सीएफजी कितने शक्तिशाली हैं जो अनंत नियमों की अनुमति देते हैं?

Question

मैं हाल ही में सोच रहा था कि क्या होगा यदि हम संदर्भ-मुक्त व्याकरणों को अनंत नियमों की संख्या की अनुमति देंगे। जाहिर है, अगर हम नियमों के ऐसे अनंत सेटों की अनुमति देंगे, तो हर भाषा$L$ कुछ वर्णमाला के ऊपर $\Sigma$ एक CFG द्वारा वर्णित किया जा सकता है $G = (\{S\},\Sigma,R,S)$ साथ में $R = \{S \rightarrow w \mid w \in L \}$। लेकिन अगर हम प्रतिबंधित करते हैं तो क्या होगा$R$ नियमों के ऐसे सेट जो संदर्भ मुक्त व्याकरण द्वारा बनाए जा सकते हैं?

उस उद्देश्य के लिए, गैर-संवैधानिकों का एक सेट दिया गया $N$ और टर्मिनलों $\Sigma$आइए हम नियमों को तत्वों के रूप में देखें $N \times (N\cup \Sigma )^*$, लेकिन वर्णमाला पर तार के रूप में $R_{(N,\Sigma)} = N \cup \Sigma \cup \{\rightarrow\}$। अब मेरा प्रश्न यह है कि अगर हम एक अनंत नियम को परिभाषित करें तो सीएफजी टपल हो सकता है$G = (N, \Sigma, R, S)$ कहाँ पे

• $N$ nonterminals का एक सीमित सेट है
• $\Sigma$ एक परिमित वर्णमाला है
• $R$ प्रपत्र के नियमों का एक समूह है $A \rightarrow w$ साथ में $A \in N$, $w \in (N \cup \Sigma)^*$ ऐसा कुछ सीएफजी है $G'$ ऊपर $R_{(N,\Sigma)}$ साथ में $R = L(G')$
• $S \in N$ प्रारंभिक नॉनटर्मिनल है

और हम परिभाषित करते हैं $L(G)$ इस तरह के अनंत नियम CFG के लिए, जैसे कि CFG के लिए किया जाता है, अनंत नियम CFG द्वारा उत्पन्न भाषाओं के वर्ग के बीच क्या संबंध है (चलो उस वर्ग को कहते हैं) $irCF$), संदर्भ-मुक्त भाषाओं का वर्ग $CF$ और वर्ग $RE$?

जाहिर है, हमारे पास है $CF \subseteq irCF \subseteq RE$, लेकिन है $irCF$ इन वर्गों (या कुछ अन्य वर्ग) में से एक के बराबर?

Comments

en.m.wikipedia.org/wiki/Van_Wijngaarden_grammar

— rici

Answer 1

मान लीजिए कि हम मेटाग्राम लेते हैं $G'$और इसे दो-प्रतीक उपसर्गों से जोड़ते हैं। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए$A \in N$ निर्माण $G'_A$के बाएँ व्युत्पन्न $G'$ तार पर $A \to$। (परिमित) मेटाग्रामर्स के सेट (परिमित) का उत्पादन करेगा, कुछ के लिए सभी (संभवतः अनंत) उत्पादन करने वाले प्रत्येक$A \in N$।

अब, व्याकरण का निर्माण करें $G''$, जिनके नियम व्याकरण में सभी नियमों के (टकराव से बचने के लिए गैर-टर्मिनलों के साथ), प्रत्येक लिए के साथ , जहां लिए स्टार्ट नॉन-टर्मिनल है । के लिए गैर टर्मिनलों में शामिल और प्रत्येक के लिए सभी गैर टर्मिनलों ; गैर-टर्मिनल प्रारंभ का गैर-टर्मिनल है , और लिए टर्मिनल ठीक लिए टर्मिनल हैं । मैं दावा करता हूं (बिना सबूत के) कि$G'_A$$A \to S_{G'_A}$$G'_A$$S_{G'_A}$$G'_A$$G''$$N$$G'_A$$G$$G''$$G$$G''$एक ही भाषा के लिए एक बारीक व्याकरण है, क्योंकि व्युत्पत्ति प्रक्रिया नियमों की उत्पत्ति से प्रभावित नहीं होती है; यह सिर्फ एक वर्णमाला पर एक स्ट्रिंग प्रतिस्थापन है।

यदि उपरोक्त सबूत की वैधता है, तो और समान हैं।$CF$$irCF$

जैसा कि मैंने एक टिप्पणी में कहा, दो स्तरीय व्याकरणों के अधिक दिलचस्प उदाहरण हैं, जिनमें वान विजेंगार्डन व्याकरण और विभिन्न प्रयास जो अतिरिक्त शक्ति को खोए बिना अधिक प्रबंधनीय औपचारिकताएं बनाने के लिए किए गए विभिन्न प्रयास हैं।