एक परिमित राज्य ऑटोमेटन की भाषा के अनन्तता के लिए शर्त

Question

एक प्रमेय है जो कहता है कि:

होने एक परिमित अवस्था automaton को देखते हुए , राज्यों अगर वहाँ एक स्ट्रिंग मौजूद जिसकी लंबाई संतुष्ट तो द्वारा स्वीकार की गई भाषा अनंत है।$n$$w$$n \leq |w| \leq 2n-1$

मुझे समझ में आया बाधा , लेकिन मुझे समझ में नहीं आता कि बाधा क्यों है।$|w| \geq n$$|w| \leq 2n-1$

Answer 1

सबसे खराब स्थिति में, आपका NFA इस तरह दिख सकता है:

सबसे छोटा जिसके लिए इसे लूप की गारंटी दी गई है (इसे अनंत भाषा मानने के लिए मजबूर किया गया है) का आकार ।$w$$2n-1$

Comments

जब मैं q0 से शुरू करता हूं और उसके बाद जब मैं q0 पर वापस आता हूं, तो इसका मतलब है कि मशीन में एक चक्र है। क्या यह सबसे बुरी बात नहीं है, इस मामले में हम फिर से अंतिम चरण में क्यों जा रहे हैं? जहाँ तक मैं इस आंकड़े से समझता हूँ, कि हम इस लूप को एक बार पंप करेंगे और फिर अंतिम चरण में जाएंगे, तो इसका मतलब है एक बार जब हम अंतिम चरण में प्रवेश करते हैं तो हम मान रहे हैं कि यह मेरा तार नहीं है क्योंकि यह किसी अन्य स्थिति में वापस चला गया है, लेकिन एक बार यह फिर से अंतिम चरण में आ जाता है, तो हमें यकीन है कि यह हमारा स्ट्रिंग है क्योंकि कुछ लूप है पंप किया गया है?

— राहुल शर्मा

हम ऑटोमेटन के बारे में कुछ साबित करने की कोशिश कर रहे हैं , अर्थात्, यह एक अनंत भाषा को स्वीकार करता है। जिस तरह से प्रमाण तैयार किया जाता है, उसमें एक स्ट्रिंग का अनुमान लगाया जाता है, जिसका आकार एक निश्चित अंतराल के भीतर माना जाता है। जाहिर है, अगर ऑटोमेटन में लूप है, तो स्ट्रिंग मौजूद है। क्या होता है कि अगर है इस अंतराल के अंदर खोजने के लिए असंभव है, तो मशीन नहीं चित्र में से एक की तरह हो सकता है। या तो इसकी कोई लूप नहीं है, या इसकी कोई अंतिम स्थिति नहीं है। $w$$w$$w$

— आंद्रे सूजा लेमोस

मैं आपकी बात समझता हूं। मैं केवल अंतराल पर ऊपरी बाउंड को समझने की कोशिश कर रहा हूं कि यह 2n-1 क्यों है और 2n-x क्यों नहीं है (x 1 को छोड़कर कुछ भी हो सकता है)। ऊपर दिए गए आंकड़े में हम कह सकते हैं कि लूप क्यू है। -q1 .... qn-q1 .... qn, सही (अधिकतम लूप)? लेकिन जब मैं q0 फिर से (q0 ... aq, q0), इसका मतलब यह नहीं है कि एक लूप है इसलिए अधिकतम n होना चाहिए, क्यों हम n-1 को n में जोड़ रहे हैं (या हम फिर से अंतिम स्थिति में क्यों जा रहे हैं)। मुझे इसे प्राप्त करने में कुछ कठिन समय हो रहा है :(?) अधिकतम लूप q0 हो सकता है।, q1, q2। ..qn, qn-1, qn-1..q0, कुछ ऐसा ही?

— rahul sharma

ऊपरी बाउंड क्योंकि यह उससे भी बदतर नहीं है। से छोटा है , और मैंने आपको केवल एक automaton दिखाया है, जिसे चरणों की आवश्यकता है । ऐसा कोई नहीं है जिसे और अधिक (और काम करने की आवश्यकता है), लेकिन एक ऐसा है जिसे इस राशि की आवश्यकता है। $2n-1$$2n-x$$2n-1$$2n-1$

— एंड्रे सूजा लेमोस

समझ गया अब। बस एक छोटा सा शक। मेरी मशीन में 4 राज्य हैं। और मैंने स्ट्रिंग एबीसी को पढ़ा और मैं अंतिम स्थिति में पहुंच गया और फिर मैंने डी पढ़ा और वापस प्रारंभिक अवस्था में आ गया, और फिर फिर से अंतिम स्थिति में चला गया, मेरा तार abcdabc हो जाएगा। मैं इसे पम्पिंग लेम्मा में कैसे तोड़ सकता हूं, और y ^ i, जहां i = 1 प्राप्त कर सकता हूं, यह दिखाने के लिए कि y को एक बार पंप किया गया है।

— राहुल शर्मा

Answer 2

अतिरिक्त स्थिति आपको एक सीधे-आगे की एल्गोरिथ्म लिखने की अनुमति देती है - इस अंतराल में लंबाई के साथ सभी तारों की जांच करें - स्वीकृत भाषा के निर्णय लेने में (इन) के लिए। इस प्रकार, आपको एक प्रमाण मिलता है कि यह संपत्ति निर्णायक है (जो कि सुपर-रेगुलर पावर वाले अधिकांश ऑटोमेटा मॉडल के लिए नहीं है)।

Answer 3

पूर्ण प्रमेय एक निहितार्थ के बजाय एक समानता बताता है :

एक द्वारा स्वीकार किए जाते भाषा -state NFA अनंत है यदि और केवल यदि यह एक शब्द है जिसका आकार संतुष्ट ।$n$$w$$n \leq |w| \leq 2n-1$

अतिरिक्त स्थिति इस प्रकार प्रमेय को मजबूत बनाता है ।$|w| \leq 2n-1$