क्या यह निर्धारित करने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म है कि क्या ग्राफ में गैर-तुच्छ स्वप्रतिवाद है या नहीं?

मैं लैटिन वर्गों से संबंधित एक समस्या पर काम कर रहा हूं, और मुझे निर्णय समस्या के लिए अनिवार्य रूप से उकसाने के लिए एक विधि चाहिए:

इनपुट : एक परिमित, सरल ग्राफ जी
आउटपुट : YESयदि जी, एक गैर तुच्छ automorphism है NOअन्यथा।

इसलिये...

प्रश्न : क्या यह निर्धारित करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है कि क्या ग्राफ में गैर-तुच्छ स्वप्रतिवाद है?

हम पूरे ऑटोमोरिज़्म समूह की गणना करने के लिए Nauty या ब्लिस (और संभवतः कुछ अन्य पैकेजों) का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन मुझे इसकी आवश्यकता नहीं है; मुझे यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या यह तुच्छ है या नहीं।

यह संभव है कि यह निर्णय समस्या सैद्धांतिक रूप से किसी तरह "संपूर्ण स्वप्रतिवाद समूह की गणना" करने के लिए जटिलता के बराबर हो। मुझे यकीन नहीं है।

मेरा उद्देश्य के लिए, "कुशल" मूल रूप से मतलब है "तेजी से पूरे automorphism समूह कंप्यूटिंग से व्यवहार में", लेकिन मैं यह भी इसके पीछे सिद्धांत में रुचि रही है।

— रेबेका जे। स्टोन्स
स्रोत

यह ग्राफ समाकृतिकता के बराबर है।

— युवल फिल्मस 12

@YuvalFilmus जहाँ तक मुझे जानकारी है, " समसामयिक से तक" कोई ज्ञात कमी नहीं है "क्या का एक निरंकुश स्वप्रतिवाद है ।" जाहिर है, अगर तो उनके असंतुष्ट संघ में एक nontrivial (स्वैप और ) है, लेकिन कोई भी nontrivial automorphism का एक भी होगा ।

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G

$G$

G_{1} ≃ G_{2}

$G_1\simeq G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

G_{1}

$G_1$

G_{1} + G_{2}

$G_1+G_2$

— डेविड रिचेर्बी

अपने आखिरी सवाल के बारे में, अगर एक कैन जीए करने के लिए एक दैवज्ञ को देखते हुए बहुपद समय में, automorphism समूह के सृजन सेट मिल जाए, तो सैनिक जीए, कर रहा हूँ जो मुझे यकीन है कि जाना जाता है नहीं करने के लिए ट्यूरिंग कम करने योग्य है।

— एरियल

@DavidRicherby निम्नलिखित कागज के बारे में क्या है? अनुभवी अनुभवी। science

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus ठीक है, इसलिए आप ट्यूरिंग कटौती का उपयोग कर रहे हैं और मैं कई-एक कटौती का उपयोग कर रहा हूं। और मुझे लगता है कि ट्यूरिंग कटौती किसी ऐसे व्यक्ति के लिए अधिक प्रासंगिक है जो वास्तव में समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा है।

— डेविड रिचरबी

चूंकि आप इसके पीछे के सिद्धांत में रुचि रखते हैं, इसलिए मैं आपको आपकी समस्या के लिए एक अर्ध-बहुपद समय एल्गोरिथ्म प्रदान करूंगा।

प्रत्येक जोड़ के लिए $u\neq v$ (उसी डिग्री का) में $G$ , हम यह देखने की कोशिश करते हैं कि क्या यह स्वैप करना संभव है $u$ तथा $v$ ।

ऐसा करने के लिए, एक प्रति बनाएं $G$ , इसे कहते हैं $G'$ । अब, हटाएं $u$ से $G$ , हटाने (की नकल) $v$ से $G'$ ।

फिर, प्रत्येक के लिए $w\in N(u)$ इसे एक बहुत लंबा रास्ता देते हैं, लेकिन केवल बहुपत्नी लंबा है ।

फिर, प्रत्येक के लिए (प्रति) $w\in N(copy\ of\ v)$ इसे एक बहुत लंबा रास्ता देते हैं, लेकिन केवल बहुपत्नी लंबा है ।

उपर्युक्त सभी बहुत लंबे पथ पर हैं, लेकिन बहुपत्नी लंबे हैं , समान लंबाई के होने चाहिए।

ग्राफ की इस नई जोड़ी के इनपुट पर बाबई के एल्गोरिथ्म को कॉल करें।

अगर किसी भी जोड़ी के लिए $(u, v)$ , हमारे पास एक $YES$ बाबई से जवाब, जवाब $YES$ और पड़ाव।

अगर कोई नहीं लौटाता है $YES$ उत्तर, उत्तर $NO$ और पड़ाव।

स्पष्ट रूप से, सभी कोने में संलग्न करना $N(u)$ तथा $N(v)$ अपने एल्गोरिथ्म के बाबई के भीतर के कार्य तंत्र के ग्राफ समरूपता को केवल नक्शे में मानचित्रण के लिए मजबूर करता है $N(u)$ सेवा $N(v)$ । इस प्रकार, अगर बाबई का जवाब है $YES$ तो हम सुरक्षित रूप से वापस प्लग कर सकते हैं $u$ तथा $v$ के एक गैर तुच्छ automorphism है $G$ , जबसे $G'$ की एक प्रति है $G$ ।

रन-टाइम जटिलता अभी भी अर्ध पाली है।

— तिन्ह डी। गुयेन
स्रोत