एक बाइनरी ट्री को साबित करना अधिकांश

मैं यह साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि नोड्स के साथ एक बाइनरी ट्री में सबसे अधिक $n$ $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ पत्ते। मैं इसे इंडक्शन के साथ कैसे करूंगा?

जो लोग हीप्स के बारे में मूल प्रश्न का अनुसरण कर रहे थे, उनके लिए इसे यहाँ स्थानांतरित किया गया है ।

— varatis
स्रोत

सबसे पहले, ध्यान दें कि हम यहां लाटेक्स का उपयोग कर सकते हैं। मैंने इसे कैसे किया, यह देखने के लिए "संपादित करें" पर क्लिक करें। दूसरी बात, मुझे इंडक्शन नहीं दिखता। आप कुछ संख्याओं को वहाँ फेंक रहे हैं, लेकिन वहाँ कोई सबूत संरचना और ढेर से कोई संबंध नहीं है। क्या आप इसे सुधार सकते हैं? और अंत में, दावा गलत है: एक क्रमबद्ध सूची ढेर संपत्ति को पूरा करती है और केवल एक पत्ती होती है। क्या आपने कुछ मान्यताओं को छोड़ दिया है?

— राफेल

क्या @ केव का संपादन आपके मन में था, अर्थात "सबसे अधिक"?

— राफेल

@ राफेल, प्रश्न को फिर से पढ़ते हुए, मुझे लगता है कि यह उन ढेरों के बारे में हो सकता है जहां हर आंतरिक नोड में ठीक दो बच्चे हैं (जिस स्थिति में मूल प्रश्न समझ में आता है और दावा सही है, या ऐसा ही कुछ)।

— केव

@ कैवे आह हां, मैं आपका भ्रम देखता हूं। ढेर के नोड्स में दो बच्चे हैं (इसलिए बाइनरी-ट्री टैग)

— varatis

समझा। दावे के ठीक-ठीक तैयार होने के साथ, आगे की धारणाओं की वास्तव में कोई आवश्यकता नहीं है। वास्तव में संपत्ति सभी बाइनरी पेड़ों के लिए है।

— राफेल

जवाबों:

अब मैं मानता हूं कि प्रश्न निम्नलिखित है:

नोड्स के साथ एक बाइनरी ट्री को देखते हुए , साबित करें कि इसमें अधिकांश $n$ पत्ते। $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

हमें पेड़ परिभाषा के साथ काम करते हैं । के लिए इस तरह के एक पेड़, चलो में नोड्स की संख्या और $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ में पत्तियों की संख्या । $l_T$ $T$

इंडक्शन द्वारा आप ऐसा करने के लिए सही हैं, लेकिन आपको स्ट्रक्चर इंडक्शन की आवश्यकता होगी जो ट्री स्ट्रक्चर को फॉलो करता हो। पेड़ों के लिए, यह अक्सर पेड़ों की ऊंचाई पर पूर्ण प्रेरण के रूप में किया जाता है । $h(T)$

इंडक्शन एंकर के दो भाग होते हैं। सबसे पहले, हमारे पास साथ ; दावा स्पष्ट रूप से खाली पेड़ के लिए है। के लिए , यानी , हम इसी तरह की है $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ , इसलिए दावा पत्तियों के लिए है। $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

प्रेरण परिकल्पना है: मान लें कि दावा सब (बाइनरी) के लिए रखती है पेड़ के साथ , मनमाना लेकिन तय की। $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$

आगमनात्मक कदम के लिए, साथ एक मनमाना बाइनरी ट्री पर विचार करें । के रूप में , और । चूंकि और भी बाइनरी ट्री हैं (अन्यथा नहीं होगा) और $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ , प्रेरण परिकल्पना लागू होता है और है $h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

जैसा कि सभी पत्ते या तो या , हमारे पास वह है $T$ $L$ $R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

के साथ चिह्नित असमानता (चार तरह से) के मामले में जांच की जा सकती है कि क्या $(*)$ । प्रेरण की शक्ति से, यह सबूत का निष्कर्ष निकालता है। $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

एक अभ्यास के रूप में, आप निम्नलिखित कथनों को सिद्ध करने के लिए उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं:

ऊंचाई हर सही बाइनरी ट्री में $h$ नोड होते हैं। $2^h-1$
प्रत्येक पूर्ण बाइनरी ट्री में विषम संख्या में नोड्स होते हैं।

— राफेल
स्रोत

मैं सवाल से थोड़ा भ्रमित हूं। यदि आप अधिकतम डिग्री वाले पेड़ों में रुचि रखते हैं , जो कि विकिपीडिया कहता है कि आप चाहते हैं, तो हम इस समस्या में भाग लेते हैं कि एक किनारे पर नोड्स और पत्ते हैं, लेकिन । वैसे भी, यहाँ कुछ ऐसा है जो एक आसान तर्क है। $3$ $n=2$ $n=2$ $n/2 = 1$

बता दें कि एक ऐसा पेड़ है जिसमें नोड और पत्तियां होती हैं। के बाद से एक पेड़ है, देखते हैं किनारों, और दोहरी गणना उन्हें, हम देखते हैं कि जो कहता है कि और इस दो में तंग है -उच्चतम उदाहरण ऊपर। मुझे लगता है कि यह है कि आप ग्रहण करने के लिए चाहते हैं, तो यह है कि वहाँ दो डिग्री से एक जड़ और , तो आप इस तर्क देने के लिए परिष्कृत कर सकते हैं $T$ $n$ $L$ $T$ $n-1$

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$

n \geq 3

$n\ge 3$

जो आप की तलाश में है, और जब पेड़ भरा होता है तो यह तंग होता है।

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$

— लुई
स्रोत

मुझे लगता है कि हम चुपचाप यहां निहित पेड़ों को मानते हैं; विकिपीडिया भी ऐसा करता है।

— राफेल

विकिपीडिया एक तरह से समतुल्य है, कहती है: "पेड़ के बाहर, अक्सर" मूल "नोड (सभी नोड्स का पूर्वज) का संदर्भ होता है, अगर यह मौजूद है।" वैसे भी, यह तर्क नीचे लिखने लायक है, क्योंकि यह अलग और काफी आसान है।

— लुई

यदि आप पढ़ते हैं, तो सभी किनारों को निर्देशित किया जाता है, वे "बच्चों" और "माता-पिता" की बात करते हैं। कि अनारक्षित वृक्षों से कोई मतलब नहीं है। परिणाम में, एक पत्ता outdegree 0. साथ एक नोड होगा

— राफेल