ट्यूरिंग मशीन गणना का एक लोकप्रिय मॉडल क्यों है?


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मैं एक सीएस स्नातक हूँ। मैं समझता हूं कि ट्यूरिंग अपनी सार मशीन के साथ कैसे आया (एक संगणना करने वाले व्यक्ति को मॉडलिंग करता है), लेकिन यह मुझे एक अजीब, असभ्य अमूर्त लगता है। हम "टेप", और मशीन हेड राइटिंग सिंबल, स्टेट बदलने, टेप को आगे-पीछे करने पर विचार क्यों करते हैं?

अंतर्निहित महत्व क्या है? एक डीएफए सुरुचिपूर्ण है - यह ठीक से कब्जा करने के लिए लगता है कि नियमित भाषाओं को पहचानने के लिए क्या आवश्यक है। लेकिन ट्यूरिंग मशीन, मेरे नौसिखिए निर्णय के लिए, सिर्फ एक स्पष्ट सार गर्भनिरोधक है।

इसके बारे में सोचने के बाद, मुझे लगता है कि अभिकलन का सबसे आदर्श मॉडल यह कहना होगा कि इनपुट स्ट्रिंग के अनुरूप कुछ भौतिक प्रणाली, गति में सेट होने के बाद, एक स्थिर संतुलन तक पहुंच जाएगी, जो एक के बराबर व्याख्या करने के लिए इस्तेमाल किया जाता है मूल स्ट्रिंग से सिस्टम, सही आउटपुट स्ट्रिंग के अनुरूप होगा। यह "ऑटोमेशन" की धारणा को पकड़ता है, क्योंकि सिस्टम मूल राज्य पर पूरी तरह से आधारित होता है।

संपादित करें :

कुछ प्रतिक्रियाओं को पढ़ने के बाद, मुझे एहसास हुआ कि ट्यूरिंग मशीन के बारे में मुझे क्या भ्रम है कि यह न्यूनतम नहीं लगता है। गणना का विहित मॉडल स्पष्ट रूप से कम्प्यूटेबिलिटी का सार नहीं होना चाहिए?

इसके अलावा, अगर यह स्पष्ट नहीं था कि मुझे पता है कि डीएफए गणना के पूर्ण मॉडल नहीं हैं।

आपके उत्तरों के लिये धन्यवाद।


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उम्मीद है कि भविष्य की कक्षाएं स्पष्ट करने में मदद करेंगी।
युवल फिल्मस

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शायद आपको लैम्ब्डा कैलकुलस गणना के अधिक प्राकृतिक मॉडल के रूप में मिलेगा । यह क्या कार्यात्मक प्रोग्रामिंग पर आधारित है।
बाकुरू

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दरअसल, मैं स्नातक करने वाला हूं। उच्चतम स्तर का कोर्स मैंने लिया जिसमें ऑटोमेटिंग सिद्धांत शामिल था, जो ट्यूरिंग मशीनों के साथ बंद हो गया, हालांकि उन्होंने कंप्रेशन के विभिन्न मॉडलों के बीच समानता का उल्लेख किया। मैंने अपना उचित शेयर भी किया, ठीक से बेसिक, टीएम "प्रोग्रामिंग"। टीएम ने हालांकि मुझे हमेशा डांटा। यह "न्यूनतम" नहीं लगता था; यह मेरे लिए अभिकलन का सार नहीं था।
एलेक्स

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" इनपुट स्ट्रिंग के अनुरूप कुछ भौतिक प्रणाली " - यह पत्राचार कैसा दिखेगा? ट्यूरिंग मशीन वास्तव में इस तरह की चीज के लिए एक सरल लेकिन अभी तक शक्तिशाली औपचारिक मॉडल है।
बरगी

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ट्यूरिंग मशीन केवल मूल स्थिति (यदि आप कॉन्फ़िगरेशन का मतलब है) के आधार पर नियतकालिक रूप से परिवर्तन करते हैं। तो इसमें गलत क्या है?
user23013

जवाबों:


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ठीक है, एक डीएफए सिर्फ एक ट्यूरिंग मशीन है जिसे केवल दाईं ओर जाने की अनुमति है और इनपुट वर्णों से बाहर निकलते ही इसे स्वीकार या अस्वीकार करना होगा। इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि कोई वास्तव में कह सकता है कि एक डीएफए प्राकृतिक है लेकिन एक ट्यूरिंग मशीन नहीं है।

एक तरफ सवाल की आलोचना, याद रखें कि कंप्यूटर के अस्तित्व में आने से पहले ट्यूरिंग काम कर रहा था। इस तरह, वह इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों को कोडित करने की कोशिश नहीं कर रहा था, बल्कि सामान्य रूप से गणना कर रहा था। मेरे माता-पिता के पास 1930 के दशक का एक शब्दकोष है जो कंप्यूटर को "किसी ऐसे व्यक्ति के रूप में परिभाषित करता है" जो गणना करता है "और यह मूल रूप से ट्यूरिंग है जहां से आ रहा था: उसके लिए, उस समय, गणना स्लाइड नियमों, लॉग टेबल, पेंसिल और कागज के टुकड़ों के बारे में थी। उस मन-सेट में, एक पेपर टेप पर प्रतीकों को फिर से लिखना एक बुरा अमूर्त की तरह नहीं लगता है।

ठीक है, ठीक है, आप कह रहे हैं (मुझे उम्मीद है!) लेकिन हम 1930 के दशक में नहीं हैं और इसलिए हम अभी भी इसका इस्तेमाल क्यों करते हैं? यहाँ, मुझे नहीं लगता कि कोई एक विशिष्ट कारण है। ट्यूरिंग मशीनों का लाभ यह है कि वे उचित रूप से सरल हैं और हम उनके बारे में चीजों को साबित करने में शालीनता से अच्छे हैं। यद्यपि कुछ विशेष कार्य करने के लिए ट्यूरिंग मशीन प्रोग्राम को औपचारिक रूप से निर्दिष्ट करना बहुत थकाऊ है, एक बार जब आप इसे कुछ बार कर चुके होते हैं, तो आपके पास एक उचित अंतर्ज्ञान होता है कि वे क्या कर सकते हैं और आपको औपचारिक विनिर्देशों को किसी भी अधिक लिखने की आवश्यकता नहीं है। मॉडल को आसानी से अन्य प्राकृतिक विशेषताओं को शामिल करने के लिए बढ़ाया जाता है, जैसे कि टेप तक यादृच्छिक पहुंच। इसलिए वे एक बहुत उपयोगी मॉडल हैं जिसे हम अच्छी तरह से समझते हैं और हमें यह भी अच्छी समझ है कि वे वास्तविक कंप्यूटर से कैसे संबंधित हैं।

कोई अन्य मॉडलों का उपयोग कर सकता है, लेकिन एक को फिर नए मॉडल के लिए परिणामों के बीच भारी मात्रा में अनुवाद करना होगा और ट्यूरिंग मशीन क्या कर सकती है, इस पर मौजूदा काम का विशाल निकाय। कोई भी ट्यूरिंग मशीनों के लिए एक प्रतिस्थापन के साथ नहीं आया है जो कि एक अच्छे विचार की तरह दिखने के लिए बड़े पर्याप्त फायदे हैं।


टिप्पणियाँ विस्तारित चर्चा के लिए नहीं हैं; इस वार्तालाप को बातचीत में स्थानांतरित कर दिया गया है ।
गिल्स

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आप कई अलग-अलग प्रश्न पूछ रहे हैं। मुझे एक-एक करके उनका संक्षिप्त उत्तर देना चाहिए।

ट्यूरिंग मशीन मॉडल के बारे में इतना महत्वपूर्ण क्या है?

कम्प्यूटेबिलिटी सिद्धांत के प्रारंभिक काल के दौरान, विभिन्न संदर्भों में कम्प्यूटेशन के कई मॉडल सुझाए गए थे। उदाहरण के लिए, गोडेल, जो यह समझने की कोशिश कर रहे थे कि उनकी अपूर्णता प्रमेय किन प्रूफ सिस्टमों पर लागू होती है, सामान्य पुनरावर्ती कार्यों की औपचारिकता के साथ आए और चर्च गणित के लिए विरोधाभास मुक्त नींव के प्रयास के रूप में पथरी के साथ आया । ट्यूरिंग खुद हिल्बर्ट की एक समस्या से प्रेरित थे, जिन्होंने किसी दिए गए गणितीय कथन के सत्य मूल्य को निर्धारित करने के लिए "विशुद्ध रूप से यांत्रिक प्रक्रिया" के लिए कहा।λ

उस समय, कम्प्यूटिंग को परिभाषित करने में ट्यूरिंग का प्रयास सबसे संतोषजनक था। यह अंततः पता चला कि ऊपर वर्णित संगणना के सभी मॉडल समकक्ष हैं - वे सभी संगणना की एक ही धारणा का वर्णन करते हैं। ऐतिहासिक कारणों से, ट्यूरिंग का मॉडल कम्प्यूटेबिलिटी को परिभाषित करने के सबसे विहित तरीके के रूप में सामने आया। ऊपर सूचीबद्ध लोगों सहित कई अन्य मॉडलों की तुलना में मॉडल बहुत ही अल्पविकसित और काम करने में आसान है।

सामान्य कंप्यूटर विज्ञान ट्यूरिंग मशीनों को कम्प्यूटेबिलिटी की परिभाषा के रूप में सिखाता है, और फिर उनका उपयोग जटिलता सिद्धांत का पता लगाने के लिए भी करता है। लेकिन एल्गोरिदम का विश्लेषण रैम मशीन के रूप में जाना जाने वाले अधिक यथार्थवादी मॉडल के संबंध में किया जाता है, हालांकि यह मुद्दा आमतौर पर कॉग्नोसेंटी के लिए एक रहस्य के रूप में कालीन के नीचे बह जाता है।

DFA एक बेहतर मॉडल नहीं हैं?

यह राबिन और स्कॉट के प्रसिद्ध पेपर, फ़िनिट ऑटोमेटा और उनके निर्णय की समस्याओं के पीछे मूल प्रेरणा थी:

ट्यूरिंग मशीनों को व्यापक रूप से डिजिटल कंप्यूटर का सार प्रोटोटाइप माना जाता है; हालांकि, क्षेत्र के श्रमिकों ने अधिक से अधिक महसूस किया है कि ट्यूरिंग मशीन की धारणा वास्तविक कंप्यूटरों के सटीक मॉडल के रूप में काम करने के लिए बहुत सामान्य है। यह सर्वविदित है कि साधारण गणनाओं के लिए भी टेप की मात्रा पर एक प्राथमिक ऊपरी सीमा देना असंभव है, किसी भी गणना के लिए ट्यूरिंग मशीन की आवश्यकता होगी। यह वास्तव में यह विशेषता है जो ट्यूरिंग की अवधारणा को अवास्तविक प्रदान करती है।

पिछले कुछ वर्षों में साहित्य में एक परिमित ऑटोमेटन का विचार प्रकट हुआ है। ये केवल आंतरिक राज्यों की एक सीमित संख्या वाली मशीनें हैं जिनका उपयोग स्मृति और गणना के लिए किया जा सकता है। परिमितता का प्रतिबंध एक भौतिक मशीन के विचार को बेहतर सन्निकटन देता है। बेशक, ऐसी मशीनें ट्यूरिंग मशीनों के रूप में ज्यादा नहीं कर सकती हैं, लेकिन एक मनमाना सामान्य पुनरावर्ती कार्य की गणना करने में सक्षम होने का लाभ संदिग्ध है, क्योंकि इनमें से बहुत से कार्य व्यावहारिक अनुप्रयोगों में आते हैं।

हालांकि, यह पता चला है कि जबकि ट्यूरिंग मशीनें बहुत मजबूत हैं, डीएफए बहुत कमजोर हैं । आजकल के सिद्धांतकार बहुपद समय गणना की धारणा को पसंद करते हैं , हालांकि यह धारणा भी इसकी समस्याओं के बिना नहीं है। उस ने कहा, डीएफए और एनएफए अभी भी अपने उपयोग करता है, मुख्यतः संकलक (लेक्सिकल विश्लेषण के लिए उपयोग किया जाता है) और नेटवर्क डिवाइस (अत्यंत कुशल फ़िल्टरिंग के लिए उपयोग किया जाता है)।

क्या ट्यूरिंग मशीन मॉडल बहुत सीमित नहीं है?

चर्च-ट्यूरिंग थीसिस कहा गया है कि ट्यूरिंग मशीन कम्प्यूटेबिलिटी की शारीरिक धारणा पर कब्जा। यूरी गुरेविच ने इस थीसिस को साबित करने का एक प्रयास किया है, जिसमें अभिकलन राज्य मशीनों के रूप में ज्ञात अभिकलन उपकरणों का एक अधिक सामान्य वर्ग तैयार करके साबित किया है कि वे ट्यूरिंग मशीनों के लिए शक्ति के बराबर हैं। शायद ये मशीनें आपके आदर्श मॉडल के अनुरूप हैं।


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अंतर्निहित महत्व ट्यूरिंग-तुल्यता के विचार के बारे में है। सटीक मॉडल महत्वपूर्ण नहीं है, जब तक कि यह ट्यूरिंग-समतुल्य है। लेकिन एक सरल मॉडल का उपयोग करना बेहतर है ताकि आप अन्य मॉडलों के लिए आसान साबित हो सकें।

अधिक सटीक रूप से, इस मॉडल को अन्य मॉडलों में अनुकरण करना आसान बनाना बेहतर है, क्योंकि हम जानते हैं कि अधिकांश उन्नत प्रोग्रामिंग भाषाएं ट्यूरिंग-समतुल्य हैं (स्मृति पतों के बारे में कुछ मान्यताओं के साथ) और अन्य मॉडलों का अनुकरण करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

अन्य मॉडल हैं, जैसे लैम्ब्डा कैलकुलस और (स्ट्रिंग पुनर्लेखन) व्याकरण। लेकिन ट्यूरिंग मशीन में समय और स्थान की कमी को परिभाषित करना आसान है। आप एक प्रोग्रामिंग भाषा का उपयोग भी कर सकते हैं जैसे कि ब्रेनफक, लेकिन कभी-कभी तार्किक रूप से मामूली संशोधन प्राप्त करने के लिए प्रतीकों को फिर से परिभाषित करने के लिए अनावश्यक काम की आवश्यकता होती है।

इसलिए, ट्यूरिंग मशीन मेरे लिए काफी उपयुक्त प्रतीत होती है यदि आपको हर चीज के लिए एक मॉडल सीखना है। लेकिन अगर आप किसी भी तरह से कई मॉडल सीखने जा रहे हैं, तो मुझे ट्यूरिंग-समतुल्यता के विचार के लिए लैम्ब्डा कैलकुलस सीखने में कुछ भी गलत नहीं दिखता है, अन्य मॉडलों को साबित करने के लिए ब्रेनफॉक, ट्यूरिंग-समतुल्य, और व्यावहारिक प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (सुलभ स्टैक और कोई छिपे हुए चर के साथ बेहतर) समय / स्थान की कमी के लिए, और केवल ट्यूरिंग मशीन को इन चीजों के बराबर साबित करने के लिए एक उपकरण पर विचार करें यदि कोई भी इसके चारों ओर एक रास्ता खोजने के लिए परेशान नहीं है। यह स्वाभाविक रूप से होता है यदि आपने पहले अंतर्निहित सिद्धांत को सीखना शुरू नहीं किया था, लेकिन केवल तब किया जब आप उन्हें उपयोगी पाते हैं।


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अनिवार्य रूप से सभी वास्तविक आधुनिक सीपीयू रैम के साथ रजिस्टर मशीन हैं । यहां तक ​​कि केवल एक संचायक रजिस्टर के साथ माइक्रोकंट्रोलर या टॉय आर्किटेक्चर के पास आम तौर पर एक अलग तरह का एड्रेस रजिस्टर होता है, जिसमें आप शुद्ध संचायक मशीन होने के बजाय पॉइंटर्स को लोड कर सकते हैं। लेकिन वास्तविक हार्डवेयर में निश्चित आकार के पते होते हैं, और इस प्रकार ट्यूरिंग-पूर्ण नहीं होता है। IDK अगर रजिस्टर-मशीन मॉडल का उपयोग सैद्धांतिक CS में बहुत किया जाता है, लेकिन यह है कि वास्तविक जीवन में असेंबली-भाषा कैसे काम करती है, और पूर्ण विश्लेषण के लिए समझना उपयोगी हो सकता है क्योंकि सब कुछ asm के लिए संकलित है।
पीटर कॉर्डेस

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मैं इस सवाल का जवाब देना चाहते हैं, एक संपादन में जोड़ा:

"गणना का विहित मॉडल स्पष्ट रूप से कम्प्यूटेबिलिटी का सार नहीं होना चाहिए?"

ट्यूरिंग ने अपने मूल पेपर में जो उल्लेखनीय चीजें कीं, उनमें से एक - जिसे हमने अब "ट्यूरिंग मशीन" कहा है, वह यह थी कि उन्होंने एक ऐसी ट्यूरिंग मशीन का निर्माण किया जो हर दूसरी ट्यूरिंग मशीन का अनुकरण कर सके। एक बार जब यह "यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन" बन जाती है, तो यह एक इनपुट टेप बनाकर काम करता है, जिसमें दो स्वतंत्र विशेषताएं होती हैं: पहला, ट्यूरिंग मशीन की एक एन्कोडिंग जो अनुकरण करना चाहती है; फिर, इनपुट टेप की एक प्रति जो कि ट्यूरिंग मशीन में डाली गई होती , यदि कोई आसपास बैठा हुआ होता। सेमीरोडर्न शब्दजाल में: सबसे पहले, एक प्रोग्राम सम्मिलित करता है जो यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन संकलित करता है; फिर, एक इनपुट सम्मिलित करता है जिसे सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन संकलित प्रोग्राम का उपयोग करके चलाता है।टी टीTTT

यह कम्प्यूटेबिलिटी के निबंधों में से एक है: कम्प्यूटेबिलिटी की सामान्य धारणा जो भी ध्यान में रखती है, एक एकल मशीन होनी चाहिए जो यह सब करती है। यह वास्तव में एक सार्वभौमिक ट्यूरिंग मशीन है। यह भी है कि आधुनिक कंप्यूटर क्या करते हैं (अनंत स्मृति होने के शारीरिक रूप से अवास्तविक आदर्श के अधीन)।

इसे लगाने का एक और तरीका है, जो सीधे आपकी चिंता को संबोधित करता है कि ट्यूरिंग मशीनें न्यूनतम नहीं हैं, यह है कि वे बस के रूप में कम से कम हो सकते हैं, इस आवश्यकता के अधीन हैं कि वे कम्प्यूटेबिलिटी की एक सामान्य धारणा का वर्णन करते हैं जिसके लिए एक सार्वभौमिक मशीन मौजूद है।


सार्वभौमिक मशीन के बारे में मुझे याद दिलाने के लिए धन्यवाद। मैं देखता हूं कि कैसे "पूर्ण" गणना का अर्थ है।
एलेक्स

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ट्यूरिंग मशीन का शाब्दिक अर्थ नहीं है; उनमें प्रोग्रामिंग एक ऐसी चीज है जो केवल एक बार अभ्यास के रूप में होती है, यह समझने के लिए कि वे कैसे काम करते हैं।

वे विशेष रूप से कुछ भी "करने" के लिए नहीं बने हैं। उन्हें न्यूनतम होने की आवश्यकता नहीं है, उन्हें काम करने के लिए आरामदायक होने की आवश्यकता नहीं है।

वे बस एक मशीन आप का एक मॉडल हैं सकता है का निर्माण है, जो के रूप में अर्थपूर्ण और किसी भी अन्य मशीन क्या तुमने कभी भौतिक ब्रह्मांड में निर्माण कर सकते हैं के रूप में शक्तिशाली होगा (जहाँ तक हम जानते हैं कि आज)।

उन्हें ट्यूरिंग द्वारा परिभाषित किया गया था जिस तरह से वे इन मुख्य कारणों के लिए हैं:

  • यह साबित करने में सक्षम होने के लिए कि वे किसी भी और सभी एल्गोरिथ्म को शामिल करते हैं जिनके बारे में हम कभी सोच सकते हैं।
  • रुकने की समस्या / निर्णय की समस्या पर काम करना।
  • यह करने के लिए किसी भी अन्य मशीन / भाषा को कम करने में सक्षम होने के लिए।

क्या दूसरी भाषा चुनना संभव होता? पक्का! आज हम जो भी पूर्ण भाषा जानते हैं उसका कोई भी उपयोग किया जा सकता था। लेकिन अधिक जटिल मशीन पर सैद्धांतिक आधार बनाने के लिए यह बहुत कठिन होता ।

मैं तर्क दूंगा कि वे "गणना के लोकप्रिय मॉडल" भी नहीं हैं; कोई भी कभी भी ट्यूरिंग मशीन के साथ कुछ भी गणना नहीं करेगा। यह एक विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक अवधारणा है, जिसे सिद्धांतवादी कंप्यूटर वैज्ञानिकों द्वारा tcs के लिए बनाया गया है।


सभी बिंदुओं पर सहमति। लोकप्रियता शायद केवल अधिक अस्पष्ट मॉडल जैसे थ्यू मशीन और लैंबडा कैलकुलस और एमिल पोस्ट के सामान के सापेक्ष है।
लूसर

क्षमा करें, लेकिन आप एक बहुत ही केंद्रीय बिंदु को याद करते हैं कि अन्य भाषाओं ने गंभीर रूप से गड़बड़ कर दी होगी। ट्यूरिंग मशीन परिभाषित करती है कि आप वास्तव में क्या गणना कर सकते हैं। कोई भी अन्य भाषा इस सवाल को सीमित कर देगी कि आप इसकी गणना कैसे कर सकते हैं, जिससे यह साबित होने की संभावना नहीं है कि आप क्या गणना कर सकते हैं या नहीं।
बेंट

यदि ट्यूरिंग मशीनों को अन्य मॉडलों के लिए कमी लक्ष्य माना जाता है, तो उन्हें न्यूनतम होने की आवश्यकता क्यों नहीं होगी?
बरगी

@ बेंट, मैं मानता हूं कि मुझे वह नहीं मिलता है जो आप इसके अलावा बता रहे हैं कि मैंने इसके साथ क्या कहा था "लेकिन एक अधिक जटिल मशीन पर सैद्धांतिक ग्राउंडवर्क बनाने के लिए यह बहुत कठिन होता ।" (अर्थात, वास्तविक प्रोग्रामिंग भाषा पर जैसे हम जानते हैं और उनका उपयोग करते हैं)।
18'18

लोकप्रियता से, मेरा मतलब था कि सैद्धांतिक सीएस में क्या उपयोग किया जाता है। फिर से, यह एकमात्र ऐसा मॉडल था जिसे मैंने सीखा था (हालांकि मुझे लगता है कि मैं थोड़ा सा लंबो कैलकुलस के संपर्क में था)। मैं बस सोचता था कि क्यों, शायद शैक्षणिक रूप से, यह हमेशा सिखाया जाने वाला पहला है। मैं देखता हूं कि इसकी व्यावहारिकता कैसे वारंट करती है।
एलेक्स

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यह लोकप्रिय क्यों है, शायद सबसे लोकप्रिय है? आपको याद होगा कि ट्यूरिंग ने इस "मशीन" को इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों से कई साल पहले ही निष्क्रिय कर दिया था। टीएम एक कागज, एक कलम, एक रबर और अंतिम लेकिन कम से कम, एक मानव मस्तिष्क के साथ संचालित होता है। तो हर कोई इस मशीन के साथ "अभिकलन" चलाने में सक्षम है। प्रत्येक व्यक्ति का अर्थ है एक व्यक्ति जिसने कभी कंप्यूटर नहीं सीखा, प्रोग्रामिंग लैंग्वेज। यह उपयोग करने के लिए सरल है। जब आप इसके बारे में सोचते हैं, तो आप एक विरोधाभास की खोज करते हैं: यह मशीन लगभग कुछ भी नहीं है लेकिन आप सब कुछ संचालित कर सकते हैं। मेरी राय में "लगभग-कुछ नहीं / बनाम / सब कुछ" का विरोधाभास यही कारण है कि यह लोकप्रिय है। मुझे लगता है कि टीएम स्पष्ट रूप से पुनरावृत्ति की व्याख्या नहीं करता है, टीएम टीएम केवल "कूद" से संबंधित है। वह विशेषता (स्पष्ट रूप से पुनरावृत्ति के बारे में बात करना) बदमाशों के लिए सिरदर्द का स्रोत हो सकता है, उदाहरण के लिए लैम्ब्डा-कैलकुलस में वाई-कॉम्बीनेटर की अवधारणा लगभग अन-समझ में आने वाली है; अधिक सटीक रूप से, टीएम लोकप्रिय है क्योंकि पुनरावृत्ति सिर दर्द के बिना "लगभग-कुछ / बनाम / सब कुछ" का विरोधाभास है।

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