यह वास्तव में प्राथमिक सेट सिद्धांत है। आप जानते हैं कि एक प्रतिवर्ती संबंध क्या है, एक सममित संबंध क्या है, और एक सकर्मक संबंध क्या है, है ना? एक तुल्यता संबंध वह है जो उन तीनों गुणों को संतुष्ट करता है।
आपने शायद एक संबंध के "सकर्मक बंद" के बारे में सुना है ? खैर, यह और कुछ नहीं बल्कि सबसे कम सकर्मक संबंध है जिसमें भी शामिल है । यही शब्द "बंद" का मतलब है। इसी तरह, आप एक रिश्ते का "सममित बंद" के बारे में बात कर सकते हैं , एक संबंध की "कर्मकर्त्ता बंद" और एक संबंध की "तुल्यता बंद" बिल्कुल उसी तरह।आर आर आर आरRRRRR
कुछ विचार के साथ, आप अपने आप को समझा सकते हैं कि का कपाट बंद होना । सममितीय समापन । रिफ्लेक्सिव क्लोजर (जहां पहचान संबंध है)। आर ∪ आर 2 ∪ आर 3 ∪ ... आर ∪ आर - 1 आर ∪ मैं मैंRR∪R2∪R3∪…R∪R−1R∪II
हम संकेतन का उपयोग के लिए । यह का रिफ्लेक्टिव ट्रांजेक्टिव क्लोजर है । अब ध्यान दें कि यदि सममित है, तो प्रत्येक संबंध , , , , ... सममित है। इसलिए भी सममित होगा। मैं ∪ आर ∪ आर 2 ∪ ... आर आर मैं आर आर 2 आर 3 आर *R∗I∪R∪R2∪…RRIRR2R3R∗
तो का समतुल्य समापन उसके सममित बंद होने का सकर्मक समापन है, अर्थात । यह चरणों का एक क्रम दर्शाता है, जिनमें से कुछ आगे के चरण ( ) और कुछ पिछड़े चरण ( ) हैं।R आर आर - 1(R∪R−1)∗RR−1
कहा जाता है कि यदि संबंध समीपवर्ती संबंध के समान है तो संबंध पास चर्च-रोसेर संपत्ति है । यह उन चरणों के अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें सभी अग्रगामी कदम पहले आते हैं, उसके बाद सभी पिछड़े कदम होते हैं। तो, चर्च-रोसेर संपत्ति का कहना है कि आगे और पिछड़े चरणों के किसी भी interleaving समान रूप से आगे कदम पहले और पीछे कदम आगे करके किया जा सकता है।आर * ( आर - 1 ) *RR∗(R−1)∗