सुपर ब्रह्मांड क्या है?

Question

मैं टाइप थ्योरी में इस बहुचर्चित पेपर को यूनिवर्स में पढ़ रहा हूं । पहले तो मुझे Setωएग्दा में कुछ इसी तरह की उम्मीद थी , लेकिन यह पता चला कि यह और भी सामान्य है। यह एक सादा आगमनात्मक-पुनरावर्ती प्रकार से एक बांधने की मशीन ( और समान ) से ब्रह्मांड निर्माण को सामान्य बनाने के लिए लगता है । मुख्य प्रश्न जो मैं पूछना चाहता हूं, इसके पीछे क्या इरादा है?$\Pi$$\Sigma$

यहाँ कुछ इदरीस कोड को सामान्य टार्स्की शैली के ब्रह्मांडों को परिभाषित किया गया है:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

मैं इसे कुछ करने की कोशिश कर रहा हूँ

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

क्या होना ???चाहिए? कागज के लेखक ने कहा कि ब्रह्मांड को सेट फॉर्मर्स के तहत बंद किया जाना चाहिए।

संपादित करें: मुझे लगता ???है कि बस b...

Comments

क्या आप अधिक-से-अधिक Natब्रह्मांड की कोशिश कर रहे हैं ? यह स्पष्ट नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं।

— बाउर

कागज ऐसा लगता है।

— ।

मुझे पता है कि कागज में क्या है। आप क्या करने की कोशिश कर रहे हैं? क्या पूछते हैं?

— एंड्रेज बॉयर

खैर ... मैं एक विचार के साथ आया था, जिसका उपयोग करना होगा Setω, इसलिए मैंने सुपर ब्रह्मांडों के बारे में कागजात की तलाश की कि क्या मैं कुछ सीख सकता हूं। इसके बारे में वास्तव में कुछ कागजात हैं, और यह कागज मुख्य है। इसे समझने के लिए मैंने खुद इसे लागू करने की कोशिश की। हालाँकि अब मुझे नहीं लगता कि यह मेरे नए विचार को अंतर्दृष्टि प्रदान करेगा, फिर भी मैं इसे समझना चाहता हूं।

— ।

मैं एक बांधने की मशीन के निर्माण के सामान्यीकरण के इरादे को जानना चाहता हूं।

— ।

Answer 1

एक ब्रह्मांड ऑपरेटर और उसके नीचे बंद एक सुपर-ब्रह्मांड रखने के पीछे एक उद्देश्य, सेट सिद्धांत से ज्ञात बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों का एक प्रकार-सिद्धांतिक संस्करण देना है । एक दुर्गम कार्डिनल एक प्रकार-प्रमेय ब्रह्मांड की तरह है। कार्डिनल का अगला दिलचस्प प्रकार एक महलो कार्डिनल है । सहज रूप से बोलते हुए, एक महलो कार्डिनल वह है जिसके नीचे "दुर्गम" बहुत सारे दुर्गम कार्डिनल हैं। यह टाइप-थ्योरिटिक शब्दों में क्या होगा? यह ब्रह्मांड के कुछ प्रकार होना चाहिए$U$इसमें बहुत सारे और बहुत सारे ब्रह्मांड हैं। जब वह सुपर-ब्रह्मांड पर विचार करता है तो यह पामग्रेन को संबोधित करता है।

कई ब्रह्मांड होने का एक अधिक व्यावहारिक पक्ष भी है। सभी प्रकार के उद्देश्यों के लिए, प्रकार के सिद्धांत में आगमनात्मक-पुनरावर्ती प्रकार होना उपयोगी है। लेकिन वे हमें नए ब्रह्मांडों को परिभाषित करने देते हैं, तो सवाल यह है कि कितने हैं ? सुपर-ब्रह्मांड के लिए तुरंत शूटिंग करने के बजाय, पामग्रीन क्या कर रहा है, इसके बारे में महसूस करने के लिए, Agda (प्रेरण-पुनरावर्तन का उपयोग करके) में निर्माण के निम्नलिखित अनुक्रम का प्रयास करें:

1. एक ब्रह्मांड को परिभाषित करें $U_0$, युक्त (का एक कोड) $\mathbb{N}$ और के तहत बंद कर दिया $\Pi$ तथा $\Sigma$। इस तरह का ब्रह्मांड एक दुर्गम कार्डिनल से मेल खाता है ।

2. एक ऑपरेटर को परिभाषित करें $U$ जो किसी भी प्रकार का हो $A$ और एक ब्रह्मांड को परिभाषित करता है जिसमें (का एक कोड) शामिल है $A$ और के तहत बंद है $\Pi$ तथा $\Sigma$। ब्रह्मांड ऑपरेटर का यह प्रकार ग्रोथेंडेक के ब्रह्मांडों के स्वयंसिद्ध के समान है । हम बार-बार आवेदन करके कितने ब्रह्मांड प्राप्त कर सकते हैं$U$, से शुरू $\mathbb{N}$?

3. और भी अधिक ब्रह्मांड प्राप्त करने के लिए, हम एक सुपर-ब्रह्माण्ड का अनुकरण करते हैं $V$ जिसमें बहुत सारे ब्रह्मांड शामिल हैं, निम्नानुसार हैं:

   • $V$ शामिल $\mathbb{N}$, और के तहत बंद है $\Pi$ तथा $\Sigma$
   • एक प्रकार का (दिया हुआ) कोड $A : V$ और एक परिवार $B : A \to V$, एक ब्रह्मांड है $U$, जो एक तत्व है $V$, इसमें सभी प्रकार के परिवार शामिल हैं $B$, और के तहत बंद है $\Pi$ तथा $\Sigma$।

   कितने ब्रह्मांड करता है $V$शामिल? ध्यान दें कि हम एक परिवार प्राप्त कर सकते हैं$B : \mathbb{N} \to V$ ऐसा है कि $B(n)$ है $n$-तो ब्रह्माण्ड, और इसी तरह $V$ एक ब्रह्मांड होना चाहिए $U_\omega$जिसमें ये सब शामिल हैं। और यह सिर्फ शुरुआत है!

Comments

क्या आप पहचानते हैं? $\mathbb{N}$ब्रह्मांड में पारंपरिक मेटा-सिद्धांत सूचकांक स्तर के साथ?

— ।

मुझे लगता है कि उत्तर वास्तव में "हां" है

— '

मैंने गणितीय संकेतन का उपयोग किया। ASCII में मैं इसके natबजाय लिखूंगा$\mathbb{N}$, इसलिए यह मेटा-सिद्धांत नहीं है, यह सिर्फ प्राकृतिक संख्याओं का प्रकार है। यह इतना भी मायने नहीं रखता है कि आपके पास है nat, मैंने इसे एक आधार प्रकार के रूप में उपयोग किया है जिससे हम आरंभ कर सकते हैं। यदि मैंने उपयोग किया है bool, तो आप ठीक भी होंगे (सिवाय इसके कि आपको अनंत प्रकारों को प्राप्त करने के लिए एक ब्रह्मांड उच्चतर जाना होगा, क्योंकि पहले ब्रह्मांड में केवल सीमित प्रकार के boolउपयोग से निर्मित होगा$\Pi$ तथा $\Sigma$)।

— बाउर