एक बाइनरी ट्री में गैर-पत्ती नोड्स पर 1 या 2 बच्चे और पत्ती नोड्स पर 0 नोड होते हैं। उसे वही रहने दोn एक पेड़ में नोड्स और हमें उन्हें इस तरह से व्यवस्थित करना होगा कि वे अभी भी एक वैध बाइनरी ट्री बनाते हैं।
साबित किए बिना, मैं कह रहा हूं कि ऊंचाई को अधिकतम करने के लिए, दिए गए नोड्स को रैखिक रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए, अर्थात प्रत्येक गैर-पत्ती नोड में केवल एक बच्चा होना चाहिए:
O 1
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O 2
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O 3
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O 4
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O 5
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O 6
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O 7
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O 8
यहां, नोड्स की संख्या के संदर्भ में ऊंचाई के संबंध की गणना करने का सूत्र सीधा-आगे है। अगरज पेड़ की ऊंचाई है, फिर एच = एन - १।
अब, अगर हम बाइनरी ट्री के निर्माण की कोशिश करते हैं nन्यूनतम ऊंचाई के साथ नोड्स (हमेशा एक पूर्ण द्विआधारी पेड़ के लिए reducible), हमें अगले स्तर पर जाने से पहले ऊपरी स्तरों में यथासंभव अधिक नोड्स पैक करना होगा। तो, पेड़ निम्नलिखित पेड़ का रूप लेता है:
O
|1
|
O------+-----O
|2 |3
| |
O---+---O O---+----O
|4 |5 6 7
| |
O---+--O O
8 9 10
हमें एक विशेष मामले से शुरू करते हैं, n =2म- 1।
हम जानते हैं कि,
20+21+22+ । । । +2मी - 1=2म- 1
इसके अलावा, यह साबित करना आसान है कि, एक स्तर मैं अधिक से अधिक हो सकता है 2मैं इसमें नोड्स।
उपरोक्त राशि में इस परिणाम का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि प्रत्येक स्तर के लिए मैं, से 0 सेवा म, वहाँ एक इसी शब्द मौजूद है 2मैं - १ के विस्तार में 2म- 1। इसका मतलब है, कि एक पूर्ण बाइनरी ट्री2म- 1 नोड्स पूरी तरह से भरे हुए हैं और ऊंचाई है, ज (2म( १ ) = म - १, कहाँ पे h(n)= के साथ एक पूर्ण बाइनरी ट्री की ऊंचाई n नोड्स।
इस परिणाम का उपयोग करते हुए, h(2m)=m, पेड़ के साथ 2m−1 नोड्स पूरी तरह से भरे हुए हैं और इस प्रकार एक पेड़ है (2m−1)+1=2m नोड्स को अगले स्तर में अतिरिक्त नोड को समायोजित करना है m, 1 से ऊंचाई बढ़ाकर m−1 सेवा m।
अब तक हम साबित कर चुके हैं,
h(2m)=m,
h(2m+1)=m+1
साथ ही साथ,
h(2m+1−1)=m
इस प्रकार, ∀n∈Z,2m≤n<2m+1
m≤h(n)<m+1
लेकिन, दोनों ओर लॉग (बेस 2) लेते हुए,
m≤log2(n)<m+1
m=⌊log2(n)⌋
इस प्रकार, ∀n,n∈[2m,2m+1)
h(n)=m=⌊log2(n)⌋
और हम इस परिणाम को सामान्य कर सकते हैं ∀n∈Z प्रेरण का उपयोग करना।
पुनश्च: वह पुस्तक जिसमें पूर्ण बाइनरी ट्री की ऊंचाई बताई गई है log2(n+1)−1 सभी के लिए मान्य नहीं है n चूंकि log2(n) अधिकांश पूर्णांकों के लिए गैर-अभिन्न मान देगा n (यानी सभी सही बाइनरी पेड़ों के लिए), लेकिन एक पेड़ की ऊंचाई पूरी तरह से अभिन्न है।