सेट और प्रकार के बीच वास्तव में शब्दार्थ क्या है?

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संपादित करें: मैंने अब श्रेणियों और सेटों के बीच अंतर के बारे में एक समान प्रश्न पूछा है ।

हर बार जब मैं के बारे में प्रकार सिद्धांत (जो वैसे नहीं बल्कि अनौपचारिक है) पढ़ा है, मैं वास्तव में नहीं समझ सकता कि यह कैसे सेट सिद्धांत से अलग है, वस्तुतः ।

मैं समझता हूं कि "x एक सेट X के अंतर्गत आता है" और "x टाइप X का है" कहने के बीच एक वैचारिक अंतर है, क्योंकि सहज रूप से, एक सेट सिर्फ वस्तुओं का एक संग्रह है, जबकि एक प्रकार में कुछ "गुण" हैं। फिर भी, सेट को अक्सर गुणों के अनुसार भी परिभाषित किया जाता है, और यदि वे हैं, तो मुझे यह समझने में परेशानी हो रही है कि यह अंतर किसी भी तरह से कैसे मायने रखता है।

तो सबसे ठोस तरीके से संभव है, क्या वास्तव में यह बारे में कहने का मतलब है कि यह टाइप , यह कहने की तुलना में कि यह सेट में एक तत्व है ? $x$ $T$ $S$

(आप किसी भी प्रकार को चुन सकते हैं और सेट कर सकते हैं जो तुलना को सबसे अधिक स्पष्ट करता है)।

type-theory sets

— user56834
स्रोत

वह संदर्भ क्या है जिसमें आप "प्रकार" शब्द का उपयोग / सुन रहे हैं? क्या यह, जैसा कि आपके नाम से पता चलता है, प्रोग्रामिंग भाषाएं? क्योंकि मुझे लगता है कि नीचे दिए गए उत्तर अन्यथा मान लेते हैं।

— ईनपोक्लुम -

@inpoklum, मुझे 100% यकीन नहीं है कि कैसे वर्णन करना है कि "संदर्भ" क्या है, लेकिन मूल रूप से कुछ ऐसा है: मैं गणित में प्रकारों की भूमिका को समझने की कोशिश कर रहा हूं। अनिवार्य रूप से, सेट (जैसा कि मैं इसे देखता हूं) के दो संदर्भ हैं: सबसे पहले उन्हें रोजमर्रा के गणित में करने के लिए वस्तुओं के संग्रह के रूप में उपयोग किया जाता है। दूसरे, वे स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में ऑब्जेक्ट हैं, जहां वे ज्यादातर एक बहुत ही अजीब लेकिन सहायक उपकरण के रूप में उपयोग किए जाते हैं। गणित के बारे में पहले क्रम तर्क में, सेट कार्यों और संख्याओं के अनुरूप और इसके बाद के बारे में बात करें। मुझे मुख्य रूप से "सेट" के बीच पहले अर्थ और "प्रकार" के संबंध में दिलचस्पी है।

— user56834

किस प्रकार की भूमिका? गणित के पेपर / पाठ्यपुस्तकें, या कंप्यूटर प्रोग्राम में चर के प्रकार आप देख सकते हैं?

— ईनपोकलुम -

1

@einpoklum, यह प्रश्न गणित के प्रश्नपत्रों के बारे में है। (हालांकि मैं वास्तव में गणित में टाइप और प्रोग्रामिंग भाषाओं के प्रकारों में मूलभूत अंतर जानने में दिलचस्पी रखता हूं, अगर कोई है। लेकिन यह वह नहीं था जो यह सवाल है)।

— user56834

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सेट और प्रकारों के बीच के अंतर को समझने के लिए, लोगों को "संग्रह" और "निर्माण" के पूर्व- व्यावहारिक विचारों पर वापस जाना पड़ता है, और देखें कि सेट और प्रकार इनका गणित कैसे करते हैं।

गणित के बारे में संभावनाओं का एक स्पेक्ट्रम है। इनमें से दो हैं:

हम गणित को एक गतिविधि के रूप में सोचते हैं जिसमें गणितीय वस्तुओं का निर्माण कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है (एक ज्यामिति के रूप में ज्यामिति के बारे में सोचें, एक शासक और एक कम्पास के साथ बिंदुओं, रेखाओं और हलकों की गतिविधि)। इस प्रकार गणितीय वस्तुओं का आयोजन किया जाता है कि उनका निर्माण कैसे किया जाता है , और विभिन्न प्रकार के निर्माण होते हैं। एक गणितीय वस्तु हमेशा कुछ अनोखे तरीके से निर्मित होती है , जो इसके अद्वितीय प्रकार को निर्धारित करती है।
हम गणित को पहले से मौजूद गणितीय वस्तुओं से भरे विशाल ब्रह्मांड के रूप में सोचते हैं (ज्यामितीय विमान के रूप में सोचते हैं)। हम इन वस्तुओं के बारे में खोज, विश्लेषण और विचार करते हैं (हम देखते हैं कि विमान में बिंदु, रेखाएँ और वृत्त हैं)। हम उन्हें सेट में इकट्ठा करते हैं । आमतौर पर हम ऐसे तत्वों को इकट्ठा करते हैं जिनमें कुछ होता है (उदाहरण के लिए, किसी बिंदु से गुजरने वाली सभी लाइनें), लेकिन सिद्धांत रूप में एक सेट वस्तुओं के एक मनमाने ढंग से चयन को एक साथ पकड़ सकता है। एक सेट उसके तत्वों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और केवल उसके तत्वों द्वारा। एक गणितीय वस्तु कई सेटों से संबंधित हो सकती है।

हम यह नहीं कह रहे हैं कि उपरोक्त संभावनाएं केवल दो हैं, या उनमें से कोई भी पूरी तरह से वर्णन करता है कि गणित क्या है। फिर भी, प्रत्येक एक सामान्य गणितीय सिद्धांत के लिए एक उपयोगी प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य कर सकता है जो कि गणितीय गतिविधियों की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोगी वर्णन करता है।

एक प्रकार का लेना स्वाभाविक है और उन सभी चीजों के संग्रह की कल्पना करना जो हम के नियमों का उपयोग करके निर्माण कर सकते हैं । यह का विस्तार है , और यह स्वयं नहीं है। उदाहरण के लिए, यहां दो प्रकार के निर्माण के अलग-अलग नियम हैं, लेकिन उनका एक ही विस्तार है: $T$ $T$ $T$ $T$

जोड़े के प्रकार जहां का निर्माण एक प्राकृतिक संख्या के रूप में किया जाता है, और का निर्माण एक प्रमाण के रूप में किया जाता है जो दर्शाता है कि से भी बड़ी संख्या है । $(n, p)$ $n$ $p$ $n$ $3$
जोड़े के प्रकार जहां का निर्माण एक प्राकृतिक संख्या के रूप में किया जाता है, और का निर्माण एक प्रमाण के रूप में किया जाता है जो यह प्रदर्शित करता है कि तुलना में एक छोटा अभाज्य है । $(m, q)$ $m$ $q$ $m$ $2$

हां, ये मूर्खतापूर्ण तुच्छ उदाहरण हैं, लेकिन बिंदु खड़ा है: दोनों प्रकार के विस्तार में कुछ भी नहीं है, लेकिन उनके पास निर्माण के विभिन्न नियम हैं। इसके विपरीत, सेट और हैं बराबर क्योंकि वे एक ही तत्व है।

{n \in N ∣ n is an even prime larger than 3}

$\{ n \in \mathbb{N} \mid \text{$n$ is an even prime larger than $3$} \}$

{m \in N ∣ m is an odd prime smaller than 2}

$\{ m \in \mathbb{N} \mid \text{$m$ is an odd prime smaller than $2$} \}$

ध्यान दें कि टाइप सिद्धांत सिंटैक्स के बारे में नहीं है। यह निर्माणों का एक गणितीय सिद्धांत है, जैसे सेट सिद्धांत संग्रह का गणितीय सिद्धांत है। यह सिर्फ इतना होता है कि टाइप थ्योरी की सामान्य प्रस्तुतियाँ वाक्यविन्यास पर जोर देती हैं, और परिणामस्वरूप लोग सोच के सिद्धांत को सिंटैक्स करते हैं। यह मामला नहीं है। एक गणितीय वस्तु (निर्माण) को एक वाक्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ भ्रमित करने के लिए जो इसका प्रतिनिधित्व करता है (एक शब्द पूर्व) एक बुनियादी श्रेणी की गलती है जिसने तर्कशास्त्रियों को लंबे समय तक हैरान कर दिया है, लेकिन अब और नहीं।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

1

सुन्दर, शुक्रिया! क्या आप एक विवरण स्पष्ट कर सकते हैं? जब आप उन दो प्रकारों को सूचीबद्ध करते हैं जिनका विस्तार दोनों खाली हैं, तो आप कहते हैं कि "जिस प्रकार के तत्व हैं ..."। पूरी तरह से मेरी स्पष्टता के लिए, क्या यह कहने का 100% सही तरीका है? आपने पिछले वाक्य में कहा था कि एक प्रकार एक संग्रह नहीं है, इसलिए ऐसा लगता है कि इसमें "तत्व" नहीं हो सकते हैं (जो मैं सेट के साथ संबद्ध करता हूं)। अनिवार्य रूप से, जिस तरह से आपने इसे अभी लिखा है, यह ऐसा है जैसे कि आप सेट के अनुसार टाइप को परिभाषित कर रहे हैं जो कि इसका विस्तार है। यदि आप इसका इरादा नहीं रखते हैं, तो क्या आप उनके विचार को प्रकारों के रूप में कैप्चर करने के लिए उन्हें अधिक सटीक रूप से बता सकते हैं?

— user56834

विस्तार एक प्रकार का एक बहुत ही उपयोगी अवधारणा है, और के बाद से यह संग्रह की तरह है, हम कह सकते हैं "एक प्रकार का एक्सटेंशन के तत्व"। यह बोझिल है इसलिए यह अक्सर "एक प्रकार के तत्व" के लिए संक्षिप्त हो जाता है। मैंने भ्रम की संभावना को कम करने के लिए वाक्यांश को हटा दिया, लेकिन खबरदार, यह सामान्य शब्दावली है।

— बाउर

धन्यवाद, यह स्पष्ट करता है। तो अनुगमन करने के लिए, निम्नलिखित कहना सही है? यह कहने के लिए कि एक वस्तु "टाइप टी का है" का मतलब उसी तरह है, जैसा कि वस्तु "टी के विस्तार का एक तत्व" है, जिससे कि प्रकारों से सेटों तक एक प्राकृतिक आक्षेप हो। लेकिन कांसेप्ट धारण नहीं करता है, क्योंकि किसी भी सेट का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है। अनिवार्य रूप से, सेट और प्रकार के बीच अंतर का एक विशेष वस्तु के नजरिए से महत्वपूर्ण नहीं है

, इस अर्थ में कि

और

(जहां

का विस्तार है

) हमारे बारे में ठीक उसी जानकारी दे

। हालाँकि,

x

$x$

x : T

$x:T$

x \in X_{T}

$x\in X_T$

X_{T}

$X_T$

T

$T$

x

$x$

— user56834

अंतर तब प्रासंगिक है जब हम प्रकार और सेट, और उनके गुणों और संबंधों के बारे में बात करना चाहते हैं । तो दूसरे शब्दों में, जानकारी है कि हम खो देते हैं जब हम कहते हैं कि

के बजाय

हमारे बारे में प्रासंगिक कुछ नहीं बताता है

, लेकिन एक ही पकड़ नहीं हो सकता है अगर हम जैसे सुपरसेट-सबसेट या type- के बारे में बात करना चाहते हैं उपप्रकार संबंध? क्या वो सही है?

x \in X_{T}

$x\in X_T$

x : T

$x:T$

x

$x$

— user56834

4

हाँ, एक चमत्कार जहाँ ये किताबें हैं। कोई उन्हें लिखना चाहिए।

— बाउर

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शुरू करने के लिए, सेट और प्रकार भी एक ही क्षेत्र में नहीं हैं। सेट्स पहले क्रम के सिद्धांत की वस्तुएं हैं, जैसे ZFC सेट सिद्धांत। जबकि प्रकार अतिवृद्धि की तरह हैं। इसे अलग तरीके से रखने के लिए, एक सेट थ्योरी फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक के भीतर एक फर्स्ट-ऑर्डर थ्योरी है। एक प्रकार का सिद्धांत तर्क का ही विस्तार है। उदाहरण के लिए, मार्टिन-लोफ टाइप थ्योरी, पहले-क्रम तर्क के भीतर एक प्रथम-क्रम सिद्धांत के रूप में प्रस्तुत नहीं की गई है। यह एक ही समय में सेट और प्रकारों के बारे में बात करने के लिए सामान्य नहीं है।

जैसा कि असतत छिपकली बताती है, प्रकार (और प्रकार) एक वाक्य रचना कार्य करते हैं। एक प्रकार / प्रकार एक वाक्यात्मक श्रेणी के रूप में व्यवहार करता है । इससे हमें पता चलता है कि भाव क्या हैं। सॉर्ट का उपयोग करते हुए एक सरल उदाहरण के लिए, मान लें कि हमने 2-सॉर्ट किए गए सिद्धांत के रूप में एक मनमाने क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत का वर्णन किया। हमारे पास स्केलर्स, और वैक्टर के लिए एक प्रकार है, । : कई अन्य बातों के अलावा, हम स्केलिंग के लिए एक ऑपरेशन होगा । यह हमें पता है कि सुविधा देता है $\mathsf S$ $\mathsf V$ $\mathsf{scale}:\mathsf S\times \mathsf V\to \mathsf V$ बस एक अच्छी तरह से गठित शब्द नहीं है। एक प्रकार सैद्धांतिक संदर्भ में, जैसे एक अभिव्यक्ति की आवश्यकता है एक प्रकार है करने के लिए कुछ प्रकार के और । यदि फ़ंक्शन का प्रकार नहीं है, तो केवल एक अच्छी तरह से बनाई गई अभिव्यक्ति नहीं है। चाहे अभिव्यक्ति किसी प्रकार की हो या किसी प्रकार की हो, यह मेटा-लॉजिकल स्टेटमेंट है। यह कुछ लिखने का कोई मतलब नहीं है: $\mathsf{scale}(\mathsf{scale}(s,v),v)$ $f(x)$ $f$ $X\to Y$ $X$ $Y$ $f$ $f(x)$ । पहला, केवल एक सूत्र नहीं है, और दूसरा, यह वैचारिक रूप से भी ऐसा नहीं करता है कि प्रकार / प्रकार क्या हैं जो हमें बताते हैं कि कौन से सूत्र अच्छी तरह से बने हैं। हम केवल अच्छी तरह से बनाए गए सूत्रों के सत्य मूल्य पर विचार करते हैं, इसलिए जब तक हम विचार कर रहे हैं कि क्या कोई सूत्र है, तो हम बेहतर पहले से ही जानते हैं कि यह अच्छी तरह से बनता है! $(x:X)\implies y=3$ $x : X$

सेट सिद्धांत में, और विशेष रूप से ZFC, सभी में एकमात्र गैर-तार्किक प्रतीक सेट सदस्यता के लिए संबंध प्रतीक है, । तो एक सच मान के साथ एक अच्छी तरह से गठित सूत्र है। चर के अलावा और कोई शब्द नहीं हैं। सेट सिद्धांत के सभी सामान्य संकेतन इसके लिए एक निश्चित विस्तार है। उदाहरण के लिए, की तरह एक सूत्र अक्सर के लिए आशुलिपि होने के लिए लिया जाता है जो अपने आप के लिए आशुलिपि के रूप में लिया जा सकता है $\in$ $x\in y$ $f(x)=y$ $(x,y)\in f$ जो के लिए आशुलिपि है $\exists p.p\in f\land p=(x,y)$ किसी भी दर पर,किसी भी सेट की जगह ले सकते हैं और सब कुछ एक सेट है! जैसा कि मैंने में बतायाएक अलग प्रश्नहाल ही में, जहां

\exists p . p \in f \land (\forall z . z \in p ⟺ [z = x \lor (\forall w . w \in z \Leftrightarrow w = y)])

$\exists p.p\in f\land(\forall z.z\in p\iff [z = x\lor(\forall w.w\in z\Leftrightarrow w = y)])$ $f$

π (7) = 3

$\pi(7)=3$

π

$\pi$ वास्तविक संख्या एक पूरी तरह से वैध और सार्थक है (और संभावित रूप से सच भी) सेट सिद्धांत। मूल रूप से, आप जो कुछ भी लिखते हैं, सेट थ्योरी में पर्स को कुछ अर्थ दिया जा सकता है। यह पूरी तरह से अर्थपूर्ण हो सकता है, लेकिन यह एक है। सेट सिद्धांत में "प्रथम श्रेणी" ऑब्जेक्ट भी हैं। (वे बेहतर रूप में वे कर रहे हैं हो सकता है केवल आम तौर पर वस्तुओं।) की तरह एक समारोह

f (x) = {\begin{cases} N, & if x = 1 \\ 7, & if x = Q \\ x \cap R^{R}, & if x = (Z, N) \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}\mathbb N, &\text{if }x=1\\7,&\text{if }x=\mathbb Q\\x\cap \mathbb R^\mathbb R,&\text{if }x=(\mathbb Z,\mathbb N)\end{cases}$ सेट सिद्धांत में एक पूरी तरह से वैध कार्य है। टाइप थ्योरी में इसके लिए दूरस्थ रूप से समरूप कुछ भी नहीं है। निकटतम एक टार्स्कियन ब्रह्मांड के लिए कोड का उपयोग करना होगा। सेट सेट सिद्धांत की वस्तुएं हैं; प्रकार सिद्धांत के प्रकार नहीं हैं।

एक प्रकार चीजों का संग्रह नहीं है (न तो उस मामले के लिए एक सेट है ...), और यह एक संपत्ति द्वारा परिभाषित नहीं है। एक प्रकार एक सिंटैक्टिक श्रेणी है जो आपको यह बताती है कि उस प्रकार की शर्तों के लिए कौन से संचालन लागू होते हैं और कौन से भाव अच्छी तरह से बनते हैं। प्रस्ताव-के-प्रकार के परिप्रेक्ष्य से, किस प्रकार के वर्गीकरण वर्गीकृत होते हैं, उस प्रस्ताव के मान्य प्रमाण होते हैं, जिस पर प्रकार मेल खाता है। अर्थात्, किसी दिए गए प्रकार के अच्छी तरह से गठित (यानी अच्छी तरह से टाइप किए गए) शब्द, समान प्रस्ताव के वैध प्रमाण (जो कि वाक्यविन्यास ऑब्जेक्ट भी हैं) के अनुरूप हैं। सेट थ्योरी में ऐसा कुछ नहीं हो रहा है।

सेट सिद्धांत और प्रकार सिद्धांत वास्तव में एक जैसे कुछ भी नहीं हैं।

— डेरेक एल्किंस
स्रोत

1

यह गलत है कि प्रकार केवल वाक्यात्मक निकाय हैं।

— बाउर

1

यह बहुत उपयोगी है, लेकिन आपके उत्तर में एक मुख्य बिंदु मुझे परेशान करता है। यह मुझे लगता है कि यह एक गलती है (जो कई लोग करते हैं, या वैकल्पिक रूप से यह एक गलती नहीं है और मैं गलत हूं), यह कहना कि "एक सेट चीजों का संग्रह नहीं है"। मैं कहूंगा कि एक सेट चीजों का एक संग्रह है। यह एक सेट की सबसे बुनियादी आवश्यक संपत्ति है। वास्तव में, हमें संभवतः कैसे पता चलेगा कि उदाहरण के लिए ZFC सही स्वयंसिद्ध हैं (बजाय पूरी तरह से मनमाना सूत्र), यह बताए बिना कि वे सही हैं कि सेट वस्तुओं का संग्रह है? बेशक, मैं समझता हूँ कि ...

— user56834

वस्तुओं के रूप में स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत व्यवहार करता है सेट, और

सिर्फ एक प्रतीक के रूप में, क्योंकि स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत गणितीय तर्क अर्थों में एक गणितीय संरचना नहीं है।

\in

$\in$

— user56834

1

@ Programmer2134 इसका उत्तर देने के लिए, हमें "संग्रह" शब्द के शब्दार्थ अर्थ में उतरना होगा । हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि वे "सही" हैं जब तक आप समय को ठीक से परिभाषित करने के लिए समय नहीं लेते हैं कि "सही" का क्या मतलब है। हालांकि, हम जो कह सकते हैं कि "सेट" एक संग्रह की अवधारणा पर धड़कने वाले गणितज्ञों के सौ वर्षों का परिणाम है, एक सुसंगत प्रणाली की तलाश है जो एक संग्रह की सहज अवधारणा से मेल खाती है। उस स्थिरता को प्राप्त करने के लिए, उन्हें निर्णय लेने थे। उदाहरण के लिए, सेट गणित में एकमात्र संग्रह नहीं हैं। एक "वर्ग" भी एक संग्रह का वर्णन करता है।

— कॉर्ट अमोन -

1

@AndrejBauer मैं (ज्यादातर) गैर-दार्शनिक रुख ले रहा हूं और यह समझाने की कोशिश नहीं कर रहा हूं कि "वास्तव में" किस प्रकार के हैं लेकिन अधिक हैं कि उनका उपयोग कैसे किया जाता है। (मैं कहता हूं कि "कार्य करता है" और "शुरू में" के रूप में व्यवहार करता है, लेकिन मैंने "अंत में" है "।" यह सोचने का जोखिम है कि एक चर

का प्रकार

होने का अर्थ है कि केवल "मान" वह

"

" ले सकता है (संभवतः बंद) प्रकार

की शर्तें । यह सच नहीं है और मेरे द्वारा ऊपर कही गई किसी भी चीज से निहित नहीं है। मैं इस बात से सहमत हूं कि आप प्रकारों को सिंटैक्टिक संस्थाओं की तुलना में अधिक देख सकते हैं, लेकिन मुझे लगता है कि अलग-अलग सिंटैक्टिक भूमिका प्रकार सेट के लिए स्पष्ट विपरीत बनाता है।

x

$x$

T

$T$

x

$x$

T

$T$

— डेरेक एल्किंस

9

अभ्यास में, का दावा है कि प्रकार की जा रही आमतौर पर वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है वाक्य रचना , यह दावा करते हुए सेट में है है आमतौर पर एक से संकेत मिलता है के लिए इस्तेमाल किया अर्थ संपत्ति। मैं प्रकार और सेट के उपयोग में इस अंतर को स्पष्ट करने के लिए कुछ उदाहरण दूंगा । क्या प्रकार और सेट वास्तव में में अंतर के लिए कर रहे हैं , मैं का उल्लेख एंड्रेज बॉयर के जवाब । $x$ $T$ $x$ $S$

एक उदाहरण

इस भेद को स्पष्ट करने के लिए, मैं हरमन गेवर्स के व्याख्यान नोट्स में दिए गए उदाहरण का उपयोग करूंगा । सबसे पहले, हम एक प्रकार के निवास का एक उदाहरण देखते हैं:

3 + (7 * 8)^{5} : N a t,

$3+(7*8)^5:\mathrm{Nat},$

3 \in {n \in N ∣ \forall x, y, z \in N^{+} (x^{n} + y^{n} \neq z^{n})}

$3\in \{n\in\mathbb{N}\mid \forall x,y,z\in\mathbb{N}^+ (x^n+y^n\neq z^n)\}$

यहां मुख्य अंतर यह है कि यह जांचने के लिए कि पहली अभिव्यक्ति एक प्राकृतिक संख्या है, हमें कुछ अर्थ अर्थ की गणना करने की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल इस तथ्य को 'पढ़ना' है कि सभी शाब्दिक प्रकार के हैं और सभी ऑपरेटर हैं नेट पर टाइप किया हुआ।

$3$ $3$

एल्गोरिदम बनाम सबूत

संक्षेप में, कुछ अभिव्यक्तियों के वाक्यविन्यास पर अक्सर 'सरल' दावों के लिए प्रकारों का उपयोग किया जाता है, जैसे कि एक प्रकार की सदस्यता को एल्गोरिथ्म द्वारा जांचा जा सकता है , जबकि एक सेट की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए, हमें आमतौर पर एक प्रमाण की आवश्यकता होती है ।

यह देखने के लिए कि यह अंतर क्यों उपयोगी है, टाइप की गई प्रोग्रामिंग भाषा के कंपाइलर पर विचार करें। यदि इस संकलक को 'चेक प्रकार' के लिए एक औपचारिक प्रमाण बनाना है, तो संकलक को लगभग असंभव कार्य (स्वचालित प्रमेय साबित करना, सामान्य रूप से, कठिन) करने के लिए कहा जाता है। यदि दूसरी ओर संकलक केवल प्रकारों की जांच करने के लिए एक (कुशल) एल्गोरिथ्म चला सकता है, तो यह वास्तविक रूप से कार्य कर सकता है।

एक सख्त (एर) व्याख्या के लिए एक प्रेरणा

सेट और प्रकार के शब्दार्थ अर्थ की कई व्याख्याएँ हैं। हालांकि यहां किए गए भेद के तहत असाध्य प्रकार की जाँच के साथ बहुआयामी प्रकार और प्रकार (जैसे कि NuPRL में उपयोग किए गए, जैसा कि टिप्पणियों में उल्लेख किया गया है) 'प्रकार' नहीं होंगे, अन्य निश्चित रूप से उन्हें कॉल करने के लिए स्वतंत्र हैं जब तक वे उन्हें कुछ और कहते हैं, जब तक उनकी परिभाषाएं फिट होती हैं)।

हालांकि, हम (हरमन गेवर्स और आई) इस व्याख्या को खिड़की से बाहर नहीं फेंकना पसंद करते हैं, जिसके लिए मैं (हर्मन नहीं, हालांकि वह सहमत हो सकता है) निम्नलिखित प्रेरणा है:

सबसे पहले, इस व्याख्या का उद्देश्य यह नहीं है कि दूर से बोउर की। एक वाक्यविन्यास का उद्देश्य आमतौर पर यह वर्णन करना है कि किसी चीज़ का निर्माण कैसे किया जाए और वास्तव में इसका निर्माण करने के लिए एक एल्गोरिथ्म होना आम तौर पर उपयोगी है। इसके अलावा, एक सेट की सुविधाओं की आवश्यकता केवल तब होती है जब हम एक अर्थपूर्ण विवरण चाहते हैं, जिसके लिए अनिर्दिष्टता की अनुमति है।

इसलिए, हमारे अधिक कठोर विवरण का लाभ पृथक्करण को सरल रखना है , ताकि आम व्यावहारिक उपयोग से अधिक सीधे अंतर हो। यह अच्छी तरह से काम करता है, जब तक आपको ज़रूरत नहीं है या आप अपने उपयोग को ढीला नहीं करना चाहते हैं, जैसा कि आप करेंगे, उदाहरण के लिए NuPRL।

— छिपकली
स्रोत

3

टाइप चेकिंग को डिसिडेबल होने की ज़रूरत नहीं है (हालाँकि यह निश्चित रूप से वांछनीय है)। उदाहरण के लिए, एनयूपीआरएल को एक प्रमाण प्रदान करने के लिए उपयोगकर्ता की आवश्यकता होती है, जो कि एक प्रकार का शब्द होता है।

— डेरेक एल्किंस

3

3 \in . . .

$3\in ...$

1

@DerekElkins मैं NuPRL से परिचित नहीं हूं, लेकिन उदाहरण के लिए सबूत सहायक Coq सबसे निश्चित रूप से स्वयं की जाँच करता है (यानी, 'मेरे प्रमेय के प्रकार' का प्रदान किया गया शब्द है)। यदि उपयोगकर्ता को एक निश्चित प्रकार का एक शब्द इस तथ्य को 'साबित' करना है तो NuPRL कैसे प्रमाण को सत्यापित करता है? (दूसरे शब्दों में, NuPRL की तरह इस लगता है करी-हावर्ड पत्राचार का उपयोग नहीं करता है, तो क्या करता है इसका इस्तेमाल?)

— असतत छिपकली

1

@Discretelizard मैं नहीं कह रहा हूँ कि NuPRL विशिष्ट है। निश्चित रूप से टाइप करने के लिए जाँच करना सामान्य मामला है। मैं अत्यधिक इसके साथ परिचित होने की सलाह देता हूं क्योंकि यह काफी अलग रास्ता लेता है। NuPRL चर्च-शैली की गणना के बजाय एक करी-शैली है जो इसे एक प्रकार का शोधन प्रणाली बनाती है। किसी भी दर पर, केवल लिखने की शर्तों (या शर्तों का निर्माण करने वाली रणनीति) के बजाय, आपके पास खुद को टाइप करने के लिए अनिवार्य रूप से एलसीएफ-स्टाइल प्रूफ सिस्टम है। यकीनन, व्युत्पन्नता महत्वपूर्ण है, और यह एक "अस्थायी" का एक सा है जिसे हम शर्तों से समझ सकते हैं।

— डेरेक एल्किंस

3

\in

$\in$

4

मेरा मानना है कि सेटों और प्रकारों के बारे में सबसे ठोस मतभेदों में से एक है कि आपके दिमाग में "चीजों" के तरीके में अंतर होता है।

दोनों सेट और प्रकार आपको चीजों के बारे में बोलने और चीजों के संग्रह की अनुमति देते हैं। मुख्य अंतर यह है कि सेट के साथ, आप किसी भी प्रश्न को चीजों के बारे में पूछ सकते हैं और यह सच होगा, शायद नहीं; प्रकारों के साथ, आपको पहले यह साबित करना होगा कि प्रश्न समझ में आता है।

$\mathbb B=\{\operatorname{true},\operatorname{false}\}$ $\mathbb N=\{0, 1,\dots \}$ $\operatorname{true}=1$

$0$ $[0]=\{\}$ $n+1$ $[n+1]=\{[n]\}\cup [n]$ $\operatorname{true}$ $\operatorname{false}$ $\operatorname{true}=1$ $\operatorname{true}$ $1$

$a=b$ $a$ $b$ $\operatorname{true}=1$ $S$ $\mathbb B$ $\mathbb N$ $\iota_\mathbb B:\mathbb B\to S$ $\iota_\mathbb N:\mathbb N\to S$ $\iota_\mathbb B(\operatorname{true})=\iota_\mathbb N(1)$

$(\operatorname{if} \text{very_hard_question} \operatorname{then} 1 \operatorname{else} \operatorname{true})=1$

सारांश में, सेट आपको कोई भी प्रश्न पूछना चाहते हैं, लेकिन जब उत्तर उन पर निर्भर हो सकते हैं, तो आपको एन्कोडिंग को स्पष्ट करने के लिए मजबूर करते हैं।

— xavierm02
स्रोत

R

$\mathbb{R}$

\sin (\sqrt{2})

$\sin(\sqrt{2})$

@AndrejBauer राइट क्या आप इस बात से सहमत होंगे कि यह उत्तर एकल-सॉर्ट किए गए सिद्धांतों (अधिकांश सेट सिद्धांतों, या कम से कम सबसे सामान्य वाले सहित), और बहु-सॉर्ट किए गए सिद्धांतों (सभी सहित?) सिद्धांतों के बीच अंतर देता है?

— xavierm02

यहां तक कि एक एकल-सॉर्ट किए गए सिद्धांत में आपको सूत्रों से

— बाउर

@AndrejBauer मुझे आपकी दूसरी टिप्पणी समझ नहीं आ रही है।

— xavierm02

\emptyset ⟹ (\forall x \in X . ϕ (x)) \in N

$\emptyset \implies (\forall x \in X . \phi(x)) \in \mathbb{N}$