श्रेणी और सेट के बीच का शब्दार्थ अंतर क्या है?

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इस प्रश्न में, मैंने पूछा कि सेट और प्रकार में क्या अंतर है । ये उत्तर वास्तव में स्पष्ट कर रहे हैं (उदाहरण @AndrejBauer), इसलिए ज्ञान के लिए मेरी प्यास में, मैं श्रेणियों के बारे में एक ही सवाल पूछने के प्रलोभन को प्रस्तुत करता हूं:

हर बार जब मैं के बारे में वर्ग सिद्धांत (जो वैसे नहीं बल्कि अनौपचारिक है) पढ़ा है, मैं वास्तव में नहीं समझ सकता कि यह कैसे सेट सिद्धांत से अलग है, वस्तुतः ।

तो सबसे ठोस तरीके से संभव है, क्या यह वास्तव में बारे में कहने का मतलब है कि यह श्रेणी , यह कहने की तुलना ? (जैसे कि को समूह कहने में क्या अंतर है, बनाम यह कहना कि श्रेणी के ?)। $x$ $C$ $x\in S$ $x$ $x$ $\mathrm {Grp}$

(आप किसी भी श्रेणी को चुन सकते हैं और सेट कर सकते हैं जो तुलना को सबसे अधिक स्पष्ट करता है)।

sets category-theory

— user56834
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि यह सवाल अच्छी तरह से बना है। पहले आप पूछें कि क्या अंतर है कि 'x एक श्रेणी C' बनाम 'x एक सेट S' में है। लेकिन फिर आप पूछते हैं कि 'एक्स श्रेणी जीआरपी में है' बनाम 'एक्स एक समूह है'। क्या? यह आपके प्रश्न का उदाहरण नहीं है। आपके प्रश्न का एक उदाहरण यह पूछ रहा है कि अंतर क्या है 'श्रेणी जीआरपी श्रेणी में' और 'एक्स सभी समूहों के सेट में है'। लेकिन फिर भी यह वास्तव में नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं यदि आप पूछ रहे हैं कि श्रेणियों और सेटों के बीच अंतर क्या है।

— माइल्स राउत

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संक्षेप में, सेट सिद्धांत सदस्यता के बारे में है जबकि श्रेणी सिद्धांत संरचना-संरक्षण परिवर्तनों के बारे में है।

सेट सिद्धांत केवल सदस्यता के बारे में है (अर्थात एक तत्व होने के नाते) और उस के संदर्भ में क्या व्यक्त किया जा सकता है (जैसे कि एक उपसमुच्चय)। यह तत्वों या सेटों के किसी भी अन्य गुणों से खुद को चिंतित नहीं करता है।

श्रेणी सिद्धांत इस बारे में बात करने का एक तरीका है कि किसी दिए गए प्रकार ^{1 के} गणितीय ढांचे को एक दूसरे में ² कार्यों में कैसे बदला जा सकता है जो उनकी संरचना के कुछ पहलू को संरक्षित करते हैं; यह गणितीय संरचना के प्रकार ¹ (समूह, ऑटोमेटा, वेक्टर रिक्त स्थान, सेट, सामयिक स्थान, ... और यहां तक कि श्रेणियां!) और उन प्रकारों ^{1 के} भीतर मैपिंग की एक महान श्रेणी के बोलने के लिए एक समान भाषा प्रदान करता है । यद्यपि यह संरचनाओं के बीच मैपिंग के गुणों को औपचारिक रूप देता है (वास्तव में: उन सेटों के बीच, जिन पर संरचना को लगाया गया है), यह केवल मानचित्रों और संरचनाओं के अमूर्त गुणों से संबंधित है, उन्हें आकारवाद (या तीर ) और वस्तुएं कहते हैं।; ऐसे संरचित सेट के तत्व श्रेणी सिद्धांत की चिंता नहीं है, और न ही उन सेटों पर संरचनाएं हैं। आप पूछते हैं " यह एक सिद्धांत क्या है "; यह एक मनमाना प्रकार ¹ की गणितीय वस्तुओं की संरचना-संरक्षण मैपिंग का एक सिद्धांत है ।

सार श्रेणियों ³ का सिद्धांत , हालांकि, जैसा कि अभी कहा गया है, पूरी तरह से सेट, संचालन, संबंधों और स्वयंसिद्धों को अनदेखा करता है, जो प्रश्न में वस्तुओं की संरचना को निर्दिष्ट करता है, और बस एक भाषा प्रदान करता है जिसमें बात करने के लिए कि कैसे मैपिंग जो कुछ ऐसे संरचनाओं को संरक्षित करते हैं। व्यवहार करें: यह जानने के बिना कि कौन सी संरचना संरक्षित है, हम जानते हैं कि इस तरह के दो मानचित्रों का संयोजन भी संरचना को बनाए रखता है। उस कारण से, श्रेणी सिद्धांत के स्वयंसिद्धों की आवश्यकता है कि आकृति विज्ञान पर एक साहचर्य रचना कानून हो और इसी तरह, कि प्रत्येक वस्तु से स्वयं के लिए एक पहचान आकृति विज्ञान हो। लेकिन यह नहीं मानता है कि आकारिकी वास्तव में सेट के बीच के कार्य हैं , बस यह कि वे उनके जैसा व्यवहार करते हैं।

बाहर काम करने के लिए: कंक्रीट श्रेणियां एक 'आधार श्रेणी' की वस्तुओं में संरचना को जोड़ने का विचार प्रस्तुत करती हैं; जब यह तो हमारे पास वह स्थिति हो सकती है जहां हम समूह ऑपरेशन जैसी संरचना को एक सेट में जोड़ते हैं। इस मामले में किसी के पास यह कहने के लिए अधिक हो सकता है कि विशिष्ट आधार श्रेणी के संदर्भ में संरचना को कैसे जोड़ा जाता है। $\mathsf{Set}$

अपने योगों के निहितार्थ के लिए , यह कहते हुए कि " एक समूह है", कि " समूहों के समूह का एक तत्व है" (वास्तव में एक उचित वर्ग ) या कि " (एक वस्तु) है "(या एक" -object ") का अर्थ तार्किक रूप से एक ही बात से है, लेकिन श्रेणी के बारे में बात करना आपको सुझाव देता है कि आप समूह होमोमोर्फिम्स ( में आकारिकी) में रुचि रखते हैं और शायद वे जो आम में हैं। अन्य आकारिकी के साथ। दूसरी ओर, कह रहे हैं $G$ $G$ $G$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $\mathsf{Grp}$ $G$ एक समूह आपको यह सुझाव दे सकता है कि आप समूह की संरचना (इसके गुणन संचालन) में रुचि रखते हैं या शायद समूह किसी अन्य गणितीय वस्तु पर कैसे कार्य करता है। आप समूहों के सेट से संबंधित बारे में बात करने की संभावना नहीं होगी , हालांकि आप उन समूहों के कुछ विशेष सेट के लिए आसानी से for लिख सकते हैं जिनमें आप रुचि रखते हैं। $G$ $G ∈ S$ $S$

यह सभी देखें

/math/tagged/category-theory?sort=votes
- विशेष रूप से /math/272875/concrete-category-and-abameter-category#1774821
अमूर्त और ठोस श्रेणियाँ: एड्मेक, हेरलिच और स्ट्रेकर द्वारा बिल्लियों की खुशी
https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory
- https://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_category

¹ _{यहाँ और पासिम मैं टाइप थ्योरी के अर्थ में टाइप करने के लिए नहीं कहता हूँ, बल्कि गणितीय वस्तुओं / संरचनाओं के लिए आवश्यक गुणों का एक सेट, अर्थात वे स्वयंसिद्धों का एक सेट जो वे संतुष्ट करते हैं। आम तौर पर ये संरचना को ले जाने के लिए सेट किए गए तत्वों के तत्वों पर कुछ संचालन या संबंधों के व्यवहार का वर्णन करते हैं, हालांकि खुद को सेट करने के मामले में ( ) सेट से परे कोई संरचना नहीं है। किसी भी स्थिति में, जैसा कि ऊपर कहा गया है, श्रेणी सिद्धांत इस संरचना के विवरणों की उपेक्षा करता है। $\mathsf{Set}$}

² _{मुझे शायद सभी या एक दूसरे के हिस्से में कहना चाहिए : एक व्यक्ति को (पूर्णांक) से (परिमेय) से में समरूपता की अनुमति देता है । $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ $n \mapsto \frac n 2$}

³ _{योग्यता के बिना, ' श्रेणी ' सामान्य रूप से का अर्थ है 'सार श्रेणी', पेश किया, जहाँ तक मैं देख सकते हैं, 1945 में और 1960 में विकसित की है, जबकि कंक्रीट श्रेणियों 1970 में दिखाई देते हैं।}

— PJTraill
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह बयानबाजी थी, लेकिन निश्चित रूप से समूहों का एक उचित वर्ग है। उदाहरण के लिए, हर सेट एकल सेट पर एक तुच्छ समूह को जन्म देता है, जिसमें सेट होता है। आप गैर-आइसोमॉर्फिक उदाहरणों के एक उचित वर्ग का उत्पादन भी कर सकते हैं।

— डेरेक एल्किंस ने SE

धन्यवाद। जब आप कहते हैं: "यह एक मनमाना प्रकार की गणितीय वस्तुओं की संरचना-संरक्षण मैपिंग का एक सिद्धांत है ", तो क्या आपका मतलब प्रकार के सिद्धांत के अर्थ में "टाइप", या अधिक अनौपचारिक रूप से है?

— user56834

@ Programmer2134: क्षमा करें यदि प्रकार भ्रमित था (मैंने आश्चर्य किया); मेरा मतलब टाइप थ्योरी (जिनमें से मैं बहुत कम जानता हूं) को संदर्भित करने के लिए नहीं था, बल्कि गणितीय ऑब्जेक्ट्स / संरचनाओं का एक निश्चित सेट के साथ गुणों का एक निश्चित सेट (यानी कुछ एक्सिक्स को संतुष्ट करना) द्वारा दिया गया था ।

— PJTraill

यह स्पष्ट करता है। तो क्या श्रेणी सिद्धांत भी विशेष रूप से मानता है कि इस तरह के स्वयंसिद्ध हैं, और यह कि ये सभी वस्तुएं उन स्वयंसिद्धताओं को संतुष्ट करती हैं, या यह है कि हम केवल श्रेणियों को परिभाषित करने के लिए एक मेटा मानदंड का उपयोग करते हैं (यानी श्रेणी सिद्धांत के लिए मेटा)?

— user56834

@ Programmer2134: नहीं, श्रेणी सिद्धांत पूरी तरह से स्वयंसिद्धों को नजरअंदाज करता है, और बस एक भाषा प्रदान करता है जिसमें मैपिंग के बारे में बात करने के लिए जो कुछ ऐसी संरचना को संरक्षित करते हैं: बिना यह जाने कि संरचना क्या संरक्षित है, हम जानते हैं कि दो ऐसे मानचित्रों का संयोजन संरचना को बनाए रखता है। उस कारण से, श्रेणी सिद्धांत के स्वयंसिद्धों की आवश्यकता है कि आकृति विज्ञान पर एक साहचर्य रचना कानून हो और इसी तरह, कि प्रत्येक वस्तु से स्वयं के लिए एक पहचान रूपवाद हो। लेकिन यह नहीं मानता है कि आकारिकी वास्तव में सेट के बीच के कार्य हैं , बस यह कि वे उनके जैसा व्यवहार करते हैं।

— PJTraill

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श्रेणी सिद्धांत कुछ अर्थों में सेट सिद्धांत का एक सामान्यीकरण है: श्रेणी सेट की श्रेणी हो सकती है, या यह कुछ और हो सकती है। तो, आप कम सीखते हैं यदि आप सीखते हैं कि किसी अनिर्दिष्ट श्रेणी में एक वस्तु है यदि आप सीखते हैं कि एक सेट है (क्योंकि बाद के मामले में यह निम्नानुसार है कि विशेष रूप से सेट की श्रेणी में एक वस्तु है)। यदि आप सीखते हैं कि एक विशेष निर्दिष्ट श्रेणी (सेट की श्रेणी के अलावा) में एक वस्तु है , तो आप जो सीखते हैं वह सीखने से अलग है कि एक सेट है (यानी, सेट की श्रेणी में एक वस्तु); न तो दूसरे का तात्पर्य है। $C$ $x$ $x$ $x$ $x$ $x$

यह कहने में कोई अंतर नहीं है कि एक समूह बनाम कह रहा है कि श्रेणी की श्रेणी में एक वस्तु है। वे दो कथन समतुल्य हैं। $x$ $x$

नोट: हम यह नहीं कहते कि श्रेणी में है; हम कहते हैं कि श्रेणी जीआरपी में एक वस्तु है। एक श्रेणी में ऑब्जेक्ट और तीर दोनों हैं। आपको यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है कि आप किस बारे में बात कर रहे हैं। $x$ $x$

— DW
स्रोत

तो मुझे सेट्स और प्रकारों के साथ श्रेणियों की तुलना करें क्योंकि @AndrejBrauer ने अपने अन्य प्रश्न के उत्तर में किया था। एक सेट वस्तुओं के संग्रह की धारणा को औपचारिक बनाता है। एक प्रकार वस्तुओं के निर्माण की धारणा को औपचारिक बनाता है। "श्रेणी" औपचारिकता क्या धारणा है? श्रेणी सिद्धांत एक सिद्धांत क्या गणितीय प्रक्रिया / संरचना है की ?

— user56834

"तो, आप कम सीखते हैं यदि आप सीखते हैं कि किसी अनिर्दिष्ट श्रेणी में एक वस्तु है यदि आप सीखते हैं कि एक सेट है "। यदि आप "एक सेट" के साथ "प्रतिस्थापित करते हैं" कुछ अनिर्दिष्ट सेट का सदस्य है, तो वह कथन कैसे बदलेगा? हम थोपना है किसी भी पर प्रतिबंध हुए कहा कि यह एक अनिर्दिष्ट श्रेणी का एक उद्देश्य है द्वारा? निश्चित रूप से हम सिर्फ एक श्रेणी बना सकते हैं जिसमें एकमात्र वस्तु है?

x

$x$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— user56834

@ Programmer2134, यह एक अच्छा बिंदु है। समझ में आता है। मैं आपकी बात मानता हूं।

— डीडब्ल्यू

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डीडब्ल्यू के स्पष्टीकरण पर एक और बिंदु

यह कहने में कोई अंतर नहीं है कि एक समूह बनाम कह रहा है कि , श्रेणी में एक वस्तु है । वे दो कथन समतुल्य हैं। $x$ $x$ $\mathsf{Grp}$

मैं एक मजबूत बयान देना चाहता हूं:

एक अवधारणा को इसकी श्रेणी द्वारा परिभाषित किया गया है

एक आविष्कारक की अवधारणा से अपनी अवधारणा को स्पष्ट करना चाहते हैं। मान लीजिए कि आपकी नई अवधारणा को कहा जाता है । सबसे पहले, आपको यह निर्दिष्ट करना पड़ सकता है कि होने वाले सामानों के उदाहरण कितने प्रकार के हो सकते हैं। उदाहरण के उस संग्रह को । $M$ $M$ $M_0$

अब चूंकि आपने कहा है कि बहुत सी चीजें हैं जो , आपको उनमें से प्रत्येक को एक दूसरे से तुलना / संबंधित करना है। आप समझाते हैं कि आपको क्यों लगता है कि वे विभिन्न उदाहरण हैं । ऐसे कई तरीके हो सकते हैं जिनमें की तुलना एक दूसरे से की जा सकती है। या कुछ मामलों में, उनकी तुलना करने का कोई तरीका नहीं हो सकता है। आइए से को तुलना करने के तरीकों के उस संग्रह को निरूपित करें । $M$ $M$ $A \in M_0$ $B \in M_0$ $A$ $B$ $M(A,B)$

आप शायद पहले से ही नोटिस करते हैं कि वस्तुओं का संग्रह बनाता है और किसी श्रेणी का होम्स है। श्रेणी सिद्धांत के नियम फिर 'तुलना' के अपेक्षित व्यवहार का वर्णन करते हैं। $M_0$ $M(A,B)$

एक बार जब आप ऐसा कर लेते हैं, तो श्रेणी आपको अवधारणा की कई डिफ़ॉल्ट संपत्ति प्रदान करती है। उदाहरण से लेकर

"जो उदाहरण अनिवार्य रूप से समान हैं --- समरूपता"
"इन दोनों में से कौन सा उदाहरण अधिक है और कौन सा कम है --- खंड-प्रत्यावर्तन जोड़ी",
"कितने मूल तत्व इस उदाहरण के अंदर हैं? --- टर्मिनल ऑब्जेक्ट से homset"

और इसी तरह।

सवाल के लिए आप टिप्पणी में पूछें

श्रेणी सिद्धांत क्या गणितीय प्रक्रिया / संरचना है?

अब आप ड्रिल जानते हैं। जानना चाहते हैं कि वास्तव में एक अवधारणा क्या है? इसकी श्रेणी देखें। इस स्थिति में, उनके बीच छोटी श्रेणियों और की श्रेणी। $\mathsf{Cat}$

— अपिवत चनावटिबुल
स्रोत

हम्म। मुझे ठीक से समझ नहीं आ रहा है कि यदि हम किसी संरचना की श्रेणी जानते हैं, तो हम उस संरचना के बारे में सब कुछ जानते हैं। हम नहीं जानते हैं कि कौन सी स्वयंसिद्ध संरचना हमें संतुष्ट करती है?

— user56834

@ प्रोग्रामर २१३४ टॉम लींस्टर (जो कि लॉवेरी द्वारा काम का सारांश है) का पुनर्विचार सेट सिद्धांत एक अच्छा उदाहरण है। काम (की morphisms) सेट की श्रेणी के गुणों को परिभाषित करते हुए सेट सिद्धांत ही परिभाषित करता है (तक पहुँचने 'अंदर' बिना किसी भी वस्तुओं पहले से मौजूद किसी धारणा हम सेट के बारे में हो सकता है का उपयोग करने में।)

— Apiwat Chantawibul

तो आप यह कह रहे हैं कि कोई भी जानकारी अपने सिद्धांत को भूलते हुए, सेट की श्रेणी पर विचार करके सेट थ्योरी के बारे में क्या खो जाती है?

— user56834

@ Programmer2134 हां, वास्तव में, यह अधिक उन स्वयंसिद्धों की तरह है जो ZFC सेट सिद्धांत को परिभाषित करता है जिसका विशुद्ध रूप से आकारिकी के गुणों में अनुवाद किया गया है। तो वह श्रेणी, जिसे हम कहते हैं कि आकारिकी पर कुछ गुण हैं, सेट सिद्धांत को परिभाषित करता है।

— एपीवेट चेंटाविबुल

क्या आप एक पाठ के बारे में जानते हैं जो विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत के बारे में इस बिंदु को स्पष्ट तरीके से समझाता है?

— user56834

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सेट

मूल अवधारणा । सदस्यता संबंध

x \in A

$x\in A$

अन्य अवधारणाएँ। सदस्यता संबंध के संदर्भ में फ़ंक्शन को एक सेट के रूप में आदेशित जोड़े के साथ $f$

(x, y) \in f and (x, z) \in f \Rightarrow y = z

$(x,y)\in f\text{ and }(x,z)\in f \Rightarrow y=z$

दर्शन। सेट में एक आंतरिक संरचना होती है - वे अपने तत्वों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होती हैं।

टिप्पणी। सेट सिद्धांतकारों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली एक स्वयंसिद्ध प्रणाली ZFC है। इसकी ताकत सादगी है: केवल सेट और सदस्यता संबंध हैं। दूसरी ओर कई गणितज्ञों को लगता है कि इससे एक सेट अवधारणा बनती है जो उनकी समझ और सेट के उपयोग (लीस्टर के नीचे तुलना ) से हटती है । वास्तव में, गणितज्ञों के विशाल बहुमत (सेट सिद्धांतकारों को छोड़कर) को ZFC स्वयंसिद्धों का उपयोग नहीं लगता है। हालांकि, सेट जरूरी नहीं कि ZFC ( श्रेणियों और ETCS से नीचे देखें ) को देखें।

श्रेणियाँ

मूल अवधारणा। समारोह (तीर, रूपवाद)

A \to B

$A\rightarrow B$

अन्य अवधारणाएँ। सदस्यता संबंध एक टर्मिनल वस्तु से एक तीर के रूप में समझाया जाता है (में सेट एक टर्मिनल वस्तु एक सिंगलटन सेट है $x\in A$ $\{y\})$

x : 1 \to A

$x:1\rightarrow A$

दर्शन। किसी श्रेणी की वस्तुओं में कोई आंतरिक संरचना नहीं होती है। वे सिर्फ अन्य वस्तुओं के लिए अपने संबंधों (आकारिकी) की विशेषता है।

टिप्पणी। श्रेणियों की मूल अवधारणा कार्य है और यह गणितज्ञों के विशाल बहुमत द्वारा सेट के उपयोग के साथ मेल खाता है। इसलिए आप श्रेणियों को वैचारिक सामान्यीकरण के रूप में देख सकते हैं कि बहुत से विभिन्न क्षेत्रों के गणितज्ञ अपने दैनिक कार्य में सेट का उपयोग करते हैं। सामान्यीकरण के रूप में श्रेणियों (और टॉपोस) के अलावा आप स्वयंसिद्ध प्रणाली ETCS पर एक नज़र डाल सकते हैं जो स्वयंसिद्ध सेट ( लेइनस्टर और लॉवरे के नीचे की तुलना ) है।

सवाल। X कहने वाला समूह के बीच क्या अंतर है, बनाम यह कहना कि x श्रेणी जीआरपी में है?

एक कह सकते हैं अंतर नहीं है में वस्तु ही बल्कि कैसे आप के साथ सौदा करने का इरादा । $x$ $x$

(१) क्या आप की आंतरिक संरचना के लिए पूछते हैं ? इस स्थिति में को एक सेट के रूप में मानना स्वाभाविक हो सकता है । $x$ $x$

(२) क्या आप पूछते हैं कि एक ही तरह की अन्य वस्तुओं से कैसे संबंधित है (आकृति विज्ञान के माध्यम से) या अन्य प्रकार के (फंक्शनलर्स के माध्यम से)? इस मामले में आप समूहों की श्रेणी में को एक वस्तु के रूप में देख सकते हैं । $x$ $x$

आलोचकों का कहना है

ZFC और ETCS के मामले में, इन दृष्टिकोणों को एक दूसरे में अनुवादित किया जा सकता है, हालांकि ETCS ZFC से कमजोर है (लेकिन प्रतीत होता है) अधिकांश गणित को कवर करता है (MathStackExchange और Leinster देखें)। सिद्धांत रूप में (ETCS के एक विस्तार का उपयोग करके) आप दोनों दृष्टिकोणों के साथ एक ही परिणाम साबित कर सकते हैं। इसलिए दोनों अवधारणाओं के उपर्युक्त दर्शन इस बात पर मौलिक अंतर का दावा नहीं कर रहे हैं कि आप क्या व्यक्त कर सकते हैं या क्या परिणाम साबित कर सकते हैं।

भाव सेट और सदस्यता ZFC में सिर्फ श्रेणियों की अवधारणाओं या किसी अन्य अक्षीय प्रणाली की तरह अमूर्त अवधारणाओं रहे हैं और कुछ भी हो सकता है। इसलिए इस औपचारिक दृष्टिकोण से, यह दावा करने के लिए, कि ZFC सेट की आंतरिक संरचना से संबंधित है जबकि श्रेणियां वस्तुओं के बाहरी संबंधों के साथ एक -दूसरे के साथ अनुचित व्यवहार करती हैं। दूसरी ओर यह सिद्धांतों के संबंध में दर्शन या अंतर्ज्ञान प्रतीत होता है।

हालांकि व्यवहार में आप स्पष्टता या सरलता के लिए एक निश्चित दृष्टिकोण पसंद करेंगे या क्योंकि किसी अन्य क्षेत्र के लिए कुछ अवधारणा या एक कनेक्शन कहीं और से स्वाभाविक रूप से विकसित होता है।

संदर्भ

वैज्ञानिकों के लिए Spivak.Category सिद्धांत

Leinster.Rethinking सेट सिद्धांत

Lawvere.An प्राथमिक सिद्धांत सेट की श्रेणी का

सेट के बिना MathStackExchange.Category सिद्धांत

— FWE
स्रोत