हम आइसोमोर्फिज्म, ऑटोमोरिज़्म और होमोमोर्फिज़्म क्यों करते हैं?

Question

इन तीन शब्दों आइसोमोर्फिज्म, ऑटोमोरफिज्म और होमोमोर्फिज्म के बीच सरल आम भाषा में मुख्य अंतर क्या हैं और हम आइसोमोर्फिज्म, ऑटोमोरफिज्म और होमोमोर्फिज्म क्यों करते हैं?

Answer 1

आइसोमॉर्फिज्म समान रेखांकन की धारणा को औपचारिक बनाता है । इस आंकड़े पर उदाहरण के लिए आप तीन आइसोमोर्फिक ग्राफ देखते हैं

अधिक औपचारिक रूप से, ग्राफ़ और का एक आइसोमोर्फिज्म एक bijection जो आसन्न को संरक्षित करता है। यानी:$G_1$$G_2$$f:V(G_1) \mapsto V(G_2)$

$$u \sim_{G_1} v \iff f(u) \sim_{G_2} f(v)$$

चित्र पर हर जोड़ी के रेखांकन के लिए इस तरह के एक आक्षेप को खोजना मुश्किल नहीं है।

अब अगर तो प्राप्त मानचित्रण एक स्वप्रतिवाद बन जाता है - ग्राफ से एक समरूपतावाद।$G_1 = G_2$

आप पूछ सकते हैं कि ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म की सहज धारणा क्या है और इसका उत्तर यह है कि यह आपको किसी प्रकार की जानकारी देता है जिसमें ग्राफ में "समतुल्य" समतुल्य होते हैं। दूसरे शब्दों में अगर ग्राफ की का एक आटोमैर्फिज्म है जैसे कि वर्टेक्स को वर्टेक्स में मैप किया जाता है तो एक तरह से और का पड़ोस समान दिखता है।$f$$G$$v$$u$$u$$v$

यह बदले में ग्राफ समरूपता की धारणा की ओर जाता है । एक ग्राफ को वर्टेक्स-ट्रांसेटिव कहा जाता है यदि हर जोड़े के लिए में एक ऑटोमोर्फिज़्म जैसे कि वर्टेक्स-ट्रांसेटिव ग्राफ का एक उदाहरण पीटर्सन ग्राफ है $G$$u,v \in V(G)$$f:V(G) \mapsto V(G)$$f(u) = v.$

और जैसा कि आप देख सकते हैं कि रेखांकन "सुंदर" दिखता है। यह ठीक है क्योंकि इसमें वर्णित प्रकार के "कई" ऑटोमोर्फिम्स हैं।

ग्राफ होमोमोर्फिम्स का अध्ययन आम तौर पर आम आदमी द्वारा नहीं किया जाता है और सैद्धांतिक उद्देश्यों के लिए कम या ज्यादा होता है। उदाहरण के लिए, वे शीर्ष-वर्णक की धारणा से निकटता से संबंधित हैं । हडविगेर अनुमान भी देखें

Comments

... समरूपता का अध्ययन आम तौर पर आम आदमी द्वारा नहीं किया जाता है ... प्रफुल्लित करने वाला! +1

— प्रतीक देवघर

Answer 2

ग्राफ सिद्धांत के संदर्भ में, एक समरूपता दो रेखांकन कि में आसन्न कोने नक्शे के बीच एक मैपिंग है में आसन्न कोने करने के लिए । दूसरे शब्दों में, हर किनारे के लिए में बढ़त । ग्राफ होमोमोर्फिज्म कई गुणों को दर्शाता है, जिसमें ग्राफ रंग भरना शामिल है।$h:G\rightarrow G'$$G=(V,E)$$G'=(V',E')$$e=(u,v) \in E$$(h(u),h(v))\in E'$

अब एक ग्राफ समरूपता एक विशेषण समरूपतावाद है, जिसका अर्थ है कि इसका विलोम भी एक समरूपतावाद है। यदि दो ग्राफ आइसोमॉर्फिक हैं, तो वे अनिवार्य रूप से एक ही ग्राफ हैं, बस कोने की रीलेबिलिंग के साथ। यह निर्धारित करने की समस्या कि अगर दो ग्राफ एक से दूसरे में समसामयिक हैं, तो जटिलता सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण समस्या है।

अंत में एक आटोमैर्फिज्म एक ग्राफ से ही आइसोमोर्फिज्म है।