Ws के साथ कैसे कर सकते हैं | w | = | एस | और w # s नहीं है, जबकि संदर्भ-मुक्त होना चाहिए?

Question

क्यों (अगर ऐसा है) $\#$ दोनों भाषाओं के बीच अंतर कर रहा है?

मान लीजिए:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

यहाँ एक प्रमाण और एक व्याकरण का प्रतिनिधित्व है$L$ के रूप में $CFL$

और नीचे Im के लिए एक सबूत जोड़ने $L_{\#} \notin CFL$ :

करता है $\#$हस्ताक्षर वास्तव में एक फर्क पड़ता है? यदि हां, तो ऐसा क्यों है? और यदि नहीं, तो कौन सा प्रमाण गलत है और कहाँ है?

सिद्ध करे कि $L_{\#} \notin CFL$ :

विरोधाभास के माध्यम से मान लें कि $L ∈ CFL$। चलो$p > 0$ के लिए पंप स्थिर हो $L$ संदर्भ-मुक्त भाषाओं के लिए पम्पिंग लेम्मा द्वारा गारंटी। हम शब्द पर विचार करते हैं $s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$ कहाँ पे $m=p!+p$ इसलिए $s ∈ L$। जबसे$|s| > p$पंपिंग लेम्मा के अनुसार, एक प्रतिनिधित्व मौजूद है $s = uvxyz$, ऐसा है कि $|vy| > 0$, $|vxy| ≤ p$ , तथा $uv^{j}xy^{j} z ∈ L$ प्रत्येक के लिए $j ≥ 0$।

हमें मामलों द्वारा विरोधाभास मिलता है:

• अगर $v$ या $y$ शामिल $\#$: फिर के लिए $i = 0$, हमें वह मिलता है $uxz$ शामिल नहीं है $\#$, इसलिए $uxz \notin L$ विरोध में।

• अगर दोनों $v$ तथा $y$ के लिए छोड़ दिया जाता है $\#$: फिर के लिए $i = 0$, हमें वह मिलता है $uxz$ रूप का है $w\#x$, कहाँ पे $|w| < |x|$, इसलिए $uxz \notin L$।

• अगर दोनों $v$ तथा $y$ के लिए सही हैं $\#$: पिछले मामले के समान।

• अगर $v$ के लिए छोड़ दिया है $\#$, $y$ यह सही है, और $|v| < |y|$: फिर के लिए $i = 0$, हमें वह मिलता है $uxz$ रूप का है $w\#x$, कहाँ पे $|w| > |x|$, इसलिए $uxz \notin L$।

• अगर $v$ के लिए छोड़ दिया है $\#$, $y$ यह सही है, और $|v| > |y|$: पिछले मामले के समान।

• अगर $v$ के लिए छोड़ दिया है $\#$, $y$ यह सही है, और $|v| = |y|$: यह सबसे दिलचस्प मामला है। जबसे$|vxy| ≤ p$, $v$ में समाहित होना चाहिए $1^{p}$ का हिस्सा $s$, तथा $y$ में $0^{p}$अंश। तो यह है कि धारण करता है$v = 1^{k}$ तथा $y = 0^{k}$ समान हेतु $1 ≤ k ≤ p$ (वास्तव में, यह होना चाहिए कि $k < p/2$)। प्रत्येक के लिए$j ≥ 0$, यह धारण करता है $uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$, तो अगर ऐसा होता है $m = p + j · k$, तो यह है कि रखती है $uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$विरोध में। इसे प्राप्त करने के लिए, हमें लेना चाहिए$j = (m-p)/k$, जो केवल तभी मान्य है $m − p$ द्वारा विभाज्य है $k$। स्मरण करो कि हमने चुना$m = p + p!$, इसलिए $m − p = p!$, तथा $p!$ किसी के द्वारा विभाज्य है $1 ≤ k ≤ p$ जैसा चाहता था।

Answer 1

आपका प्रमाण सही है, और मैं गलत था। मुझे नाख़ून मारने में कुछ समय लगा जहाँ मेरी उलझन थी, लेकिन युवल की मदद से मुझे लगता है कि मुझे मिल गया।

आइए तीन भाषाओं पर विचार करें

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

जैसा कि हमने यहां देखा है ,$L_=$संदर्भ-मुक्त है। चाल, व्याकरण में, "दाईं ओर" प्रतीकों को उत्पन्न करने के लिए है, लेकिन उन्हें "बाईं ओर" बाद में (या आसपास का दूसरा तरीका) गिनें, सुनिश्चित करें कि मेल खाते पदों पर बेमेल प्रतीक दिखाई देते हैं। लंबाई की स्थिति तुच्छ है क्योंकि यह लंबाई तक भी कम हो जाती है।
आप स्थिति से मिलान करने के लिए स्टैक का उपयोग करके एक समान विचार के साथ एक एनपीडीए का निर्माण कर सकते हैं।

$L_\#$ संदर्भ-मुक्त भी है । सबूत और भी सरल है: बेमेल प्रतीक शुरुआत के सम्मान से एक ही दूरी पर दिखाई देते हैं। विभाजक। असमान लंबाई अलग से जाँच की जा सकती है; गैर-निर्धारणवाद दो विकल्पों के बीच "चुनता है"।

अब, जैसा कि आप दिखाते हैं, $L_{=\#}$है नहीं विषय से मुक्त। यहाँ अन्य दो भाषाओं के प्रमाण टूट जाते हैं।

1. के लिए व्याकरण में $L_=$, अगर हमें बीच में एक विभाजक उत्पन्न करना है तो हम "बाएं" से "दाईं ओर" प्रतीकों को "पुन: असाइन" नहीं कर सकते।
2. इसके बजाय "स्वीकार करें कि क्या लंबाई असमान या बेमेल है" हमें "स्वीकार करना होगा कि लंबाई समान और बेमेल है"। गैर-नियतत्ववाद हमारी मदद नहीं कर सकता है और !

तो यह क्या है, सहज रूप से, यह है कि फार्म की शर्तों "$x \neq y$" तथा "$|x| = |y|$"दोनों" संदर्भ-मुक्त "इस अर्थ में हैं कि उन्हें एक स्टैक के साथ चेक किया जा सकता है, लेकिन परिमित नियंत्रण का उपयोग नहीं कर रहा है। इसलिए, एक पीडीए एक कर सकता है लेकिन दोनों नहीं।

के लिए पी.डी.ए. $L_=$"धोखा" क्योंकि यह वास्तव में इन स्थितियों की जांच नहीं करता है$x$ तथा $y$; यह एक अलग तरीके से शब्द को विभाजित करता है। यदि आपके पास विभाजक है तो यह संभव नहीं है।

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परिशिष्ट: मैं निर्भीकता ने दावा किया है कि$L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$क्योंकि सीएफएल व्युत्क्रम समरूपता के खिलाफ बंद है। जबकि यह सच है$f(L_{=\#}) = L_=$ साथ में $f$ इसके अलावा पहचान को हटा देता है $\#$, यह प्रासंगिक नहीं है। $f^{-1}(L_=) = L_\#$; कुछ भी नहीं कहा जा सकता है$L_{=\#}$।

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परिशिष्ट II: ध्यान दें$L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$तुच्छ संदर्भ-मुक्त है। इसलिए, के साथ$L \cap L_\# = L_{=\#}$ चौराहे के खिलाफ बंद नहीं होने के लिए हमारे पास एक अच्छा उदाहरण है।