आसन्न मैट्रिसेस के बहुपद का निरीक्षण करके ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के लिए एक भोले दृष्टिकोण के बारे में साहित्य

मैं ग्राफ आइसोमोर्फिज्म के दृष्टिकोण का वर्णन करता हूं जिसमें संभवतः झूठी सकारात्मकता है, और मैं उत्सुक हूं कि क्या साहित्य यह दर्शाता है कि यह काम नहीं करता है।

दो निकटता मैट्रिक्स को देखते हुए $G, H$ , समाकृतिकता के लिए जाँच का एक बेशक अनुभवहीन विधि प्रत्येक पंक्ति के लिए जांच करने के लिए है $u$ के $G$ , वहाँ एक पंक्ति है $v$ के $G$ जो पंक्ति का क्रमपरिवर्तन है $u$ , द्वारा सूचित किया जाता । । थोड़ा और सख्त सवाल है, क्या सभी पंक्तियों के लिए "स्थानीय समरूपता" है जिसके लिए । एक स्थानीय आइसोमोर्फिज्म का निर्माण बहुपद समय में एक मैट्रिक्स साथ ; फिर और $G[u] \sim H[v]$ $\pi$ $G[u] \sim H[\pi(u)]$ $n\times n$ $A$ $A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$ $G$ $H$ स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फ़िक iff में एक चक्र कवर है, और प्रत्येक चक्र कवर एक स्थानीय समरूपता है। $A$

सभी नियमित रेखांकन इस विधि को मूर्ख बनाते हैं, जाहिर है, इसलिए थोड़ा कम भोली दृष्टिकोण शक्तियों की गणना करने के लिए है की और स्थानीय समरूपता के लिए उनकी जांच, इस तथ्य का फायदा उठाते हुए। आप की स्थापना द्वारा कई मैट्रिक्स है कि जब आप पाते हैं किसी भी शक्ति ऐसी है कि , और केवल अंत में चक्र के कवर के लिए जाँच। एक बहुत कम भोली दृष्टिकोण बहुपद का एक सेट खोजने के लिए है, वास्तव में अंकगणित सर्किट का एक सेट है, और करते समय हम साथ किसी भी बहुपद पाते हैं । $G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$ $A[u,v] = 0$ $G^k[u]\not\sim H^k[v]$ $A[u,v]=0$ $p$ $p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

यह मुझे ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए एक अविश्वसनीय रूप से भोली दृष्टिकोण की तरह लगता है, इसलिए मुझे यकीन है कि किसी ने पहले ही इसकी जांच की है और एक प्रमेय साबित किया है जैसे

Thm असीम रूप से कई लिए nonisomorphic matrices और एक क्रमचय जैसे कि प्रत्येक बहुपद , और लिए स्थानीय रूप से isomorphic उस permutation: । $n$ $n\times n$ $G, H$ $\pi$ $p$ $p(G)$ $p(H)$ $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

प्रश्न: क्या ऐसी कोई प्रमेय है? मैंने साहित्य में देखा है और इसे पा नहीं सकता।

यदि डिग्री पर एक बाउंड है जो में बहुपद है, तो प्रत्येक दो नॉनसोमोर्फिक मैट्रिसेस के लिए, स्थानीय आइसोमॉर्फिज्म को गणना करके परिष्कृत किया जाता है। , या यदि बहुपद का एक आसानी से गणना करने योग्य परिवार , प्रत्येक के पास बहुपद रूप से लंबाई है, लेकिन संभवतः घातीय डिग्री है, तो हमारे पास ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए एक P एल्गोरिथ्म है। यदि इस तरह के बहुपद (या अंकगणित सर्किट) का अनुमान लगाना आसान है, तो हमारे पास एक सीओआरपी एल्गोरिदम है। यदि हमेशा गैर स्थानीय समरूपता को देखने के लिए अंकगणित सर्किट का एक (परिवार) मौजूद होता है, तो यह एक कोएनपी एल्गोरिथ्म देता है । $k$ $n$ $G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$ $p_1, \ldots ,p_k$

ध्यान दें कि हम इस समस्या से बच सकते हैं कि उच्च-शक्ति वाले मेट्रिसेस की प्रविष्टियाँ छोटे क्षेत्रों में बहुपदों की गणना करके बहुत बड़ी हो जाती हैं, उदाहरण के लिए उन्हें छोटे-छोटे अपराधों की गणना करके। एक CoNP एल्गोरिथ्म में, नीतिवचन इन primes प्रदान कर सकते हैं।

reference-request graph-isomorphism

— लियुवे विन्खुइजेन
स्रोत

हां, ऐसा प्रमेय है, कम या ज्यादा। यह मूल रूप से बताता है कि k- आयामी वेसफिइलर-लेहमन प्रक्रिया ग्राफ आइसोमॉर्फिज्म परीक्षण के सभी ज्ञात कॉम्बीनेटरियल दृष्टिकोणों को (यानी हावी है) रखती है। (आपके ठोस प्रस्ताव को 2-आयामी वेसफाइलर-लेहमन प्रक्रिया द्वारा सब्सक्राइब किया जाना चाहिए, अगर मैं गलत नहीं हूँ।) प्रत्येक निश्चित k के लिए, k- आयामी वेइस्फ़ाइलर-लेहमन प्रक्रिया के लिए कैटेक्सैम का एक वर्ग है जिसे कै-फ़्यूरर के रूप में जाना जाता है। -इम्मरमैन निर्माण।

मैंने पहली बार वफ़ेइलेर-लेहमन प्रक्रिया की मूल बातें और कै-फ़्यूरर-इम्मरमेन निर्माण से सीखा

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

वहाँ वर्णित की तुलना में वेसफिइलर-लेहमैन प्रक्रिया के बारे में जानने के लिए बहुत कुछ है, लेकिन कम से कम कै-फ़्यूरर-इम्मरमैन निर्माण का उपचार आपके उद्देश्य के लिए पूर्ण और पर्याप्त है। विक्रमन अरविंद द्वारा " द वेफिसिलर-लेहमन प्रक्रिया ", विषय के लिए एक निमंत्रण के रूप में एक हालिया संक्षिप्त निबंध है।

शायद मेरे उत्तर को दूर करने के लिए महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि यदि आप एक विशुद्ध रूप से कॉम्बीनेटरियल आइसोमोर्फिज्म परीक्षण विधि (जैसे कि आपके प्रश्न में वर्णित है) पाएंगे, जो कि के-डायमेंशनल डिफिसिलर-लेहमन प्रक्रिया द्वारा सब्सक्राइब नहीं किया गया है (यानी प्रभुत्व) तो यह अपने आप में एक सफलता होगी, इस बात से स्वतंत्र कि क्या विधि वास्तव में उपयोगी होगी।

— थॉमस क्लिम्पेल
स्रोत