स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने से किस तरह की गणित की समस्याएं हल हो सकती हैं?

Question

क्या मैं उपलब्ध स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने वालों के साथ निम्नलिखित कथनों को सिद्ध कर सकता हूँ?

1. ।$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

2. यदि , तो 11 - 7 a - 5 b ।$11 \mid 2a-3b$$11 \mid 7a-5b$

3. अगर , तो एक्स = - ख ± $ax^2+bx+c=0$ ।$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

4. अगर भी है तो 4 a भी है।$a$$4a$

और इसी तरह!

मैं यह सवाल इसलिए पूछ रहा हूं क्योंकि मुझे सिर्फ तर्क में प्रमेय साबित करने के लिए ऑटोमेटेड प्रमेय का आवेदन मिला।

Comments

आप निश्चित रूप से इन सभी को साबित कर सकते हैं (शायद 3 को छोड़कर, जो कि लिखित रूप में गलत है) सभी मानक प्रमाण सहायकों का उपयोग करके, हालांकि यह संभवतः स्वचालित नहीं होगा।

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus। धन्यवाद! तो किस तरह की समस्याओं को स्वचालित रूप से हल किया जा सकता है?

— मठ-किला

आप स्वचालित रूप से अभिव्यक्तियों को सरल कर सकते हैं, हालांकि यह कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों द्वारा प्रदान की गई सेवा है। मुझे नहीं लगता कि आधुनिक प्रूफ असिस्टेंट स्वचालित रूप से किसी भी पदार्थ को साबित कर सकते हैं, हालांकि विशेषज्ञों से पूछना बेहतर है।

— युवल फिल्मस

@ युवलफिल्मस मुझे लगता है कि आप जो कहते हैं वह अक्सर सही होता है, इस अर्थ में कि जब कोई स्वचालित प्रमाण पद्धति दिलचस्प परिणाम देती है, तो हम इसे CAS का हिस्सा बनाने के लिए तैयार हैं ...

— असतत छिपकली

"(a + b) ^ 2 == a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab " वुल्फरामअल्फा पर

— Nat

Answer 1

आपके अधिकांश कथन प्रारंभिक बीजगणित हैं, इसलिए इन्हें कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (CAS) द्वारा स्वचालित रूप से सिद्ध किया जा सकता है, जैसे कि मेपल या गणित।

(यदि आप कैस के पीछे गणित में रुचि रखते हैं, तो मैं जोआचिम वॉन ज़ुर गैथेन और जुरगेन गेरहार्ड द्वारा एक आधुनिक पुस्तक, जिसे क्षेत्र की 'बाइबिल ’माना जाता है, द्वारा आधुनिक कंप्यूटर बीजगणित की सिफारिश कर सकते हैं )

स्वचालित प्रमेय साबित करने के लिए एक संरचना है कि साक्ष्यों का प्रतिनिधित्व करता है पर ज्यादातर खोज करने का एक मामला है, अगर सबूत कुछ मामलों में से एक नहीं है जिसके लिए एक एल्गोरिथ्म है जो निर्णायक रूप से इसे हल कर सकता है। यह देखते हुए कि यह कथन बहुत जटिल नहीं है, यह संभावना है कि एक स्वचालित कहावत एक प्रमाण खोजने में सक्षम है।

हालाँकि, मुझे लगता है कि उन बयानों के बारे में कुछ और कहना दिलचस्प है जिनके लिए अच्छे एल्गोरिदम हैं:

कथन 3 बहुपद समीकरणों की (प्रणाली) की जड़ों के बारे में (एक बहुत ही सरल मामला है) और बुचबर्गर के एल्गोरिथ्म के साथ ग्रोब्नेर आधार पाकर इसे हल किया जा सकता है । Gröbner आधार और Buchberger के एल्गोरिथ्म को खोजने के लिए स्वचालित प्रमेय साबित करने के लिए बहुत अच्छे उपकरण हैं। उदाहरण के लिए, हम स्वचालित रूप से एक ज्यामितीय समीकरण की जड़ को एक चतुर तरीके से खोजने के लिए समस्या को स्वचालित रूप से बदलकर ज्यामिति में प्राथमिक प्रमेयों को स्वचालित रूप से साबित कर सकते हैं!

प्रमेयों का एक और दिलचस्प वर्ग क्वांटिफायर-मुक्त प्रेस्बर्गर अंकगणितीय (विशेष रूप से, यह अंकगणित गुणा के बिना है, इसलिए यह आपके कथनों पर लागू नहीं होता है) में व्यक्त किए गए कथन हैं, क्योंकि इस तरह के सभी कथनों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, भले ही एल्गोरिथ्म थोड़ा धीमा है।