मांग करती है कि आप कैसे लिखते हैं, इस पर ध्यान दें; ;-)

— लेडी बाउर

@AndrejBauer ओपी कोई हो सकता है जो अंग्रेजी का मूल वक्ता नहीं है, और जिसे औपचारिक अंग्रेजी पर निर्देश प्राप्त करने का अवसर अभी तक नहीं मिला है। यह किसी को हतोत्साहित करने का कोई कारण नहीं है, हालांकि यह उन्हें सही करने में मददगार हो सकता है।

— युवल फिल्मस

Answer 1

लैगरेंज के चार वर्ग प्रमेय पर विचार करें । इसमें कहा गया है कि यदि तो बी 4 = { 1 एन | n ≥ 0 } । यदि B 2 नियमित है, तो A = B और ले लीजिए A = B 2 । किसी भी तरह, यह अनियमित ए के अस्तित्व को साबित करता है जैसे कि ए 2 नियमित है।$B = \{1^{n^2}| n \geq 0\}$$B^4 = \{1^n | n \geq 0\}$$B^2$$A = B$$A = B^2$$A$$A^2$

Comments

मैं इस प्रमाण को नहीं समझता; क्या आप थोड़ा विस्तार कर सकते हैं?

— जी। बैच

इस (सुंदर) सबूत की व्याख्या: हम है कि , और कहा कि बी 4 ∈ आर ई जी । निरीक्षण करें कि बी 4 = ( बी 2 ) 2 । अब, अगर बी 2 ∈ आर ई जी , तो लेने के द्वारा एक = बी हम बन counterexample है, और अगर बी 2 ∉ आर ई जी तो लेने के द्वारा एक = बी 2 हम बन counterexample है। $B\notin REG$$B^4\in REG$$B^4=(B^2)^2$$B^2\in REG$$A=B$$B^2\notin REG$$A=B^2$

— शाल

बेहद सुंदर।

— वॉनब्रांड

@YuvalFilmus, वास्तव में, लेकिन मेरे पास कोई सबूत नहीं था और मैं कोई संदेह नहीं छोड़ना चाहता था। अब मुझे लगता है कि एक मिल गया है। "एक संख्या दो वर्गों का योग है यदि और केवल यदि फार्म 4 k + 3 के सभी प्रमुख कारकों में भी n के मुख्य गुणन में घातांक है ।" चलो n पम्पिंग लंबाई हो। विचार करें w = ( n ! ) २ । चलो पी प्रपत्र का एक प्रमुख होना 4 कश्मीर + 3 और जाने मीटर लंबाई हम पंप करने के लिए चुनते हैं। फिर, w + ( पी - 1 $n$$4k+3$$n$$n$$w = (n!)^2$$p$$4k+3$$m$पर एक अजीब प्रतिपादक हैपीऔर इस प्रकार में नहीं हैबी2। $w + (p-1)\frac{w}{m}\cdot m = pw$$p$$B^2$

— करोलिस जुओदेलो

@ जोनासकॉल्कर, सहमत हैं।

— करोलिस जुओदेलो

Answer 2

यहाँ एक गैर गणनीय भाषा का एक उदाहरण है ऐसी है कि एक 2 = Σ * । किसी भी गैर गणनीय लो कश्मीर (जैसे ट्यूरिंग मशीन है कि पड़ाव के कोड संख्या का एक सेट के रूप में प्रतिनिधित्व,), और परिभाषित एक = { w ∈ Σ * : | w | ≠ 4 कश्मीर  सभी के लिए  कश्मीर ∈ कश्मीर } । तो एक लंबाई के लोगों के अलावा अन्य सभी शब्द शामिल हैं 4 कश्मीर कुछ के लिए कश्मीर ∈ कश्मीर । अगर $A$$A^2 = \Sigma^*$$K$

$$A = \{ w \in \Sigma^* : |w| \neq 4^k \text{ for all } k \in K \}.$$ $A$$4^k$$k \in K$$A$गणना योग्य थे तो आप : दिए गए k की गणना कर सकते हैं , यह निर्धारित कर सकते हैं कि 0 4 k (अर्थात 4 k शून्य) A में है या नहीं। चूँकि हमने माना कि K संगणनीय नहीं है, A को भी अभिकलन होना चाहिए।$K$$k$$0^{4^k}$$4^k$$A$$K$$A$

दावा: । चलो डब्ल्यू लंबाई के किसी भी शब्द हो n । अगर एन की एक शक्ति नहीं है 4 , तो डब्ल्यू ∈ एक और खाली शब्द में है एक है, इसलिए डब्ल्यू ∈ ए 2 । यदि n 4 की शक्ति है तो n / 2 4 की शक्ति नहीं है । लिखें w = x y , कहाँ | x | = | y | = n $A^2 = \Sigma^*$$w$$n$$n$$4$$w \in A$$A$$w \in A^2$$n$$4$$n/2$$4$$w = xy$ । दोनों एक्स , वाई ∈ एक तो w = एक्स वाई ∈ ए 2 ।$|x| = |y| = n/2$$x,y \in A$$w = xy \in A^2$

Comments

शुरुआती लोगों के लिए, " अनडिसीडेबल" ​​के लिए एक प्रूफ स्केच क्रम में हो सकता है। इसके अलावा, एक छोटी बाधा यह हो सकती है कि आप K को एक औपचारिक भाषा के रूप में और संख्याओं के सेट के रूप में उपयोग करते हैं (जो उचित है, K के लिए उपयुक्त शब्दार्थ मानते हुए , लेकिन शायद अपरिचित)। अन्यथा, बहुत अच्छा विचार है। $A$$K$$K$

— राफेल

Answer 3

आपका प्रमाण अभी भी एक बड़ी छलांग लगाता है (यह तर्क देते हुए कि गैर-नियमित भाषाओं का संक्षिप्त विवरण गैर-नियमित है)।

यदि गोल्डबैक अनुमान सही है, तो प्रश्न का उत्तर नहीं है: गैर-नियमित भाषा पर विचार करें । फिर गोल्डबैक अनुमान द्वारा, ए 2 = { 1 2 k : k > 1 } , जो नियमित है।$A=\{1^p: p\text{ is a prime}\}$$A^2=\{1^{2k}: k>1\}$

यह सवाल को पूरी तरह से हल नहीं करता है, लेकिन यह मजबूत सबूत देता है कि जवाब नहीं है (अन्यथा गोल्डबैक अनुमान गलत है)। हालांकि, जवाब साबित करना बहुत मुश्किल हो सकता है, अगर यह एकमात्र ज्ञात उदाहरण है।

Comments

हम सवाल के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं?

— अक्षय

गोल्डबैक अनुमान के अनुसार- नियमित है, ए की तुलना में अभी भी गैर-नियमित हो सकता है। तो: यह साबित करते हुए कि उत्तर "हां" का अर्थ होगा कि गोल्डबैक अनुमान गलत (संभावनाहीन) है। $A^2$$A$

— शाल

"वास्तविक" प्रमाणों की उपस्थिति में, मुझे नहीं लगता कि एक अप्रमाणित अनुमान का उपयोग करना उचित है। शायद कनेक्शन कुछ के लिए दिलचस्प है?

— राफेल

दरअसल, निम्नलिखित उत्तरों के बाद, यह बेमानी है। हालांकि, आप यहां एक अच्छा गणितीय विकास देख सकते हैं: एक प्रसिद्ध अनुमान के आधार पर एक उत्तर, फिर एक संबंधित उत्तर (लैग्रेंज प्रमेय का उपयोग करके), जो एक समान विचार (संख्या को एक राशि तक घटाते हुए) पर आधारित है।

— शूल

वास्तव में यदि आप primes और semiprimes का उपयोग करते हैं, तो आप चेन के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं ।

— sdcvvc

Answer 4

दावा गलत है।

चलो गैर नियमित रूप से भाषा है जो "विरल" है: यदि एक्स ∈ डी तो किसी अन्य वाई ∈ डी संतुष्ट | y | > 4 | x | (या | x | > 4 | y | ) ^† । यह देखना बहुत मुश्किल नहीं है कि कई गैर-नियमित भाषाएं विरल हो सकती हैं।$D$$x \in D$$y\in D$$|y| > 4|x|$$|x|>4|y|$^$\dagger$

अब परिभाषित । क्लोजर गुणों (पूरकता) से, ए को गैर-नियमित होना चाहिए।$A = \Sigma^* \setminus D$$A$

हालांकि, (आप क्यों देख सकते हैं?)$A^2 = \Sigma^*$ $\ \ \ $

^$\dagger$ _{मुझे लगता है किपर्याप्त है, लेकिन कुछ बुरा किनारा मामलों का कारण बन सकता है। | y | > 2 | x | + 2 हालांकि पर्याप्त होना चाहिए, तो चलो ले | y | > 4 | x | सुरक्षित रहने के लिये।$|y|>2|x|$$|y|>2|x|+2$$|y|>4|x|$}

Comments

मुझे यह पसंद है कि कैसे इस सवाल को और अधिक तुच्छ प्रमाण मिल रहे हैं। विरल का आपका विचार आगे एक आवश्यकता के सरल किया जा सकता है कि और 1 कश्मीर ∉ $1 \in A$ । $1^k \notin A \implies 1^{k-1} \in A$

— कारोलिस जुओदेलो

Answer 5

किसी भी nonregular लो और परिभाषित एक = { 1 } ∪ { 1 2 एक्स : एक्स ∈ एन } ∪ { 1 2 एक्स + 1 : 1 एक्स ∈ एक्स } ।$X \subseteq {1}^\ast$$A=\{1\} \cup \{1^{2x}:x \in \mathbb N\} \cup \{1^{2x+1}:1^x \in X\}$

यह देखना आसान है , जबकि nonregular है एक 2 = 1 * ।$A$$A^2=1^{\ast}$

Answer 6

चलो किसी भी अनिर्णनीय सेट हो, चलो मैं = { 2 यू + 1 | यू ∈ यू } ∪ { 0 , 2 , 4 , ... } और जाने एल = { एक मैं | मैं ∈ मैं } । एल  अनिर्दिष्ट है इसलिए यह निश्चित रूप से नियमित नहीं है। लेकिन एल 2 = { एक 2 n | n ∈ एन } $U\subseteq \mathbb{N}$$I = \{2u+1\mid u\in U\}\cup\{0,2,4,\dots\}$$L = \{a^i\mid i\in I\}$$L$ , जो नियमित है क्योंकि इसका पूरक परिमित है।$L^2 = \{a^{2n}\mid n\in \mathbb{N}\} \cup \{a^n\mid n\geq \min\,I\}$

Answer 7

एक अन्य उदाहरण है, एक सवाल है कि इस का डुप्लिकेट के रूप में चिह्नित किया गया था से, गैर नियमित रूप से भाषा पर विचार करना है $\{a^k\mid m\text{ is composite}\}$ । कोई भी संख्या $n\geq 8$ का योग है $n-4$ और  $4$ , जो दोनों मिश्रित कर रहे हैं; किसी भी विषम संख्या $n\geq 13$ का योग है $n-9$ और  $9$ , जो दोनों मिश्रित कर रहे हैं ( $n-9=2m$ कुछ के लिए $m\geq 2$ )। इसलिए, $A^2 = \{a^8,a^{10}\}\cup\{a^k\mid k\geq 12\}$ है, जो नियमित रूप से है, क्योंकि यह के सह-परिमित (इसके बारे में पूरक है$\{\epsilon,a,aa,\dots,a^6,a^7,a^9,a^{11}\}$ )।