वाई कॉम्बिनेटर "लैम्ब्डा पथरी असंगति" को कैसे स्वीकार करता है?

Question

फिक्स्ड प्वाइंट कॉम्बिनेटरों के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर बल्कि रहस्यमय पाठ लिखा जाता है

वाई कॉम्बिनेटर एक उदाहरण है जो लैम्बडा कैलकुलस को असंगत बनाता है। इसलिए इसे संदेह के साथ माना जाना चाहिए। हालाँकि, केवल तर्कपूर्ण तर्क में परिभाषित किए जाने पर वाई कॉम्बिनेटर पर विचार करना सुरक्षित है।

क्या मैंने किसी तरह के जासूसी उपन्यास में प्रवेश किया है? दुनिया में क्या उन बयानों से मतलब है जो -calculus "असंगत" है और इसे "संदेह के साथ" माना जाना चाहिए ?$\lambda$

Comments

एफडब्ल्यूआईडब्ल्यू, वह पैराग्राफ जनवरी 2014 से विकिपीडिया लेख में है, जब इसे लगभग पूरे लेख के बड़े पैमाने पर पुनर्लेखन में पेश किया गया था ।

— इल्मरी करोनन

Answer 1

यह वास्तविक घटनाओं से प्रेरित है, लेकिन जिस तरह से यह कहा गया है वह मुश्किल से पहचानने योग्य है और "संदेह के साथ माना जाना चाहिए" बकवास है।

संगति का तर्क में सटीक अर्थ है: एक सुसंगत सिद्धांत वह है जहां सभी कथन सिद्ध नहीं किए जा सकते। शास्त्रीय तर्क में, यह एक विरोधाभास के अभाव के बराबर है, यानी एक सिद्धांत असंगत यदि और केवल यदि वहाँ एक बयान है ऐसी है कि सिद्धांत दोनों साबित होता है एक और उसका निषेध ¬ एक ।$A$$A$$\neg A$

तो लैम्बडा कैलकुलस के बारे में इसका क्या मतलब है? कुछ भी तो नहीं। लैम्ब्डा कैलकुलस एक पुनर्लेखन प्रणाली है, न कि एक तार्किक सिद्धांत।

तर्क के संबंध में लैम्ब्डा कैलकुलस को देखना संभव है। एक प्रमाण में परिकल्पना का प्रतिनिधित्व करने के रूप में चर, एक निश्चित परिकल्पना (चर द्वारा प्रतिनिधित्व) के तहत साक्ष्य के रूप में लंबोदर सार, और एक सशर्त प्रमाण और परिकल्पना के प्रमाण को एक साथ रखने के रूप में अनुप्रयोग। फिर बीटा नियम , लॉजिक पोन्स , लॉजिक के मूल सिद्धांत को लागू करके एक प्रमाण को सरल बनाने से मेल खाता है ।

$n=3$$n=2$

करी-हावर्ड पत्राचार के बीच एक समानांतर है टाइप किया पथरी और सबूत सिस्टम।

• प्रकार तार्किक बयानों के अनुरूप हैं;
• नियम साक्ष्यों के अनुरूप हैं;
• बसे हुए प्रकार (अर्थात इस प्रकार कि उस प्रकार का एक शब्द होता है) सत्य कथन के अनुरूप होता है (जैसे कि कथन उस कथन का प्रमाण होता है);
• कार्यक्रम मूल्यांकन (यानी नियम जैसे बीटा) साक्ष्यों के रूपांतरण के अनुरूप हैं (जिसमें सही प्रमाणों को सही प्रमाण में बदलना बेहतर था)।

$Y$$Y (\lambda x.x)$

यह शुद्ध लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए सार्थक नहीं है, अर्थात बिना प्रकार के लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए।

कई टाइप की गई गणनाओं में, एक निश्चित बिंदु कॉम्बिनेटर को परिभाषित करना असंभव है। वे टाइप की गई कैल्कुली उनकी तार्किक व्याख्या के संबंध में उपयोगी हैं, लेकिन ट्यूरिंग-पूर्ण प्रोग्रामिंग भाषा के लिए आधार के रूप में नहीं। कुछ टाइप की गई गणनाओं में, एक निश्चित बिंदु कॉम्बिनेटर को परिभाषित करना संभव है। टंकित की गई गणना ट्यूरिंग-पूर्ण प्रोग्रामिंग भाषा के लिए एक आधार के रूप में उपयोगी है, लेकिन उनकी तार्किक व्याख्या के संबंध में नहीं।

निष्कर्ष के तौर पर:

• लैम्ब्डा कैलकुलस "असंगत" नहीं है, यह अवधारणा लागू नहीं होती है।
• एक टाइप किया हुआ लैम्ब्डा कैलकुलस जो प्रत्येक लैम्बडा शब्द के लिए एक प्रकार प्रदान करता है असंगत है। कुछ टाइप किए गए लैंबडा कैल्कुली इस तरह हैं, अन्य कुछ शब्दों को अप्राप्य बनाते हैं और लगातार होते हैं।
• टाइप किए गए लैम्ब्डा कैल्सी, लैम्ब्डा कैलकुलस के लिए एकमात्र raison d'être नहीं हैं , और यहां तक ​​कि असंगत टाइप किए गए लैम्ब्डा कैल्सी बहुत उपयोगी उपकरण हैं - बस चीजों को साबित करने के लिए नहीं।

Comments

वाह, मेरे लिए यहां अनपैक करने के लिए बहुत कुछ है। विस्तृत विवरण के लिए धन्यवाद। यह सब करने की कोशिश करने के लिए मुझे कुछ समय लगने वाला है।

— बेन आई।

तकनीकी रूप से, बिना टाइप किए हुए आई को देखते हुए आप टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस और एक लॉजिक के बीच सीएच पत्राचार कर सकते हैं। यह सिर्फ एक बहुत, बहुत उबाऊ (और निश्चित रूप से असंगत) तर्क है। सबूत जैसे कि एनयूपीआरएल पानी को थोड़ा गंदा करता है। NuPRL की ऑब्जेक्ट भाषा में अनपेड लैम्ब्डा कैलकुलस शामिल है, और आप वाई कॉम्बिनेटर को आसानी से परिभाषित कर सकते हैं। NuPRL चीजों को थोड़ा अलग तरीके से विभाजित करता है इसलिए इसमें एक प्रकार की प्रणाली के बजाय एक प्रकार का शोधन प्रणाली है, और व्यायाम अच्छी तरह से टाइप किए गए शब्दों का उत्पादन करने के लिए नहीं है, बल्कि टाइपिंग व्युत्पन्न का उत्पादन करने के लिए है।

— डेरेक एल्किंस

क्या यह सिर्फ मेरे लिए है, या अनपेक्षित लैम्ब्डा कैलकुलस पर "प्रस्ताव" प्रकार के प्रतिमान लगाने के लिए अजीब है? मैं हमेशा लोगों को विशिष्ट वस्तुओं को शुरू बूलियन मूल्यों होने के लिए द्वारा untyped लैम्ब्डा पथरी में तर्क के बारे में बात देखा है trueऔर false, और प्रस्ताव चीजें हैं जो बूलियन मूल्यवान उत्पादन थे। (और केवल उन चीजों के डोमेन पर प्रस्ताव पर विचार किया गया था जहां यह बूलियन मूल्य का उत्पादन करता है )।

तुच्छ (प्रत्येक कथन को साबित करता है) और इसमें विरोधाभास दो अलग-अलग गुण हैं। जबकि वे शास्त्रीय तर्क में समतुल्य होते हैं, पैरासेंटेंट लॉजिक्स के लिए एक सिस्टम असंगत और गैर-तुच्छ हो सकता है।

— तैमूर

"असंगत", एक λ-पथरी-आधारित तर्क के लिए, इसका अर्थ है "प्रत्येक प्रकार को कुछ शब्द के लिए निर्दिष्ट करता है", न कि "प्रत्येक पद के लिए एक प्रकार प्रदान करता है" (हालांकि पूर्ववर्ती से बाद का प्रकार); बहुत सारे λ-पथरी-आधारित भाषाएं हैं जो असंगत लॉगिक्स के अनुरूप हैं लेकिन जहां हर λ-पथरी शब्द टाइप करने योग्य नहीं है।

— जोनाथन ने

Answer 2

मैं एक जोड़ना चाहूंगा कि @Giles ने क्या कहा।

$\lambda$$\lambda$

$\lambda x.\lambda y.x$$a \to (b \to a)$$a \to b$$a$$b$$a \implies (b \implies a)$$\lambda x.\lambda y.xy$$(a \to b) \to (a \to b)$$(a \implies b) \implies (a \implies b)$

$\lambda f.(\lambda x.f(xx))(\lambda x.f(xx))$$(a \to a) \to a$$(a \implies a) \implies a$

$$(a \implies a) \implies a \\ \top \implies a \\ a \\(\neg a \implies \neg a) \implies (\neg a) \\ \top \implies \neg a \\ \neg a$$

$(a \to a) \to a$

• $(a \to a) \to a$$\lambda$
• तार्किक कटौती की प्रणाली के रूप में असंगत होने के प्रकार के साथ जीना।

Comments

$\forall a, b.a\to b$$\forall a.(a\to a) \to a$

— डेरेक एल्किन्स

@DerekElkins, किस तरह के आदिम शब्द? इसके अलावा, अगर मैं सही तरीके से समझूं, तो यह सिर्फ मान लेना है (-> ए) -> ए हमेशा आबाद रहता है जो असंगतता पैदा करता है? तो एक प्रोग्रामिंग भाषा के साथ अधिक असंगतता नहीं है जिसे समाप्ति प्रमाण की आवश्यकता है? या अछूते या हिंडले में असंगतता का कोई अन्य स्रोत है typ मिलनर ने लंबोदर कैलकुलस टाइप किया?

— हिबू ५ H

fix$\mathsf{fix}_A$$A$$\mathsf{fix}(\lambda x.x)$$\delta$$\mathsf{fix}$

— डेरेक एल्किंस