बड़ा के अनंत श्रृंखला

सबसे पहले, मुझे स्पष्ट करने के लिए बड़े की परिभाषा लिखना चाहिए $O$ ।

$f(n)\in O(g(n))\iff \exists c, n_0\gt 0$ ऐसा है कि $0\le f(n)\le cg(n), \forall n\ge n_0$

मान लें कि हमारे पास कार्यों की एक सीमित संख्या है: संतोषजनक: $f_1,f_2,\dots f_n$

$O(f_1)\subseteq O(f_2)\dots \subseteq O(f_n)$

परिवर्तनशीलता से , हमारे पास वह है: $O$ $O(f_1)\subseteq O(f_n)$

अगर हमारे पास अनंत श्रृंखला है तो क्या यह पकड़ है ? दूसरे शब्दों में, ? $O's$ $O(f_1) \subseteq O(f_\infty)$

मैं कल्पना कर रहा हूं कि क्या चल रहा है।

asymptotics landau-notation

— saadtaame
स्रोत

जवाबों:

हमें सबसे पहले यह स्पष्ट करने की आवश्यकता है कि "यदि हमारे पास एक अनंत श्रृंखला है तो क्या इसका मतलब है?" हम कार्यों की एक अनंत अनुक्रम के रूप में यह व्याख्या $\{f_i:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \mid 1\leq i\}$ ऐसी है कि के लिए सभी $i$ हमारे पास $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ । इस तरह के अनुक्रम में अंतिम कार्य नहीं हो सकता है।

। हालांकि यह संभव है कि सीमा मौजूद नहीं है। और यहां तक कि इस मामले में कि हमारे पास। उदाहरण के लिए कार्यों के अनुक्रम पर विचार करें। प्रत्येक, और इसलिए। हालाँकि इस प्रकार। $f_\infty(n) = \lim_{i\to \infty} f_i(n)$ $f_1(n) = O(f_\infty(n))$ $f_i(n) = \frac{n}{i}$ $i$ $f_i(n)=\Theta(n)$ $f_i(n) = O(f_{i+1}(n))$ $f_\infty(n)=\lim_{i\to\infty}f_i(n)=0=\Theta(1)$ $f_1(n) \neq O(f_\infty(n))$

दूसरी ओर हम उन वर्गों के अनुक्रम की सीमा को देख सकते हैं जिन्हें कार्यों की सीमा के वर्ग के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है । हम , इसलिए और $f_i \in \mathcal O(f_{i+1})$ $\mathcal O(f_i) \subseteq \mathcal O(f_{i+1})$ सभी के लिए । बेहतर सीमा (इस मामले में काम करता है) सभी तत्वों को जो असीम अक्सर होते हैं और अवर सीमा सभी तत्वों को जो सभी में होते हैं शामिल होता है कुछ के लिए $f_j \in \lim_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \limsup_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \liminf_{i\rightarrow\infty} \mathcal O(f_i) = \bigcup_{n \in \mathbb{N}}\bigcap_{k>n}\mathcal O(f_k)$ $j$ $\mathcal O(f_i), i \ge n_0$ $n_0$ (जो तत्व पर निर्भर हो सकता है)। चूंकि वर्गों का क्रम एकरूपता से बढ़ रहा है, दोनों मौजूद हैं और वे समान हैं। इस के उपयोग को सही ठहराते हैं । $\lim$

— frafl
स्रोत

दो श्रृंखलाएं हैं: एक फ़ंक्शन (जो कि अभिसरण या नहीं हो सकता है) और सेट में से एक (जहां प्रत्येक सेट पूर्ववर्ती का एक सुपर सेट है; यही कारण है कि यह श्रृंखला कन्वर्जेंस-लिम इनफिनिटी की परिभाषा और सेट के लिए लिम सुप) । पहले भाग के बिना सवाल का जवाब

हिस्सा है, दूसरे भाग के उत्तर देता

हिस्सा नकारात्मक (यदि

नीबू किसी प्रकार का होता है)।

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

f_{\infty}

$f_\infty$

— 17

क्या होगा अगर शब्दों की संख्या बेशुमार हो? :)

— सैम

कुछ अच्छी तरह से आदेश देने का उपयोग करना या क्या आप कुछ और अधिक निरंतर द्वारा श्रृंखला को बदलना चाहते हैं? :)

— frafl

@ केवह बहुत बहुत धन्यवाद, यह अब बहुत मायने रखता है। यदि आप सीमा के उपयोग को सही ठहरा सकते हैं और उस सीमित जानकारी का क्या मतलब है, तो यह मेरी समझ को पूरा करेगा।

— साढ़ेसाती

@ असद नाम: शायद ऐसा इसलिए है क्योंकि अभी भी ऊपर का सवाल यह नहीं पूछता है कि आप क्या जानना चाहते हैं? अगर मैं सही ढंग से याद है, आपके द्वारा जोड़े

एक टिप्पणी की वजह से यह सुझाव दिया। यदि आप कुछ संदर्भ प्रदान करते हैं, तो हो सकता है कि कोई व्यक्ति इस प्रश्न को फिर से बता सके।

f_{\infty}

$f_\infty$

— 15

हां, अनंत श्रृंखला होना संभव है।

मैं कर रहा हूँ यकीन है कि आप पहले से ही कुछ उदाहरण से परिचित हो: आप यहाँ एक अनंत श्रृंखला है: बढ़ रही है के बहुआयामी पद। क्या आप आगे जा सकते हैं? ज़रूर! एक घातीय किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से (asymptotically बोलने) बढ़ता है।

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots$

और निश्चित रूप से आप आगे बढ़ते रहने के कर सकते हैं:

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (x^{42}) \subseteq \dots O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O(x^{42}) \subseteq \ldots O(e^x)$

O (e^{x}) \subseteq O (x e^{x}) \subseteq O (e^{2 x}) \subseteq O (e^{e^{x}}) \subseteq \dots

$O(\mathrm{e}^x) \subseteq O(x\,\mathrm{e}^x) \subseteq O(\mathrm{e}^{2x}) \subseteq O(\mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}) \subseteq \ldots$

आप दूसरी दिशा में भी एक अनंत श्रृंखला बना सकते हैं। यदि तो $f = O(g)$ (सकारात्मक कार्यों के लिए चिपके हुए, यहाँ के बाद से हम जटिलता कार्यों की विषमता पर चर्चा करते हैं)। इसलिए हमारे पास उदाहरण के लिए है: $\dfrac{1}{g} = O\left(\dfrac{1}{f}\right)$

O (x) \subseteq O (x^{2}) \subseteq \dots \subseteq O (\frac{e^{x}}{x^{2}}) \subseteq O (\frac{e^{x}}{x}) \subseteq O (e^{x})

$O(x) \subseteq O(x^2) \subseteq \ldots \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x^2}\right) \subseteq O\left(\dfrac{e^x}{x}\right) \subseteq O(e^x)$

$f_1, \ldots, f_n$ $f_\infty$ $f_i$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{R}_+$ $f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$ $\{f_n(x) \mid n \in\mathbb{N}\}$

f_{\infty} (x) = max {f_{n} (x) ∣ 1 \leq n \leq N} if N \leq x < N + 1

$f_\infty(x) = \max \{f_n(x) \mid 1 \le n \le N \} \qquad \text{if $N \le x \lt N+1$}$

N

$N$

f_{N} \in O (f_{\infty})

$f_N \in O(f_\infty)$

\forall x \geq N, f_{\infty} (x) \geq f_{N} (x)

$\forall x \ge N, f_\infty(x) \ge f_N(x)$

f_{\infty} = o (f_{\infty}^{'})

$f_\infty = o(f_\infty')$

f_{\infty}^{'} (x) = x \cdot (1 + f_{\infty} (x))

$f_\infty'(x) = x \cdot (1 + f_\infty(x))$

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

यह सभी उत्तर (आपकी और अन्य एक), यह मानने पर आधारित है कि हम जानते हैं कि अनंत में क्या होता है, वे मेरे लिए संतोषजनक नहीं हैं, मुझे ओपी के बारे में पता नहीं है (हमें अनंत आकार के साथ समूह को बंद क्यों नहीं करना चाहिए था? ;)

@SaeedAmiri मुझे क्षमा करें, मुझे आपकी टिप्पणी समझ में नहीं आती है: "आप जानते हैं कि" हमें पता है कि अनंत में क्या होता है, वे मेरे लिए संतोषजनक नहीं हैं "?

— गिलेस एसओ- बुराई को रोकना '