द्विदलीय मिलान के लिए अधिकतम प्रवाह को कम करना?

Question

अधिकतम-प्रवाह समस्या से अधिकतम द्विदलीय मिलान समस्या से एक प्रसिद्ध और सुरुचिपूर्ण कमी है: हम एक स्रोत नोड , एक टर्मिनल नोड और प्रत्येक आइटम के लिए एक नोड से मेल खाते हैं, फिर उपयुक्त किनारों को जोड़ते हैं।$s$$t$

वहाँ निश्चित रूप से बहुपद समय में अधिकतम द्विपदशोथ से अधिकतम प्रवाह को कम करने का एक तरीका है, क्योंकि उन दोनों को व्यक्तिगत रूप से बहुपद समय में हल किया जा सकता है। हालांकि, वहाँ एक "अच्छा" बहुपद-समय की कमी है अधिकतम-प्रवाह (सामान्य रेखांकन में) से अधिकतम द्विदलीय मिलान?

Comments

क्या आप एक द्विदलीय ग्राफ में, या सामान्य रेखांकन में नेटवर्क प्रवाह के बारे में पूछ रहे हैं?

— डीडब्ल्यू

मैं सामान्य रेखांकन में अधिकतम प्रवाह के बारे में सोच रहा था।

— templatetypedef

पी के अंदर पॉली-टाइम की कटौती उबाऊ है: बस उदाहरण को हल करें और दो हार्ड-कोडित उदाहरणों में से एक चुनें। मुझे पता है कि वह नहीं है जो आप चाहते हैं, लेकिन क्या आप अधिक सटीक रूप से निर्दिष्ट कर सकते हैं कि क्या है?

— राफेल

@ राफेल मेरे प्रश्न का अंतिम पैराग्राफ जो आपने उल्लेख किया था, हाँ, वहाँ स्पष्ट रूप से आपके द्वारा कही गई बातों के साथ-साथ एक निर्बाध कमी है। मैं एक कमी की तलाश कर रहा हूं जो कि अधिकतम-प्रवाह के मिलान से कमी के अनुरूप है - एक संरचनात्मक परिवर्तन जो आवश्यक विशेषताओं को संरक्षित करता है। "समस्या को हल करने और एक उदाहरण आउटपुट" की तुच्छ कमी के बजाय एनपी-कठोरता को साबित करने के लिए की गई कटौती के साथ कुछ सोचें।

— templatetypedef

गैजेट की कटौती आमतौर पर रैखिक-समय पर नहीं होती है? यही मेरा मतलब है: एक अधिक प्रतिबंधित वर्ग खोजने की कोशिश करें जो हमें "धोखा" देने से रोकता है। (यह स्पष्ट है नहीं क्या "बरकरार रखता आवश्यक विशेषताओं" मतलब यह होना चाहिए।)

— राफेल

Answer 1

अजीब तरह से, ऐसी कोई भी कमी ज्ञात नहीं है। हालाँकि, हाल ही के एक पेपर में, मैड्री (FOCS 2013) ने दिखाया कि यूनिट-कैपेसिटी ग्राफ़ में अधिकतम प्रवाह को कैसे कम किया जाए (लॉगरिदमिक रूप से कई उदाहरण) अधिकतम$b$- द्विदलीय रेखांकन में अंकित करना।

मामले में आप अधिकतम से अपरिचित हैं $b$समस्या को हल करना, यह मिलान का एक सामान्यीकरण है, इस प्रकार परिभाषित किया गया है: इनपुट एक ग्राफ है (हमारे मामले में, एक द्विदलीय ग्राफ) $G=(V,E)$, और प्रत्येक शीर्ष के लिए अभिन्न मांगों का एक सेट, शीर्ष की मांग के साथ $v$ द्वारा चिह्नित $b_v$। लक्ष्य किनारों का सबसे बड़ा संभव सेट खोजना है$S$ ऐसा नहीं कि कोई शीर्ष $v$ से अधिक है $b_v$ में किनारों $S$ पर घटना $v$। यह द्विध्रुवीय मिलान से अधिकतम प्रवाह तक की कमी को सामान्य करने और द्विपद से समान कमी दिखाने के लिए एक सरल अभ्यास है$b$-अधिकतम प्रवाह तक पहुँचाना। (एक) मैड्री के पेपर का आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि कुछ अर्थों में ये समस्याएं समतुल्य हैं, एक सरल कमी जो यूनिट-क्षमता के ग्राफ़ में अधिकतम प्रवाह को कम करती है (आमतौर पर, ग्राफ़ जहां कैपेसिटी का योग होता है)$|u|_1$ किनारों की संख्या में रैखिक है, $m$) को ए $b$के साथ एक ग्राफ में -matching समस्या $O(m)$ नोड्स, कोने और मांगों का योग।

यदि आप विवरण में रुचि रखते हैं, तो अनुभाग 3 देखें, प्रमेय 3.1 तक और अनुभाग 4 (और परिशिष्ट सी में शुद्धता के प्रमाण का प्रमाण), मैड्री के पेपर के ArXiv संस्करण में, यहां देखें । यदि शब्दावली स्व-स्पष्ट नहीं है, तो संबंधित रीमैप के लिए धारा 2.5 देखें$b$समस्या को ध्यान में रखते हुए, और ध्यान रखें कि $u_e$ धार की क्षमता है $e$ मूल अधिकतम प्रवाह उदाहरण में।

Answer 2

तो यहाँ आपके सवाल का जवाब देने की कोशिश है:

कोनिग की प्रमेय पर द्विपदी मिलान सिद्ध हुआ और इसके परिणामस्वरूप मैक्स-फ्लो मिन-कट प्रमेय का उपयोग कम हुआ। कोनिग की प्रमेय निम्नलिखित बताती है। यदि G एक द्विदलीय ग्राफ है, तो अधिकतम {| M | : M एक मिलान है} = मिनट {| C | : C एक आवरण है}। सबूत। भाग अधिकतम {| M |} | ≤ {| C |} तुच्छ है। P और Q को G की द्विदलीय कक्षाएँ बनाते हैं। हम दो वर्टिकल जोड़ते हैं, R और S को G, और आर्क Rp को प्रत्येक के लिए जोड़ते हैं।$p\in P$ और हर के लिए qs $q \in Q$, और सीधी धार pq से $p\in P$ सेवा $q\in Q$। यह एक खुदाई है$G_{∗}$। हम क्षमता को परिभाषित करते हैं u (rp) = 1, u (pq) =$\infty$, u (qs) = 1. चलो x एक व्यवहार्य अभिन्न प्रवाह x है, तो x (e) = 0 या 1 है, इसलिए हम M = {परिभाषित कर सकते हैं$e \in E$: x (e) = 1}। M के साथ मेल है | M | =$f_{x}$। अगला, जी में एक मेलिंग एम एक व्यवहार्य अभिन्न प्रवाह एक्स को जन्म देता है$G_{∗}$ प्रवाह मूल्य के साथ $f_{x}$= | एम | निम्नलिखित नुसार। X (pq) = 1 को परिभाषित करें$pq \in M$, x (rp) = 1 यदि p, M, x (qs) = 1 में बढ़त के लिए घटना है, यदि q, M के किसी किनारे पर घटना है, तो अन्य सभी मामलों में x (e) = 0. इस प्रकार अधिकतम आकार मिलान M में जी अधिकतम प्रवाह से मेल खाती है $G_{∗}$, जिसका आकार मैक्स-फ्लो मिन-कट प्रमेय द्वारा न्यूनतम कटौती के बराबर होता है। एक न्यूनतम r - s कट δ (R) पर विचार करें। इसमें परिमित क्षमता होती है, इसलिए इसमें कोई चाप नहीं होता है। फिर G के हर किनारे C = (P \ R) के एक तत्व के साथ घटना होती है$\cup (Q \cap R)$, वह है, C एक आवरण है। इसके अलावा, u (C) = | P \ R | +$|Q \cap R|$ और इसलिए C आकार का एक आवरण है | M |

मेरा मतलब है कि यह मेरी राय में सब कुछ है जो आपने प्रश्न में पूछा था और यह मेरा संभावित उत्तर है :)।

Comments

ध्यान दें कि आप गणित को अधिक पठनीय तरीके से टाइप करने के लिए यहां लाटेक्स का उपयोग कर सकते हैं। संक्षिप्त परिचय के लिए यहां देखें ।

— DW

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि यह प्रश्न का उत्तर कैसे देता है? क्या आप सामान्य ग्राफ़ में अधिकतम-प्रवाह समस्या को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म का निर्माण कर रहे हैं, अधिकतम द्विध्रुवीय मिलान के लिए एक एल्गोरिथ्म का उपयोग कर रहे हैं? यदि हां, तो एल्गोरिथ्म क्या है? ऐसा लगता है कि आप जो कुछ भी कर रहे हैं वह यह दिखा रहा है कि विशेष मामले में द्विदलीय रेखांकन के विशेष मामले के लिए अधिकतम-प्रवाह समस्या को कैसे हल किया जाए जहां सभी क्षमताएं 1 हैं । लेकिन निश्चित रूप से यह समस्या तुच्छ रूप से अधिकतम मिलान के बराबर है, जैसा कि प्रश्न पहले से ही बताता है, इसलिए मैं यह नहीं देख रहा हूं कि यह कैसे कुछ नया जोड़ता है। मैं यह भी नहीं देखता कि कोनिग के प्रमेय या शीर्ष कवर कैसे प्रासंगिक हैं।

— DW

इस मामले में कमी प्रश्न सेट का उत्तर देने की कुंजी है। और मुझे विश्वास है कि यह वास्तव में @templatetypedef की तलाश में है। मुझे विश्वास नहीं है कि अधिकतम-प्रवाह (सामान्य ग्राफ़ में) से बहुपद-समय में कमी अलग होगी। मैं इसके बारे में फिर से सोचूंगा और शायद कुछ अतिरिक्त जोड़ूंगा, लेकिन मैं शायद ही देख सकता हूं कि हमें अधिक सामान्य कमी के लिए अलग-अलग उदाहरणों की आवश्यकता क्यों होगी। लेकिन उचित अंक।

— marcincuber

यह मानक पाठ्यपुस्तक में अधिकतम प्रवाह के लिए द्विदलीय मिलान में कमी है। यह सवाल विपरीत दिशा में कमी के लिए पूछ रहा है: द्विपदीय मिलान के लिए अधिकतम प्रवाह से।

— जेफई