N मल्टीचोज k की जटिलता को सरल बनाएं

मेरे पास पुनरावृत्ति के साथ कश्मीर तत्वों को चुनने के बराबर समय जटिलता के साथ एक पुनरावर्ती एल्गोरिदम है, और मैं सोच रहा था कि क्या मुझे अधिक सरलीकृत बिग-ओ अभिव्यक्ति मिल सकती है। मेरे मामले में, $k$ $n$ से अधिक हो सकता है और वे स्वतंत्र रूप से बढ़ते हैं।

विशेष रूप से, मैं कुछ स्पष्ट घातीय अभिव्यक्ति की उम्मीद करूंगा। सबसे अच्छा मैं अब तक मिल सकता है स्टर्लिंग के सन्निकटन के आधार पर वह यह है कि $O(n!) \approx O((n/2)^n)$ , इसलिए मुझे लगता है कि उपयोग कर सकते हैं, लेकिन अगर मैं कुछ भी अच्छा मिल सकता है मैंने सोचा।

O ((\binom{n + k - 1}{k})) = O (?)

$O\left({{n+k-1}\choose{k}}\right) = O(?)$

asymptotics combinatorics runtime-analysis

— yoniLavi
स्रोत

यह बिल्कुल मददगार नहीं है लेकिन बहुत ही रोचक है रामानुजन की फैक्टरियल

— सन्निकटता

धन्यवाद, दिखता है एक शांत सन्निकटन की तरह, लेकिन वास्तव में यह इसे आसान बनाने में मदद नहीं करता है।

n! \sim \sqrt{π} {(\frac{n}{e})}^{n} \sqrt[6]{8 n^{3} + 4 n^{2} + n + \frac{1}{30}}

$n! \sim \sqrt{\pi} \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt[6]{8n^3 + 4n^2 + n + \frac{1}{30}}$

— yoniLavi

जवाबों:

संपादित करें: यह उत्तर । बाउंडिंग बिना के मामले में अभिव्यक्ति असीमित है। $k<n$ $k$ $n$

यदि तो आपकी अभिव्यक्ति । ध्यान दें कि स्टर्लिंग के किसी भी सूत्र के द्वारा जहां बाइनरी एन्ट्रॉपी है। विशेष रूप से । इसलिए हमारे पास $k=n-1$ $O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)$ $0<\alpha<1$

(\binom{m}{α m}) = Θ (m^{- 1 / 2} 2^{H (α) m}),

${m \choose {\alpha m}}= \Theta(m^{-{1/2}} 2^{H(\alpha)m}),$

H (q) = - q \log q - (1 - q) \log (1 - q)

$H(q)=-q \log q - (1-q) \log (1-q)$

H (1 / 2) = 1

$H(1/2)=1$

k = n - 1

$k=n-1$

हे ((\binom{2 (n - 1)}{n - 1})) = Θ ((2 n - 2)^{- 1 / 2} 2^{2 n - 2}) = Θ (\frac{4^{n}}{\sqrt{n}}) ।

$O\left ({{2(n-1)}\choose{n-1}}\right)=\Theta((2n-2)^{-{1/2}} 2^{2n-2})=\Theta\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right).$

चूंकि ऊपरी बाउंड सबसे खराब स्थिति है (मैं इसे दिखाने के लिए इसे एक अभ्यास के रूप में छोड़ता हूं), आपकी अभिव्यक्ति । $k=n-1$ $O\left(\frac{ 4^{n}}{\sqrt{n}}\right)$

— A.Schulz
स्रोत

धन्यवाद, वास्तव में मैं क्या देख रहा था! और यह अभी तक एक और चीज है जो मुझे सूचना सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए प्रेरित करती है।

— yoniLavi

@ Falcor84: मैं पिछले संक्रमण में एक छोटा टाइपो था। हरकारे पर जाने के लिए चौकोर जड़ वाला हिस्सा। अत: परेश द्वारा प्रस्तुत की गई सीमा से थोड़ा बेहतर है। (वास्तव में, बाउंड

— असमान

मुझे भी उस छोटे माइनस साइन पर ध्यान देना चाहिए था, फिर से धन्यवाद।

— 16

आपका "व्यायाम के रूप में छोड़ दिया" कथन है कि सबसे खराब मामला है। यदि , तो अभिव्यक्ति । यह हमेशा से कम नहीं होता है ।

k = n - 1

$k = n-1$

n = 3

$n=3$

(\binom{k + 2}{k}) = (\binom{k + 2}{2}) = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

${k+2 \choose k} = {k+2 \choose 2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

(\binom{4}{2}) = 6

${4 \choose 2} = 6$

— पीटर शोर

चूंकि , समस्या और में सममित है (जो मेरे मामले में संबंध के बिना बढ़ सकता है )। इसलिए, मुझे लगता है, उत्तर के अंतिम भाग में n को साथ बदलने के लिए अधिक सटीक उत्तर होगा

(\binom{n + k - 1}{k}) = (\binom{n + k - 1}{n - 1})

${{n+k-1}\choose{k}} = {{n+k-1}\choose{n-1}}$

n

$n$

k

$k$

x := m a x (n, k)

$x := max(n,k)$

— yoniLavi

वोल्फ्राम का कहना है कि सोंडो (2005) [1] और सोंडो और जुडिलिन (2006) [2] ने असमानता का उल्लेख किया: के लिए एक सकारात्मक पूर्णांक और एक वास्तविक संख्या।

\frac{1}{4 आर म} {[\frac{(आर + 1)^{आर + 1}}{{आर}^{आर}}]}^{म} < (\binom{(आर + 1) म}{म}) < {[\frac{(आर + 1)^{आर + 1}}{{आर}^{आर}}]}^{म}

$\frac{1}{4rm}\left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m < {(r+1)m \choose m} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m$

m

$m$

r \geq 1

$r\ge 1$

हम तो उपयोग कर सकते हैं के साथ और ।

(\binom{n + क - 1}{क}) < (\binom{n + क}{क}) = (\binom{(आर + 1) म}{म})

${n+k-1\choose k} < {n+k\choose k} = {(r + 1)m \choose m}$

r = \frac{n}{k}

$r = \frac{n}{k}$

m = k

$m = k$

फिर हमारे पास

(\binom{n + क - 1}{क}) < {[\frac{(आर + 1)^{आर + 1}}{{आर}^{आर}}]}^{म} = {(\frac{n + क}{क})}^{n + क}

${n+k-1\choose k} < \left[\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right]^m = \left(\frac{n+k}{k}\right)^{n+k}$

अब, पास्कल के त्रिकोण के मध्य में द्विपदीय अभिव्यक्ति का उच्चतम मूल्य है। तो, हमारे मामले में, या । $n+k = 2k$ $k = n$

यह देखते हुए कि उपरोक्त असमानता में, हमें यह मिलता है: ।

(\binom{n + क - 1}{क}) < 2^{2 n} = 4^{n}

${n+k-1\choose k} < 2^{2n} = 4^n$

इसलिए, एक तंग बाउंड ।

(\binom{n + क - 1}{क}) = हे (4^{n})

${n+k-1\choose k} = O(4^n)$

आप यह भी देख सकते हैं कि अधिकतम मान के लिए निचली सीमा

(\binom{n + क - 1}{क}) = Ω (\frac{4^{n}}{n})

${n+k-1\choose k} = \Omega\left(\frac{4^n}{n}\right)$

संदर्भ:
[१] सोंडो, जे। "समस्या 11132।" आमेर। गणित। मासिक 112, 180, 2005.
[2] सोंडो, जे। और ज़ुडिलिन, डब्ल्यू। "एउलर की स्थिरांक, क्ष-लघुगणक, और रामानुजन और गोस्पर के सूत्र" रामानुजन जे। 12, 225-244, 2006।

— परेश
स्रोत