दो या तीन प्रश्नों में एक बहुपद ज्ञात कीजिए

Question

ब्लैक बॉक्स का अर्थ है कि मैं किसी भी बिंदु पर बहुपद मूल्यांकन कर सकता हूं ।$f(x)$$f(x)$

• इनपुट : डिग्री के में गणित के बहुपद एक ब्लैक बॉक्स ।$f(x) \in\mathbb{Z}^+[x]$$d$

• आउटपुट: बहुपद के गुणांकों ।$d$$f(x)$

मेरा एल्गोरिथ्म: चलो

$$f(x) = x^{d} + a_{d-1} x^{d-1} + \cdots + a_1 x + a_0$$

मूल्यांकन बहुपद पर ब्लैक बॉक्स का उपयोग कर कई बिंदुओं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलता है। अब मैं वांछित गुणांक प्राप्त करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकता हूं।$\mathcal{f(x)}$$d$

हालाँकि, इस स्थिति में, मुझे ब्लैक बॉक्स के लिए कई प्रश्नों की आवश्यकता है। मैं प्रश्नों की संख्या को कम करना चाहता हूं । क्या केवल दो या तीन प्रश्नों की संख्या को कम करने का कोई तरीका है?$\mathcal{O(d)}$

Comments

आप सवाल बदलते रहें। शायद आपको पहले अपने सवाल पर फैसला करना चाहिए और उसके बाद ही पूछना चाहिए। अन्यथा यह उत्तरदाता के लिए कुछ निराशाजनक हो सकता है।

— युवल फिल्मस

मतलब क्या है ? $\mathbb{Z}^+$

— md5

सकारात्मक पूर्णांक का सेट

— कॉम्प्लेक्सिटी

आपके एल्गोरिथ्म के लिए BTW, गुणांकों को लैग्रेंज के बंद फॉर्मूले के साथ O ( n 3 ) के बजाय में गणना की जा सकती है। $O(n^2)$$O(n^3)$

— md5

सटीक एक ही प्रश्न, अलग-अलग शब्द: math.stackexchange.com/questions/446130/…

— Nayuki

Answer 1

आप दो प्रश्नों का उपयोग करके बहुपद निर्धारित कर सकते हैं। गुणांक के मूल्य पर एक ऊपरी बाध्य एम प्राप्त करने के लिए पहले पर बहुपद का प्रश्न करें । अब अपनी पसंद के x > M पर बहुपद की क्वेरी करें और आधार x विस्तार से गुणांक को पढ़ें ।$x=1$$M$$x > M$$x$

उत्सुकता से, यदि आप गुणांक को नकारात्मक होने देते हैं तो आप प्रश्नों से बेहतर नहीं कर सकते । दरअसल, मैं हमेशा अपने जवाब कर सकते हैं घ - 1 प्रश्नों एक्स 1 , ... , एक्स डी - 1 शून्य से, और इस फार्म के सभी बहुआयामी पद के बाद से बहुपद का मान का समाधान नहीं होता ( एक्स - एक्स 1 ) ⋯ ( एक्स - एक्स d - 1 ) ( x - x d ) मेरे उत्तरों के अनुरूप हैं।$d$$d-1$$x_1,\ldots,x_{d-1}$$(x-x_1)\cdots(x-x_{d-1})(x-x_d)$

Comments

नकारात्मक के लिए मुझे लगता है कि 2 का पूरक प्रकार काम कर सकता है।

— जटिलता

गुणांक के परिमाण पर एक ऊपरी सीमा के बिना नहीं। यह मेरा प्रमाण दिखाता है।

— युवल फिल्मस

क्षमा करें, मुझे यह भाग नहीं मिला "मैं हमेशा आपके प्रश्नों का उत्तर दे सकता हूँ x 1 , ... , x d - 1 शून्य से"$d-1$$x_1,\ldots,x_{d-1}$

— जटिलता

यह एक प्रतिकूल तर्क है। आपका एल्गोरिथ्म d - 1 स्थानों पर के मूल्य के लिए ब्लैक बॉक्स पूछता है , और यह हमेशा शून्य का जवाब देता है। मैं दिखाता हूं कि च के मूल्य में कटौती करने के लिए यह आपके लिए पर्याप्त नहीं है । $f$$d-1$$f$

— युवल फिल्मस