क्या कोई गैर-तुच्छ प्रकार है जो अपने स्वयं के व्युत्पन्न के बराबर है?

एक नियमित प्रकार की व्युत्पत्ति नामक एक लेख इसका प्रकार है वन-होल कॉन्टेक्ट्स से पता चलता है कि एक प्रकार का "जिपर" - इसका एक छेद संदर्भ - प्रकार बीजगणित में भेदभाव नियमों का पालन करता है।

हमारे पास है:

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

हम इस मॉडल का उपयोग यह प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं कि इकाई का व्युत्पन्न शून्य है, कि सूची का व्युत्पन्न दो सूचियों (उपसर्ग समय प्रत्यय) का एक उत्पाद है, और इसी तरह।

एक प्राकृतिक सवाल यह है कि "किस प्रकार का अपना व्युत्पन्न है?" निश्चित रूप से हमारे पास पहले से ही , जो हमें बताता है कि शून्य (निर्जन प्रकार) अपने स्वयं के व्युत्पन्न हैं, लेकिन यह बहुत दिलचस्प नहीं है। यह इस तथ्य का एनालॉग है कि शून्य की व्युत्पन्नता साधारण इन्फिनिटिमल कैलकुलस में शून्य है। $\partial_x 0 \mapsto 0$

क्या समीकरण अन्य समाधान हैं ? विशेष रूप से, क्या बीजगणित में का एनालॉग है? क्यों या क्यों नहीं? $\partial_x T \mapsto T$ $\partial_x e^x = e^x$

type-theory algebra

— मैथ्यू Piziak
स्रोत

दहनशील प्रजातियों के सिद्धांत में है, और वहां यह (परिमित) सेट की प्रजातियों से मेल खाती है, लेकिन यह एक बीजीय डेटा प्रकार के अनुरूप नहीं है।

— डेरेक एल्किंस ने SE

"बराबर" से आपका क्या तात्पर्य है? आपकी दुनिया में,

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$ और

बराबर हैं? कैसे के बारे में

और

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— एंड्रेज बॉयर

@AndrejBauer पूर्व हाँ, बाद नहीं।

आवर्ती उत्पाद के बराबर है

मेरे मन में। उस ने कहा, मेरे दिमाग में टाइप समानता का एक कठोर मॉडल नहीं है, और अगर आपके पास एक मॉडल है, तो आप मुझे इंगित कर सकते हैं कि मुझे इसे पढ़ने में खुशी होगी।

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— मैथ्यू पिज़ियाक

@DerekElkins जैसा कि होता है, मैकब्राइड का एक अन्य लेख, मेरे लिए वामपंथियों के लिए जोकर कहलाता है , जोकर राइट टू प्वाइंट बताते हैं कि, "परिमित संरचनाओं के लिए, [जिपर पर एक ऑपरेटर का पुनरावृत्ति] डेटाटाइप्स की शक्ति श्रृंखला निर्माण को जन्म देता है सीधे, सभी तत्वों को बाएं-से-दाएं ढूंढना .... इस प्रकार दहनशील प्रजातियों की धारणा के साथ एक महत्वपूर्ण संबंध है "। इसलिए मुझे आश्चर्य नहीं होगा अगर इस प्रश्न के संदर्भ में भी कॉम्बीनेटरियल प्रजातियों की कुछ दिलचस्प भूमिका हो।

— मैथ्यू पिज़ियाक

@MatthewPiziak वे निश्चित रूप से करते हैं। ब्रेंट यॉर्गी ने इसके बारे में काफी बात की है । उसकी थीसिस भी देखें ।

— डेरेक एल्किन्स ने एसई

जवाबों:

परिमित मल्टीसेट्स पर विचार करें । उसके तत्वों द्वारा दिया जाता है क्रमपरिवर्तन द्वारा quotiented, ताकि किसी के लिए । ऐसी चीज़ में एक तत्व के लिए एक छेद का संदर्भ क्या है? छेद के लिए एक स्थिति का चयन करने के लिए, हमारे पास होना चाहिए, इसलिए हमें शेष साथ छोड़ दिया गया है $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ तत्व, लेकिन हम कोई भी समझदार नहीं हैं कि वह कहां है। (यह सूचियों के विपरीत है, जहां छेद के लिए एक स्थिति चुनने से एक सूची दो खंडों में कट जाती है, और दूसरी व्युत्पन्न कटौती उन वर्गों में से एक का चयन करती है और एक संपादक में "बिंदु" और "निशान" की तरह इसे आगे काट देती है, लेकिन मैं पचाता हूं। ) एक में एक-छेद संदर्भ $n-1$ इस प्रकार एक $\mathbf{Bag}\:X$ , और हर $\mathbf{Bag}\:X$ प्रकार उत्पन्न हो सकता है। स्थानिक रूप से सोचें तो का व्युत्पन्न $\mathbf{Bag}\:X$ खुद होना चाहिए। $\mathbf{Bag}\:X$

अभी,

बी ए जी एक्स = \underset{n \in एन}{Σ} {एक्स}^{n} / {एस}_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

tuple आकार की एक पसंद , तत्वों के tuple के साथ क्रम क्रमचय समूह तक , हमें वास्तव में की शक्ति श्रृंखला विस्तार देने के । $n$ $n$ $n!$ $e^x$

भोलेपन से, हम आकार का एक सेट द्वारा कंटेनर प्रकार की विशेषताएँ कर सकते हैं और पदों की एक आकार पर निर्भर परिवार : $S$ $P$ ताकि एक कंटेनर को आकार की पसंद और पदों से तत्वों तक का नक्शा दिया जाए। बैग और पसंद के साथ, एक अतिरिक्त मोड़ है।

\underset{रों : एस}{Σ} {एक्स}^{(पी रों)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

एक बैग के "आकार" कुछ है ; "पदों" कर रहे हैं , आकार की परिमित सेट से क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन तत्वों को पदों से नक्शा होना चाहिए । एक बैग तक पहुंचने का कोई रास्ता नहीं होना चाहिए जो इसके तत्वों की व्यवस्था का "पता लगाता है"। $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

ईस्ट मिडलैंड्स कंटेनर कंसोर्टियम ने प्रोग्राम निर्माण 2004 के गणित के लिए क्वोटिएंट प्रकारों के साथ पॉलीमॉर्फिक कार्यक्रमों के निर्माण में इस तरह की संरचनाओं के बारे में लिखा था । कोटिएंट कंटेनर हमारे आकार को "पदों" और "पदों" द्वारा संरचनाओं के हमारे सामान्य विश्लेषण का विस्तार करते हैं, जिससे एक ऑटोरोफ़िज़्म समूह को पदों पर कार्य करने की अनुमति मिलती है। , हमें इस तरह के अव्यवस्थित जोड़े के रूप में ढांचे पर विचार करने के लिए अनुमति , व्युत्पन्न के साथ । एक unordered -tuple द्वारा दिया जाता है , और इसका व्युत्पन्न (जब एक अव्यवस्थित $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ टपल)। बैग इन का योग लेते हैं। हम चक्रीय tuples, साथ इसी तरह के खेल खेल सकते हैं , जहां छेद वाले नाखूनों के लिए एक स्थान को रोटेशन के लिए एक स्थान चुनना, छोड़कर , बिना किसी क्रम के एक छोटा एक tuple। $n$ $X^n/n$ $X^{n-1}$

"टाइप डिवीजन" सामान्य रूप से समझदारी के लिए कठिन है, लेकिन क्रमपरिवर्तन समूहों (जैसा कि कॉम्बिनेटोरियल प्रजाति में होता है) के अनुसार भाग लेने से समझ में आता है, और इसके साथ खेलने में मज़ा आता है। (व्यायाम: संख्याओं के बिना क्रम वाली जोड़े के लिए एक संरचनात्मक प्रेरण सिद्धांत तैयार, , और इसका इस्तेमाल करते हैं इसके अलावा और गुणा तो लागू करने के लिए है कि वे निर्माण से कर रहे विनिमेय।) $\mathbb{N}^2/2$

कंटेनरों के "आकार-और-स्थान" के लक्षण वर्णन न तो सुंदरता पर प्रतिबंध लगाते हैं। कंबाइनटेरियल प्रजातियां आकार के बजाय आकार द्वारा व्यवस्थित होती हैं , जो प्रत्येक घातांक के लिए गुणांक में गणना करने और गणना करने के लिए होती हैं। क्वांटिएंट-कंटेनर-के साथ परिमित-स्थिति-सेट और दहनशील प्रजातियां मूल रूप से एक ही पदार्थ पर अलग-अलग स्पिन होती हैं।

— pigworker
स्रोत

मूल लेखक प्रकट होता है! हमें इस सुंदर परिणाम को दिखाने के लिए रुकने के लिए धन्यवाद।

— मैथ्यू पिज़ियाक

कैसे अनंत राशि के बारे में व्युत्पन्न है जो संबद्धता और रकम की commutativity द्वारा मूल के बराबर है।

\underset{मैं, जे \in एन}{Σ} {एक्स}^{मैं} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{i, j \in N} \underset{i + 1}{\underset{⏟}{X^{i} + \dots + X^{i}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

इसके अलावा, अनंत राशि के बराबर है ,) तो हम व्युत्पन्न सूचियों का उपयोग कर की गणना के लिए कोशिश कर सकते। $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— लेडी बाउर
स्रोत

एक सूची का व्युत्पन्न सूचियों की एक जोड़ी है (उपसर्ग समय प्रत्यय)। योग नियम से, सूची की सूची का व्युत्पन्न सूची जोड़े की एक सूची है। सूचियों की सूची के लिए सूची जोड़े की एक सूची आइसोमॉर्फिक है?

— मैथ्यू पिज़ियाक

@MatthewPiziak शायद यह के रूप में पहली तैयार करने के बारे में सोचना आसान है

। व्युत्पन्न ले रहा है, हम पाते हैं

(के लिए स्पष्ट अर्थ के साथ

)। अब, हम केवल जरूरत

। मेरे लिए, यह एक बिट करने के लिए (बहुत अनौपचारिक) समान दिखता है

, बिजली श्रृंखला के गुणांक को छोड़कर

चुना जाता है

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$ (यानी,

), तो वे संतुष्ट है कि कर सकते हैं

एक ऐसी दुनिया में विभाजन के बिना।

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— चि

@MatthewPiziak उफ़, मैंने

बजाय

लिखा है , लेकिन मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है कि मेरा क्या मतलब है।

n

$n$

i

$i$

— चि