यह कैसे साबित करें कि एनएफए से डीएफए राज्यों की घातीय संख्या हो सकती है?

Question

सभी गैर-नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा को बराबर नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा में बदल दिया जा सकता है। हालाँकि, एक नियत परिमित ऑटोमेटा केवल एक तीर को एक राज्य से इंगित करने वाले प्रति प्रतीक की अनुमति देता है। इसलिए, इसके राज्यों को एनएफए के राज्यों के शक्ति सेट के सदस्य होने चाहिए। यह इंगित करता है कि डीएफए के राज्यों की संख्या एनएफए के राज्यों की संख्या के संदर्भ में तेजी से बढ़ सकती है। हालांकि, मैं सोच रहा था कि वास्तव में यह कैसे साबित किया जाए।

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यह एक उचित प्रश्न है, और निर्माण पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह अभी भी एक होमवर्क प्रश्न हो सकता है। इसलिए, यह जानना उपयोगी होगा कि आप क्यों जानना चाहते हैं।

यहाँ कुछ निर्माणों को शामिल किया गया है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह कहीं एक कागज में होना चाहिए। एक रेफरी का पता नहीं। मेरे सिर के ऊपर से भी लगता है कि एक निर्माण ऐसा है कि एनएफए अपने सक्रिय राज्यों में बाइनरी में गिना जाता है, और लगभग संक्रमण के बाद ही स्वीकार करता है ...? $2^n$

— vzn

Cs.stackexchange.com/questions/3381/…

— Gilles 'SO- बुराई करना बंद करें'

Answer 1

एक ऑपरेशन जो एक एनएफए को दूसरे एनएफए में बदल देता है, लेकिन एक डीएफए के लिए ऐसा नहीं करता है, उलटा है (सभी तीरों को दूसरे तरीके से गोल करें, और प्रारंभिक राज्यों को स्वीकार करने वाले राज्यों को स्वैप करें)। तब्दील automaton द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा उलट भाषा है ।$L^R = \{u_{n-1}\ldots u_0 \mid u_0\ldots u_{n-1} \in L\}$

इस प्रकार एक विचार एक ऐसी भाषा की तलाश करना है जिसमें एक असममित निर्माण हो। आगे जाने पर, इस भाषा को पहले प्रतीकों का निरीक्षण करके पहचाना जाना चाहिए , केवल n + O ( 1 ) राज्यों की आवश्यकता होती है। पीछे की ओर जाते हुए, अंतिम n राज्यों की स्मृति रखना आवश्यक होना चाहिए , जिसमें A n + O ( 1 ) राज्यों की आवश्यकता होती है जहां A वर्णमाला का आकार है।$n$$n + O(1)$$n$$A^n + O(1)$$A$

हम प्रपत्र की एक भाषा के लिए देख रहे जहां एम एन लंबाई के शब्दों के होते हैं n , एस वर्णमाला की एक nontrivial सबसेट है, और एम ' किसी भी आगे बाधा प्रदान नहीं करता है। हम साथ ही सबसे सरल वर्णमाला को चुन सकते हैं एक = { एक , ख } (एक सिंगलटन वर्णमाला, काम नहीं चलेगा आप छोटे NFAs वहाँ नहीं मिलता है) और एम ' = एक * । एक nontrivial S का अर्थ है S = { a } । से संबंधित$M_n S M'$$M_n$$n$$S$$M'$$\mathscr{A} = \{a,b\}$$M' = \mathscr{A}^*$$S$$S = \{a\}$ , हमें आवश्यकता है कि यह एस के साथ सहसंबंधित न हो(ताकि उलट भाषा के लिए डीएफए को एस की स्मृति रखने की आवश्यकता हो): एम एन = ए एन ले ।$M_n$$S$$S$$M_n = \mathscr{A}^n$

इस प्रकार करते हैं । इसे n + 2 राज्यों के साथ एक साधारण DFA द्वारा मान्यता प्राप्त है ।$L_n = (a|b)^n a (a|b)^*$$n+2$

यह पीछे एक NFA कि पहचानता पैदावार ।$L_n^R = (a|b)^* a(a|b)^n$

L R n को पहचानने वाला न्यूनतम DFA में कम से कम 2 n + 1 राज्य हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि DFA में लंबाई 2 n + 1 के सभी शब्द अलग-अलग राज्यों तक पहुंचने चाहिए। (दूसरे शब्दों में, वे अलग से संबंध रखते हैं Myhill-Nerode तुल्यता कक्षाओं ।) यह साबित करने के लिए, दो अलग-अलग शब्द ले यू , वी ∈ ए एन + 1 और जाने कश्मीर की स्थिति है, जहां वे अलग हैं (हो यू k ≠ वी कश्मीर )। सामान्यता की हानि के बिना, मान लेते हैं कि आप के$L_n^R$$2^{n+1}$$2^{n+1}$$u,v \in \mathscr{A}^{n+1}$$k$$u_k \ne v_k$ और वी के = बी । फिर यू बी कश्मीर ∈ एल आर एन और वी बी कश्मीर ∉ एल आर एन ( ख कश्मीर के लिए एक ख़ास विस्तार है यू और वी )। यदि u और v ने D R को समान रूप से L R n को पहचानते हुए एक ही अवस्था में ले लिया,तो u b k और v b $u_k = a$$v_k = b$$u b^k \in L_n^R$$v b^k \notin L_n^R$$b^k$$u$$v$$u$$v$$L_n^R$$u b^k$$v b^k$, जो असंभव है क्योंकि एक को स्वीकार करने की स्थिति में ले जाता है और दूसरा नहीं करता है।

आभार: इस उदाहरण को बिना स्पष्टीकरण के विकिपीडिया में उद्धृत किया गया था । लेख एक लेख का संदर्भ देता है जो मैंने पढ़ा नहीं है जो एक तंग बाउंड देता है:
लिस, अर्नस्ट (1981), "बूलियन ऑटोमेटा द्वारा नियमित भाषाओं का संक्षिप्त प्रतिनिधित्व", सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान 13 (3): 323–330, doi: 10.1016 / S0304-3975 (81) 80005-9 ।

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तार्किक उत्तर: डीएफए में राज्यों को मेमोरी के रूप में उपयोग किया जाता है (ऑन-ऑफ फैन स्विच की तरह कुछ जानकारी संग्रहीत करने के लिए), इसलिए डीएफए में एकल राज्य में क्या प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, समकक्ष एनएफए में राज्यों के संयोजन का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किया जा सकता है । यही कारण है कि एनएफए के समकक्ष डीएफए की तुलना में कम राज्य हैं। अब अगर आपके पास एक सेट में राज्यों क्यू तो की सभी संभव संयोजनों का सेट क्यू है बिजली सेट वह यह है कि 2 n , तो अगर हम का एक NFA रिवर्स n बराबर DFA में राज्यों, तो DFA का ज्यादा से ज्यादा शामिल किया जाएगा 2 n राज्यों। - क्या इस का कोई मतलब निकलता है? $n$$Q$$Q$$2^n$$n$$2^n$

— बृजेश चौहान

@GrijeshChauhan यह सवाल नहीं पूछा गया है। हां, यह देखना आसान है कि राज्यों के साथ प्रत्येक एनएफए के लिए अधिकांश 2 एन राज्यों के साथ डीएफए है। लेकिन यहाँ हम देखते हैं कि बाध्य, तक पहुँच जाता है चाहते हैं यानी कि किसी भी के लिए n है एक n -state NFA ऐसी है कि छोटी से छोटी बराबर DFA है कम से कम 2 n राज्यों (या पास के सिवा, यहाँ मैं बाध्य साबित 2 n - 1 )। $n$$2^n$$n$$n$ $2^n$$2^{n-1}$

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकना '

हम्म ... आपके उत्तर को दो बार और टिप्पणी से पढ़ने के बाद "लेकिन यहां हम यह देखना चाहते हैं कि सीमा समाप्त हो गई है" अब मैं समझ सकता था। धन्यवाद।

— ब्रिजेश चौहान 19

Answer 2

भाषाओं के निम्नलिखित परिवार पर विचार करें: $L_n = \{ x_1, x_2, \ldots, x_k \# x_{k+1}: \exists i \in \{1, \ldots, k\} \text{ with } x_i = x_{k+1} \}$

की वर्णमाला है { # , 1 , ... , n } ।$L_n$$\{\#, 1,\ldots, n \}$

राज्यों के साथ एक NFA है जो भाषा L n को पहचानता है । इसकी एन कॉपियां हैं। में मैं वें कॉपी हम लगता है कि अंतिम अक्षर हो जाएगा मैं , और हमारे अनुमान की जाँच करें। 3 राज्यों के साथ ऐसी कॉपी का निर्माण करना सरल है। केवल गैर-नियतत्ववाद प्रारंभिक अवस्था में है।$O(n)$$L_n$$n$$i$$i$$3$

$L_n$$2^{O(n)}$$\{1,\ldots, n\}$

मुझे पूरा यकीन है कि Sipser की किताब में इसका उदाहरण है।

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सांपेर की पुस्तक में निर्माण ठीक 2 ^ n राज्यों के साथ एक DFA का उत्पादन करता है। यदि एनएफए में राज्य सेट क्यू है, तो डीएफए का राज्य सेट पॉव (क्यू) है ताकि सभी संभव 'समानांतर' का अनुकरण करने के लिए एनएफए का माइग्रेशन हो। (प्रश्न गुंजाइश पर राय जोड़ने के लिए संपादित करें) को देखते हुए। एक मानक पाठ में इसके लिए उपयोग किया गया निर्माण स्पष्ट रूप से एक घातीय संख्या राज्यों की संभावना को दर्शाता है, यह मुझे लगता है कि यह अनुसंधान स्तर नहीं है। हालांकि एक संदर्भ अनुरोध के रूप में उपयुक्त हो सकता है।

— लोगन मेफील्ड

Answer 3

$n$$n$$2^n$

इस उदाहरण से यह भी पता चलता है कि एनएफए पूरकता के तहत एक घातांक झटका हो सकता है। वास्तव में, यह ज्ञात है कि वर्णमाला के सभी प्रतीकों वाले सभी शब्दों की भाषा के लिए कोई भी एनएफए (या यहां तक ​​कि संदर्भ-मुक्त व्याकरण) राज्यों की एक घातीय संख्या होनी चाहिए।

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$\bigcup_{\sigma \in \Sigma} (\Sigma \setminus \sigma)^*$

$\Sigma$$n$$O(n^2)$$2n \cdot 2^n$

इस उदाहरण का मुद्दा यह है कि ब्लूपअप बिजली सेट निर्माण से बिल्कुल मेल खाता है । एक ही ब्लूपअप के साथ एक द्विआधारी उदाहरण मौजूद है, लेकिन यह अधिक जटिल है।

— युवल फिल्मस

हां, यह एक अच्छा उदाहरण है।

— 6005

$O(n\log n)$