द्विदलीय ग्राफ के लिए स्थितियाँ जो कि किनारों के चारों ओर जाने वाले किनारों वाली हैं

Question

एक द्विदलीय ग्राफ प्लानर है यदि इसमें कोई या नाबालिग नहीं हैं।$K_{3, 3}$$K_5$

मैं एक आवश्यक या / और पर्याप्त स्थिति की तलाश कर रहा हूं कि बिना किनारों के "किनारों पर" जा रहा है। ये चित्र संतोषजनक हैं:

1. एक भाग के सभी कोने एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर खींचे जाते हैं। दूसरे भाग के वर्टिकल एक समांतर वर्टिकल लाइन पर खींचे जाते हैं।
2. कोणों को छोड़कर किनारों को काटना नहीं है।
3. बिंदु 1 में दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच सभी धारियां अनंत पट्टी में होती हैं।

उदाहरण के लिए, नीचे दाईं ओर को छोड़कर सभी चित्र गैर-उदाहरण हैं। क्यू और आर के पदों को स्वैप करके शर्तों को पूरा करने के लिए नीचे-बाएं ग्राफ को फिर से तैयार किया जा सकता है। शर्तों को पूरा करने के लिए दो ग्राफों को सबसे ऊपर रखा जा सकता है।

शीर्ष दो रेखांकन केवल अवरोध हैं जो मुझे मिल सकते हैं। मेरे प्रश्न हैं:

1. क्या इस समस्या का कोई नाम है?
2. कोई अन्य अवरोध जो मुझे याद आया?
3. इस बात पर कोई संकेत नहीं है कि मैं कैसे साबित कर सकता हूं कि ये दो अवरोध (साथ में कुछ भी याद किया गया), नाबालिगों के रूप में, आवश्यक और पर्याप्त हैं।

ध्यान दें कि यह बाहरी-प्लानर होने के समान नहीं है, बाहरी-प्लानर है (इसे एक वर्ग के रूप में तैयार किया जा सकता है) लेकिन इसे ऊपर बताई गई शर्तों को पूरा करने के लिए तैयार नहीं किया जा सकता है।$K_{2, 2}$

Answer 1

आपके रेखांकन ठीक पथ-चौड़ाई  रेखांकन हैं या समकक्ष, जिनके प्रत्येक घटक में वन एक कमला है । कैटरपिलर के दो प्रासंगिक लक्षण हैं:$1$

• वे पेड़ हैं जिनमें से अधिक डिग्री के हर शीर्ष पर एक एकल पथ है  ;$1$

• वे वे पेड़ हैं जिनमें हर वर्कट में अधिकतम दो नॉन-लीफ पड़ोसी हैं।

लेम्मा 1. हर कैटरपिलर आपकी कक्षा में है।

सबूत। बता दें कि एक कैटरपिलर है और को एक सबसे लंबा रास्ता होना चाहिए जिसमें डिग्री या उससे अधिक के प्रत्येक शीर्ष हो  । ध्यान दें कि, अधिकतमता से, । हम पहले ड्राइंग द्वारा  एक जिग-ज़ैग के रूप में की एक ड्राइंग का उत्पादन कर सकते हैं  और फिर और  बीच सटे  डिग्री वर्जन को जोड़ सकते हैं । $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$$x_{i+1}$$\Box$

लेम्मा 2. आपकी कक्षा में प्रत्येक ग्राफ एसाइक्लिक है।$G$

सबूत। मान लीजिए कि में चक्र और मान लीजिए कि इसमें आवश्यक फ़ॉर्म का आरेखण है। Wlog, ,  से ऊपर है  । लेकिन तब से हमारे पास से ऊपर  होना आवश्यक है , अन्यथा, लाइनें और  पार हो जाएंगी। प्रेरण रखकर  से ऊपर है  सभी के लिए के लिए और इसी तरह  की। लेकिन फिर किसी भी लाइन$G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$या तो कोने के दो स्तंभों के बीच के क्षेत्र को छोड़ दें या चक्र में हर दूसरे किनारे को पार करें। यह हमारी धारणा का खंडन करता है कि ग्राफ में एक उचित ड्राइंग है। $\Box$

लेम्मा 3. प्रत्येक जुड़ा हुआ गैर-कैटरपिलर आपकी कक्षा में नहीं है।

सबूत। बता दें कि एक कनेक्टेड ग्राफ है जो कैटरपिलर नहीं है। यदि इसमें एक चक्र शामिल है, तो यह लेम्मा द्वारा आपकी कक्षा में नहीं है  , इसलिए हम मान सकते हैं कि यह एक पेड़ है। यदि यह एक कैटरपिलर नहीं है, तो इसमें अलग-अलग पड़ोसियों के साथ एक शीर्ष होना चाहिए  , और  , जिनमें से प्रत्येक की डिग्री कम से कम   ।$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

मान लीजिए कि हमारे पास आवश्यक गुणों के साथ का एक ड्राइंग है  । Wlog,  से ऊपर है  और  से ऊपर है  । बता दें कि , पड़ोसी है  । बढ़त  को पार करना होगा या  , हमारे धारणा ग्राफ आवश्यक प्रपत्र की एक ड्राइंग है कि विरोधाभासी। $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

प्रमेय। आपके रेखांकन की श्रेणी वास्तव में उन जंगलों की श्रेणी है जिनके प्रत्येक घटक में एक कैटरपिलर है।

सबूत। को ग्राफ होने दो । स्पष्ट रूप से,  आपकी कक्षा में है यदि, और केवल यदि, प्रत्येक घटक है: यदि किसी भी घटक को आवश्यकतानुसार तैयार नहीं किया जा सकता है, तो पूरा ग्राफ़ नहीं हो सकता है; यदि प्रत्येक घटक को आवश्यकतानुसार खींचा जा सकता है, तो घटकों को एक के ऊपर एक करके पूरे ग्राफ को खींचा जा सकता है। परिणाम अब Lemmas और  द्वारा अनुसरण करता है । $G$$G$$1$$3$$\Box$

परिणाम। आपका वर्ग रेखांकन ग्राफ़ का वह वर्ग है जिसमें या के उपखंड के  रूप में एक नाबालिग नहीं है।$K_3$$K_{1,3}$

सबूत। ये मार्ग-चौड़ाई लिए अवरोध $1$ हैं । $\Box$

ये मूलतः अवरोधों आप पाया हैं: आप की जरूरत बजाय क्योंकि बाद स्वीकार किया वर्ग में; का उपखंड वास्तव में आपकी दूसरी बाधा है।$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

Comments

बहुत अच्छा जवाब!

— पाएल जीडी

Answer 2

तो, निम्नलिखित जवाब है कि मैं क्या लेकर आया हूं:

जैसा कि आपने पहले ही उल्लेख किया है, केवल दो संभावित मामले हैं जिन्हें फिर से व्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।

दूसरा मामला कोई सही प्रतिनिधित्व नहीं है अगर हम एक द्विदलीय ग्राफ मान लेते हैं, क्योंकि विकिपीडिया एक द्विदलीय ग्राफ को परिभाषित करता है: प्रत्येक किनारे में एक से एक में एक शीर्ष जोड़ता है ।$U$$V$

संपादित करें: मैंने ग्राफ़ को गलत किया, इसके लिए क्षमा करें।

यह हमें केवल पूर्ण साथ छोड़ देता है , जिस स्थिति से आप बचना चाहते हैं। इसके विपरीत, पर्याप्त शर्त यह है कि आपके द्विदलीय ग्राफ का अपने भीतर कोई पूर्ण उपसमूह नहीं है।$K_{2,2}$

यह साबित करने के लिए कि कोई अन्य सबग्राफ मान्य है, आप निम्नलिखित की कल्पना कर सकते हैं:

सबसे पहले, हम मानते हैं कि हमारे पास कोई किनारा नहीं है और एक अनियंत्रित बढ़त साथ शुरू होता है । अगले किनारे को जोड़कर, हमारे पास तीन संभावित मामले हैं:$e$

पहला मामला यह है कि हमारे पास एक नोड है जो न तो शुरू होता है और न ही पहले किनारे के समान नोड पर समाप्त होता है। यह हमें बिना किसी समस्या के छोड़ देता है और हम सम्मिलित करना जारी रख सकते हैं।

दूसरा मामला यह है कि हमारे पास एक किनारा है - जो अपने रास्ते पर है - दूसरे को पार करता है, पहले से ही मौजूद है, किनारा। इस मामले में हमें नए किनारों या में से एक के साथ शीर्ष या (पहले से मौजूद किनारे वाला) , जैसे कि हम मानदंडों को पूरा करना जारी रखते हैं।$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

यह मानता है कि हमारे पास स्वैप करने के लिए नोड्स पर शुरू या समाप्त होने वाला कोई और किनारा नहीं है, जो हमें निम्नलिखित तीसरे मामले की ओर ले जाता है: चार वर्टिस किसी एक को स्वैप करने के बाद , हमें स्वैप किए गए वर्टेक्स से अन्य सभी कनेक्शनों का पता लगाने की आवश्यकता है।$V1-V4$

एक बार फिर हम केवल तीन समाधान पा सकते हैं: या तो हम एक समाप्ति कनेक्शन का पता लगाते हैं, या उस चरण को दोहराते हैं जो हमने पहले ही ले लिया था (सभी सभी चरणों को ट्रेस करते हुए)। यदि हम एक समाप्ति नोड पर समाप्त होते हैं, तो हम सभी ट्रेस किए गए नोड्स को स्वैप कर सकते हैं।

अंतिम संभावित मामला एक नोड का कारण होगा जो हमने पहले ही दौरा किया था, जो हमें एक पूर्ण उपसमूह के साथ छोड़ देगा, जिसे हम बाद में उल्लेखित स्थिति तक कम कर सकते हैं।$K_{2,2}$

संपादित करें: इस प्रमाण को दूसरे मामले में विस्तारित करने के लिए, हमें निम्नलिखित स्थितियों को देखना होगा:

सामान्य तौर पर, अगर हमारे पास कम से कम एक हब (3 या अधिक कनेक्शन) के साथ सबग्राफ है, तो यह "बल्कि आसान" है।

यदि हमारे पास एक से अधिक डिग्री के दो पड़ोसियों ( ) के साथ प्रदर्शित मामला है तो हम पुनर्व्यवस्थित नहीं कर सकते । यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यह प्रदान करता है आगे के पड़ोसियों के बारे में ज्ञान के साथ है। हमें किसी भी मंडल (पहले मामले की तरह) से बचने के लिए उन्हें और भी ट्रेस करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह तत्काल पड़ोसियों की जांच करने के लिए पर्याप्त है।$\langle k\rangle > 1$

चूँकि मुझे स्वयं इस क्षेत्र में केवल मामूली ज्ञान है, लेकिन फिर भी मैं आपको एक संभावित समाधान प्रदान करना चाहता हूं, मैंने आपको एक (उम्मीद है) आयु लेख से जोड़ा है

अगर किसी को इस समस्या का नाम होगा, तो मुझे सीखने में दिलचस्पी होगी, खासकर जब से मैं फेरी के प्रमेय और पूर्ण द्विदलीय उपग्रहों के विचारों का पालन करके इस समाधान के साथ आया हूं।

Comments

कैसे दूसरा मामला द्विदलीय ग्राफ नहीं है? किनारे (H, J) केवल H और J को जोड़ता है और I को स्पर्श नहीं करता है (यह सिर्फ ड्राइंग थोड़ा खराब है)।

— एनेलगिंडी

आह, मुझे लगा कि ये दो अलग-अलग किनारे थे। मुझे यह पता लगाने दो, लेकिन इसे आसानी से वर्तमान प्रमाण के भीतर शामिल होना चाहिए

— dennlinger

मैं दूसरे मामले पर भी विचार करने के लिए मानदंड बढ़ाता हूं। यह जांचना बहुत आसान है (समझ और जटिलता दोनों से), चूंकि आपको केवल इस मामले पर विचार करना है यदि आप अपने ग्राफ को हब के साथ बढ़ाते हैं (मेरी परिभाषा में$\langle k \rangle > 2$

— rangle

आपका क्या मतलब है "पहला मामला यह है कि हमारे पास एक नोड है जो या तो एक ही नोड पर शुरू या समाप्त होता है"? मैं यह नहीं देखता कि आपके तर्क कैसे बयानों को साबित करते हैं। आप यह साबित कर रहे हैं कि यदि आप चीजों को एक विशिष्ट तरीके से करते हैं, तो आप ग्राफ खींचने में विफल रहते हैं। मैं यह भी नहीं देखता कि यह कैसे दो अवरोधों को सीधे नहीं संभाल सकता है, बल्कि उनके नाबालिगों को ..

— anelguindy

पहला मामला "न तो .. और न ही" होना चाहिए। उसके लिए खेद है। और मैंने यह साबित करने की कोशिश की कि किसी भी संभावित सबसेट को खत्म कर दिया जाए जो आपकी स्थिति का उल्लंघन करता है, हर किनारे की जांच करके।

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