अधिकतम कैसे करें

Question

मुझे कई एल्गोरिथम समस्याएं दिखाई देती हैं जो हमेशा कुछ को कम करती हैं:

आप एक है पूर्णांक सरणी$h[1..n]\geq 0$, आपको खोजने की जरूरत है $i,j$ इस तरह के अधिकतम $(h[j]-h[i])(j-i)$ में $O(n)$ समय।

जाहिर है $O(n^2)$ समय समाधान,, सभी जोड़ों को विचार करने के लिए है लेकिन वहाँ किसी भी तरह से हम में अभिव्यक्ति को अधिकतम कर सकते है $O(n)$ के गुणों के बारे में कुछ और जानने के बिना $h$?

मुझे लगा कि एक विचार को ठीक करना है $j$, तो हमें खोजने की जरूरत है $i^*$ से $1$ सेवा $j-1$ के बराबर है $\text{argmax}_i\{(h[j]-h[i])(j-i)\}$ या $\text{argmax}_i\{h[j]j-h[j]i-h[i]j+h[i]i\}$ और तब से $j$ तय है, तो हमें जरूरत है $\text{argmax}_i\{-h[j]i-jh[i]+ih[i]\}$।

हालाँकि, मुझे इससे छुटकारा पाने का कोई रास्ता नहीं दिख रहा है $j$अंदर निर्भर शर्तें। कोई मदद?

Comments

विल ए $O(n\log n)$समाधान सहायक हो सकता है?

— xskxzr

@xskxzr सुनिश्चित करें कि आपके पास कोई भी है

— AspiringMat

Answer 1

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यह एक $O(n\log n)$समाधान। एक$O(n)$समाधान द्वारा विलार्ड झान ने बताया इस उत्तर के अंतिम में जोड़ दिया जाता है।

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$O(n\log n)$ समाधान

convience के लिए, निरूपित $f(i,j)=(h[j]-h[i])(j-i)$।

परिभाषित करें $l_1=1$, तथा $l_i$ सबसे छोटा सूचकांक हो $l_i>l_{i-1}$ तथा $h[l_i]<h[l_{i-1}]$। इसी तरह, परिभाषित करें$r_1=n$, तथा $r_i$ ऐसा सबसे बड़ा सूचकांक है $r_i<r_{i-1}$ तथा $h[r_i]>h[r_{i-1}]$। दृश्यों$l_1,l_2,...$ तथा $r_1,r_2,\ldots$ में गणना करने के लिए आसान कर रहे हैं $O(n)$ समय।

मामला जहां नहीं हैं $i<j$ ऐसा है कि $h[i]< h[j]$ (अर्थात $f(i,j)>0$) तुच्छ है। अब हम गैर-तुच्छ मामलों पर ध्यान केंद्रित करते हैं। ऐसे मामलों में, समाधान खोजने के लिए, हमें केवल ऐसे जोड़ों पर विचार करने की आवश्यकता है।

प्रत्येक के लिए $i<j$ ऐसा है कि $h[i]<h[j]$, चलो $u$ ऐसा सबसे बड़ा सूचकांक है $l_u\le i$, तथा $v$ सबसे छोटा सूचकांक हो $r_v\ge j$, फिर $h[l_u]\le h[i]$ (अन्यथा $l_{u+1}\le i$ की परिभाषा के द्वारा $l_{u+1}$, इस प्रकार की परिभाषा के विपरीत है $u$), और इसी प्रकार $h[r_v]\ge h[j]$। इसलिये

$$(h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(r_v-l_u)\ge(h[j]-h[i])(j-i).$$ इसका मतलब है कि हमें केवल जोड़े पर विचार करने की आवश्यकता है $(l_u,r_v)$ कहाँ पे $l_u<r_v$।

निरूपित $v(u)=\arg\max_{v:\ l_u<r_v}f(l_u,r_v)$, हमारे पास निम्नलिखित लैमा है।

एक जोड़ा $(l_u,r_v)$ कहाँ पे $l_u<r_v$, और जहाँ मौजूद है $u_0$ ऐसा है कि $u<u_0$ तथा $v<v(u_0)$ या ऐसा $u>u_0$ तथा $v>v(u_0)$, एक अंतिम इष्टतम समाधान नहीं हो सकता है।

सबूत। की परिभाषा के अनुसार$v(u_0)$, हमारे पास है

$$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_{u_0}])(r_{v(u_0)}-l_{u_0}) \ge (h[r_v]-h[l_{u_0}])(r_v-l_{u_0}),$$ या $$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} \ge 0.$$

In the case where $u<u_0$ and $v<v(u_0)$, note $h[r_v]-h[r_{v(u_0)}]<0$ and $r_v-r_{v(u_0)}>0$, and also $l_u<l_{u_0}$ and $h[l_u]>h[l_{u_0}]$, we have

$$\begin{align*} &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})\\ >\ &(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_{u_0}+h[l_{u_0}](r_v-r_{v(u_0)}). \end{align*}$$

This means

$$(h[r_v]-h[r_{v(u_0)}])l_u+h[l_u](r_v-r_{v(u_0)})+h[r_{v(u_0)}]r_{v(u_0)}-h[r_v]r_{v(u_0)} > 0,$$ or $$(h[r_{v(u_0)}]-h[l_u])(r_{v(u_0)}-l_u) > (h[r_v]-h[l_u])(r_v-l_u).$$

So $(l_u,r_{v(u_0)})$ is a strictly better solution than $(l_u,r_v)$. Proof for the other case is similar. $\blacksquare$

We can compute $v(\ell/2)$ firstly where $\ell$ is the length of the sequence $l_1,l_2,\ldots$, then recursively compute the optimal solution $o_1$ among $(l_u,r_v)$'s for $u=1,\ldots,\ell/2-1$ and $v=v(\ell/2),v(\ell/2)+1,\ldots$, and the optimal solution $o_2$ among $(l_u,r_v)$'s for $u=\ell/2+1,\ell/2+2,\ldots$ and $v=1,\dots,v(\ell/2)$. Due to the lemma, the global optimum solution must come from $\{(l_{\ell/2},r_{v(\ell/2)}),o_1,o_2\}$.

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$O(n)$ Solution

Let $f(l_u,r_v)=-\infty$ if $l_u\ge r_v$. The proof of the lemma also shows an important property: for $u>u_0$ and $v>v_0$, if $f(l_{u_0},r_{v_0})\ge f(l_{u_0},r_v)$, then $f(l_u,r_{v_0})>f(l_u,r_v)$. This means the matrix $M[x,y]:=-f(l_x,r_{c-y+1})$ is a totally monotone matrix where $c$ is the length of the sequence $r_1,r_2,\ldots$ (so $r_{c-y+1}$ means the $y$-th element from the end), then SMAWK algorithm can apply to find the minimum value of $M$, thus the maximum value of $f$.

Comments

What you proved is that $f(l_u,r_v)$ is a monotone matrix, so divide and conquer gives an $O(n\log n)$ algorithm. But you could actually prove that $f(l_u,r_v)$ is Monge, so that the $O(n)$ SMAWK algorithm can be applied.

— Willard Zhan