एकरुपिक ग्राफ में कितने किनारे हो सकते हैं?

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एक यूनीपैथिक ग्राफ एक निर्देशित ग्राफ है, जिसमें किसी एक शीर्ष से किसी भी अन्य शीर्ष पर जाने के लिए सबसे सरल मार्ग है।

यूनीपैथिक ग्राफ में चक्र हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक दोहरी लिंक की गई सूची (एक परिपत्र नहीं!) एक यूनीपैथिक ग्राफ है; यदि सूची में तत्व हैं, तो ग्राफ़ में की लंबाई 2 है, कुल । $n$ $n-1$ $2(n-1)$

वर्टिकल के साथ एक समरूप ग्राफ में किनारों की अधिकतम संख्या क्या है ? एक असममित बाउंड क्या करेगा (जैसे या )। $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{एक भारित यूनिपाठिक ग्राफ में सबसे छोटे रास्तों से प्रेरित होकर ; में मेरी सबूत , मैं शुरू में दावा है कि किनारों की संख्या था चाहता था लेकिन तब एहसास हुआ कि चक्र की संख्या बाउंडिंग पर्याप्त था। $O(n)$}

graphs combinatorics

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

अच्छा प्रश्न। हमें आपकी निचली सीमा या मेरी ऊपरी सीमा :) को बेहतर बनाने का प्रयास करना चाहिए।

— RB

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एक यूनीपैथिक ग्राफ में किनारे हो सकते हैं। एक प्रसिद्ध प्रकार का ग्राफ़ है जो एकतरफा है और इसमें 2/4 किनारे हैं। $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

एक पूर्ण ग्राफ पर विचार करें, जिसमें उन्मुख किनारों । यह ग्राफ यूनीपैथिक है और इसका कोई चक्र नहीं है: इसके सभी रास्तों की लंबाई । इसमें वर्टीकल और किनारे हैं। $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(अनुवर्ती प्रश्न: क्या यह अनुपात अधिकतम है? शायद नहीं, लेकिन मेरे पास दूसरा उदाहरण नहीं है। यह उदाहरण इस मायने में अधिकतम है कि मौजूदा नोड्स के बीच आप जो भी एक किनारे जोड़ते हैं, वह असंगत संपत्ति को तोड़ देगा।)}

— गिल्स 'SO- बुराई होना बंद करो'
स्रोत

"कोई भी एक किनारा जिसे आप मौजूदा नोड्स के बीच जोड़ते हैं, वह एकतरफा संपत्ति को तोड़ देगा" संपत्ति को कैसे किनारे को जोड़ना होगा ?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— मिचस

@ मिचस

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— गाइल्स का SO- बुराई होना बंद करें '

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मुझे लगता है कि मेरे मन किसी भी तरह unipathic उस दिन :) के रूप में maximality के लिए, अनुपात 1/4 करने के लिए बड़े के लिए जा सकते हैं था

, लेकिन के लिए

दोगुना लिंक्ड सूची की तुलना में अधिक किनारों है

।

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— मिचस

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मुझे नहीं पता है कि वहाँ से अधिक पर एक unipathic ग्राफ है किनारों, लेकिन यहाँ एक तर्क है किसे अधिक नहीं है $\frac{n^2}{4}$ किनारों संभव हैं: $\frac{n^2}{2}+3$

विरोधाभास के अनुसार मान लें कि एक यूनीपैथिक ग्राफ है जैसे कि $G=(V,E)$ । $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

डब्बों में सिद्धांत रूप से, वहाँ मौजूद ऐसी है कि $v\in V$

घ_{में} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

निरूपित $U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

$x\in V\setminus \{v\}$

\exists {यू}_{1} \neq {यू}_{2} \in यू : (एक्स, {यू}_{1}), (एक्स, {यू}_{2}) \in इ

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| इ \cap (वी \times यू) | \leq 2 | यू |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

इसलिए की संख्या का औसत इन-डिग्री अधिकतम 2 है, इसलिए: $U$

| इ | = | इ \cap (वी \times यू) | + | इ \cap (वी \times (वी ∖ यू)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | यू | + n | वी ∖ यू | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— आरबी
स्रोत