एक ग्राफ के लिए न्यूनतम फैले पेड़ अद्वितीय नहीं है

Question

एक भारित, अप्रत्यक्ष ग्राफ जी को देखते हुए: किन परिस्थितियों को सही रखना चाहिए ताकि जी के लिए कई न्यूनतम फैले हुए पेड़ हों?

मुझे पता है कि एमएसटी अद्वितीय है जब सभी भार अलग-अलग होते हैं, लेकिन आप इस कथन को उलट नहीं सकते। यदि ग्राफ़ में समान भार के साथ मुल्टेर किनारों हैं, तो कई एमएसटी हो सकते हैं , लेकिन बस एक भी हो सकता है:

इस उदाहरण में, बाईं ओर के ग्राफ़ में एक अद्वितीय MST है, लेकिन सही नहीं है।

MST की गैर-विशिष्टता के लिए मुझे सबसे ज्यादा शर्तें मिल सकती हैं:

ग्राफ जी में सभी ताररहित चक्रों (चक्रों में अन्य चक्र शामिल नहीं हैं) पर विचार करें। यदि इनमें से किसी भी चक्र में अधिकतम भारित बढ़त कई बार मौजूद है, तो ग्राफ में एक अद्वितीय न्यूनतम फैले पेड़ नहीं है।

मेरा विचार था कि इस तरह एक चक्र के लिए

एन कोने के साथ, आप किनारों में से एक को छोड़ सकते हैं और अभी भी सभी कोने जुड़े हुए हैं। इसलिए, आपके पास एमएसटी प्राप्त करने के लिए उच्चतम वजन के साथ किनारे को हटाने के लिए कई विकल्प हैं, इसलिए एमएसटी अद्वितीय नहीं है।

हालाँकि, मैं तब इस उदाहरण के साथ आया था:

आप देख सकते हैं कि इस ग्राफ में एक चक्र है जो मेरी स्थिति के अनुकूल है: (ई, एफ, जी, एच) लेकिन जहां तक ​​मैं देख सकता हूं, न्यूनतम फैले हुए पेड़ अद्वितीय हैं:

तो ऐसा लगता है कि मेरी स्थिति सही नहीं है (या शायद पूरी तरह से सही नहीं है)। मैं न्यूनतम फैले हुए पेड़ की गैर-विशिष्टता के लिए आवश्यक और पर्याप्त परिस्थितियों को खोजने में किसी भी मदद की सराहना करता हूं।

Comments

आपके सबसे छोटे चक्रों को ताररहित चक्र (अधिक या कम) के रूप में जाना जाता है ।

— युवल फिल्मस

Answer 1

पहली तस्वीर में: सही ग्राफ में 2 के कुल वजन के साथ किनारों और को लेकर एक अनूठा एमएसटी है ।$(F,H)$$(F,G)$

एक ग्राफ और ) को में न्यूनतम फैले हुए वृक्ष (MST) होने दें ।$G=(V,E)$$M=(V,F)$$G$

यदि कोई बढ़त में वेट मौजूद , तो हमारे MST में को जोड़ने से पैदावार होती , और सबसे कम एज-वेट होता है से है, तो हम से बढ़त को स्वैप करके एक दूसरे MST बना सकते हैं धार-वजन के साथ के साथ । इस प्रकार हमारी विशिष्टता नहीं है।$e=\{v,w\}\in E \setminus F$$w(e)=m$$e$$C$$m$$F\cap C$$F\cap C$$m$$e$

Comments

आप सही हैं, मैंने उस ग्राफ़ को अब प्रश्न में सुधार दिया। क्या आप जानते हैं कि यह सबसे सामान्य स्थिति है ताकि एमएसटी अद्वितीय न हो? या यह भी किसी तरह पहले एमएसटी खोजने की आवश्यकता के बिना निर्धारित किया जा सकता है?

— कीवन

@ कीवान मेरा मानना ​​है कि यदि आप इस प्रश्न को ध्यान में रखते हैं तो इस उत्तर में उल्लिखित शर्त भी कई सीएसटी होने के लिए एक आवश्यक शर्त है। दूसरे शब्दों में: एक ग्राफ में कई MST हैं यदि और केवल तभी जब HueHang द्वारा उल्लिखित निर्माण किया जा सकता है। $G$

— बकुरीउल

मुझे F∩C से सबसे कम किनारे का वजन नहीं चाहिए। वास्तव में, यह केवल सबसे अधिक बढ़त वाला वजन हो सकता है, अन्यथा एम पहले स्थान पर न्यूनतम नहीं होता। मान लीजिए कि F∩C में एक बढ़त e 'w (e') = m '> m = w (e) के साथ थी। फिर ई के लिए स्वैपिंग 'एम के मुकाबले कुल वजन के साथ एक फैले हुए पेड़ को छोड़ देगा, एम की न्यूनतमता का विरोध करते हुए

— चाड

Answer 2

पिछले जवाब निर्धारित करने के लिए एक से अधिक MSTS है, जो, के लिए प्रत्येक बढ़त देखते हैं कि क्या एक एल्गोरिथ्म को इंगित करता है में नहीं जी , जोड़कर बनाया चक्र लगता है ई एक precomputed MST के और अगर जाँच ई कि चक्र में अद्वितीय भारी बढ़त नहीं है। उस एल्गोरिथ्म में O ( | E | | V | ) समय चलने की संभावना है ।$e$$G$$e$$e$$O(|E||V|)$

यह निर्धारित करने के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म है कि क्या में जीएसटी के कई एमएसटी हैं ( ! ई । लॉग इन ( | वी | ) ) समय-जटिलता$O(|E|\log(|V|))$ ।

$\ $1. जीएसटी M को खोजने के लिए पर क्रुस्काल का एल्गोरिथ्म चलाएं ।$G$$m$

$\ $2. पर क्रुस्कल के एल्गोरिथ्म को फिर से चलाने का प्रयास करें। इस रन में, जब भी हमारे पास समान भार के किनारों के बीच कोई विकल्प होता है, तो हम सबसे पहले किनारों को m में नहीं होने की कोशिश करेंगे, जिसके बाद हम किनारों को m में आज़माएंगे । जब भी हम एक बढ़त में नहीं मिला है मीटर जोड़ता दो अलग-अलग पेड़ों, हम दावा कई MSTS, एल्गोरिथ्म समाप्त देखते हैं कि।$G$$m$$m$$m$

$\ $3. अगर हम यहां तक ​​पहुंच गए हैं, तो हम दावा करते हैं कि पास एक अनूठा एमएसटी है।$G$

क्रुस्कल के एल्गोरिथ्म का एक साधारण रन समय लेता है । मी में नहीं किनारों का अतिरिक्त चयन O ( | E | ) समय में किया जा सकता है । इसलिए एल्गोरिथ्म समय (जटिलता ) O ( ! E | log ( | V | ) ) को प्राप्त करता है।$O(|E|\log(|V|))$$m$$O(|E|)$$O(|E|\log(|V|))$

यदि एकाधिक MST हैं, तो यह एल्गोरिथ्म निर्धारित क्यों कर सकता है?

मान लीजिए कि हमें एक MST है कि के समान नहीं है मीटर । यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि जी पर चल रहा एल्गोरिदम चरण 3 तक नहीं पहुंचेगा, क्योंकि चरण 2 के अंत में पाया गया किनारा, जो कि मीटर में नहीं है और दो अलग-अलग पेड़ों को जोड़ रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एमएसटी शामिल किया गया था, जिसे हमने क्रुस्कल के नाम से चलाया था। पूरा करने के लिए एल्गोरिथ्म। चलो डब्ल्यू सबसे बड़ा वजन ऐसी है कि कम से कम वजन किसी भी किनारे के लिए हो w , उस में है मीटर यदि और केवल यदि उस में है मी ' । क्योंकि मीटर और मीटर ' वजन के किनारों की समान संख्या डब्ल्यू , वहाँ वजन के किनारों मौजूद$m'$$m$$G$$m$$w$$w$$m$$m'$$m$$m'$$w$ कि में हैं मीटर ' लेकिन में नहीं मी । यदि एल्गोरिथ्म उन किनारों के किनारों को संसाधित करने से पहले बाहर निकल गया है, तो हम कर रहे हैं। अन्यथा, एल्गोरिथ्म पहले किनारे पर कार्रवाई करने के लिए जा रहा है लगता है ई ' अब उन किनारों के बीच में। चलो एस सभी किनारों कि अब तक संरक्षित किया गया है जिसके परिणामस्वरूप MST में शामिल किए जाने के सेट हो। S ⊂ म । चूंकि एल्गोरिथ्म के वजन के नहीं समाप्त प्रसंस्करण बढ़त हासिल है w में नहीं मीटर जैसे ई ' , यह प्रसंस्करण वजन के किनारों शुरू नहीं किया है चाहिए w में मीटर । तो किनारों में$w$$m'$$m$$e'$$S$$S\subset m$$w$$m$$e'$$w$$m$$S$ से कम वजन । इसका मतलब है कि एस ⊂ मीटर ' । याद है कि ई ' में है मी ' । चूंकि { ई ' } ∪ एस ⊂ मीटर ' है, जहां मीटर ' एक पेड़ है, ई ' में दो अलग-अलग पेड़ों से कनेक्ट करना होगा एस इस बिंदु पर और एल्गोरिथ्म बाहर निकलता है।$w$$S\subset m'.$$e'$$m'$$\{e'\}\cup S\subset m'$$m'$$e'$$S$

आगे के विकास पर ध्यान दें
चरण 1 और चरण 2 को इंटरलीव किया जा सकता है ताकि हम अधिक से अधिक भार के किनारों के प्रसंस्करण के बिना एल्गोरिथ्म को जल्द से जल्द समाप्त कर सकें।
यदि आप एमएसटी की संख्या की गणना करना चाहते हैं, तो आप उत्तर की जांच कर सकते हैं कि एमएसटी की संख्या की गणना कैसे करें ।

Answer 3

बता दें कि एक (साधारण परिमित) धारित भारित अप्रत्यक्ष जुड़ा हुआ ग्राफ है जिसमें कम से कम दो कोने होते हैं। बता दें कि एसटी का मतलब होता है फैले पेड़ और एमएसटी का मतलब होता है न्यूनतम फैले हुए पेड़। पहले कुछ सामान्य शब्दों को परिभाषित करता हूं।$G$

• एक बढ़त अद्वितीय-चक्र-सबसे भारी है अगर यह किसी चक्र में अद्वितीय सबसे भारी बढ़त है।
• एक किनारा गैर-चक्र-सबसे भारी है अगर यह किसी भी चक्र में सबसे भारी किनारा नहीं है।
• एक किनारे अद्वितीय-कट-हल्का है अगर यह कुछ कटौती को पार करने के लिए सबसे हल्का धार है।
• एक किनारा नॉन-कट-लाइटेस्ट है अगर यह किसी भी कट को पार करने के लिए सबसे हल्का किनारा नहीं है।
• दो एसटी आसन्न हैं अगर हर एसटी में एक किनारे है जो अन्य एसटी में नहीं है।
• एक एमएसटी एक पृथक एमएसटी है यदि यह किसी अन्य एमएसटी से सटे नहीं है (जब दोनों एमएसटी को एसटी के रूप में माना जाता है)।

एक से अधिक न्यूनतम फैले हुए पेड़ कब होते हैं?

ओपी के सवाल का जवाब देने के लिए, यहां जी के पांच लक्षण$G$ हैं, जिनमें एक से अधिक एमएसटी हैं ।

• दो आसन्न MST हैं।
• कोई पृथक MST नहीं है।
• एक एसटी है जो सभी आसन्न एसटी की तुलना में हल्का या हल्का है और जो एक आसन्न एसटी के समान हल्का है।
• एक किनारा है जो न तो अद्वितीय-चक्र-भारी है और न ही गैर-चक्र-सबसे भारी है।
• एक किनारा है जो न तो अद्वितीय-कट-हल्का है और न ही गैर-हल्का-हल्का है

इस उत्तर की नवीनता ज्यादातर अंतिम दो लक्षण हैं। अंतिम लक्षण वर्णन के दूसरे को ओपी के दृष्टिकोण के अगले चरण के रूप में माना जा सकता है । एक साथ पहले तीन लक्षण वर्णन को dtt के उत्तर के थोड़ा बढ़ाया संस्करण के रूप में माना जा सकता है ।

विपरीत शब्द में सोचना आसान है, क्या में एक अनूठा एमएसटी है। उपरोक्त वर्णनों का विपरीत और समकक्ष संस्करण निम्नलिखित है।$G$

न्यूनतम फैले पेड़ अद्वितीय कब है?

प्रमेय: के निम्नलिखित गुण समतुल्य हैं।$G$

• एमएसटी की विशिष्टता : एक अनूठा एमएसटी है।
• कोई निकटवर्ती एमएसटी : कोई निकटवर्ती एमएसटी नहीं है।
• एक पृथक एमएसटी : एक पृथक एमएसटी है।
• एक स्थानीय न्यूनतम एसटी : एक एसटी है जो सभी आसन्न एसटी की तुलना में हल्का है।
• चरम चक्र बढ़त : प्रत्येक किनारे या तो अद्वितीय-चक्र-भारी है और गैर-चक्र-सबसे भारी है।
• एक्सट्रीम कट एज : हर एज या तो यूनिक-कट-लाइटेस्ट या नॉन-कट-लाइटेस्ट है

यहाँ मेरा प्रमाण आता है।

"एमएसटी की विशिष्टता" => "कोई निकटवर्ती एमएसटी नहीं": स्पष्ट।

"नहीं आसन्न MSTs" => "एक पृथक MST": स्पष्ट।

"एक पृथक एमएसटी" => "एक स्थानीय न्यूनतम एसटी": एक पृथक एमएसटी सभी आसन्न एसटी की तुलना में हल्का है।

"वन लोकल न्यूनतम ST" => "एक्सट्रीम साइकल एज": Let be a ST जो सभी आसन्न ST की तुलना में हल्का होता है।$m$

• में प्रत्येक किनारे को गैर-चक्र-सबसे भारी होना चाहिए। यहाँ सबूत है। चलो एल में बढ़त हो मी । यदि l किसी चक्र से संबंधित नहीं है, तो हम कर रहे हैं। अब मान लीजिए कि l एक चक्र c के अंतर्गत आता है । अगर हम l को m से हटाते हैं , तो m दो पेड़ों में विभाजित हो जाएगा, जिसका नाम m 1 और m 2 होगा । एक चक्र के रूप में जो m 1 और m 2 को l से जोड़ता है , c के पास एक और धार होनी चाहिए जो m 1 और m को जोड़ती है$m$$l$$m$$l$$l$$c$$l$$m$$m$$m_1$$m_2$$m_1$$m_2$$l$$c$$m_1$ । नाम है कि धार एल ' । चलो मीटर ' का मिलन हो मीटर 1 , m 2 और एल ' , जिनमें से एक में फैले पेड़ होना चाहिए जी के साथ-साथ। चूंकि m और m ′ आसन्न हैं, m , m ′ की तुलना में हल्का है। इसका मतलब है कि एल की तुलना में हल्का है एल ' । तो l गैर-चक्र-भारी है।$m_2$$l'$$m'$$m_1$$m_2$$l'$$G$$m$$m'$$m$$m'$$l$$l'$$l$
• में हर बढ़त अद्वितीय-चक्र-भारी होना चाहिए। यहाँ सबूत है। आज्ञा देना h ′ एक किनारे होना चाहिए m में नहीं । हम जोड़ देते हैं तो ज ' के लिए मीटर , हम एक चक्र पैदा करेगा ग । चलो ज में बढ़त हो ग कि नहीं है ज ' । फैले पेड़ पर विचार करें मीटर ' से बने मीटर के साथ ज द्वारा बदल दिया ज ' । चूंकि m और m ′ आसन्न हैं, m , m ′ की तुलना में हल्का है । इसका मत,$m$$h'$$m$$h'$$m$$c$$h$$c$$h'$$m'$$m$$h$$h'$$m$$m'$$m$$m'$ की तुलना में हल्का है ज ' । तो h ′ c में अद्वितीय सबसे भारी किनारा है। है यही कारण है, ज ' अद्वितीय चक्र भारी-है।$h$$h'$$h'$$c$$h'$

"लोकल मिनिमम ST" => "एक्सट्रीम कट एज": प्रूफ को व्यायाम के रूप में छोड़ दिया जाता है।

"एक्सट्रीम साइकल एज" => "एमएसटी की विशिष्टता": एक MST हो। चलो ई एक मनमाना किनारे हो। यदि ई गैर-चक्र-सबसे भारी है, तो मीटर में यह होना चाहिए। यदि किनारे ई अद्वितीय-चक्र-सबसे भारी है, तो मी इसमें शामिल नहीं हो सकता है। (इन दोनों प्रस्तावों को चक्र और किनारे विनिमय का उपयोग करके एमएसटी के बारे में मानक तर्क द्वारा साबित किया जा सकता है, इसी तरह जो ऊपर किया गया है)। इसलिए मी बिल्कुल गैर-चक्र-सबसे भारी किनारों का सेट है।$m$$e$$e$$m$$e$$m$$m$

"एक्सट्रीम कट एज" => "एमएसटी की विशिष्टता": सबूत को एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया जाता है।

निहितार्थ की उपरोक्त श्रृंखला प्रमेय साबित होती है।

एक बार फिर, इस उत्तर की नवीनता ज्यादातर "चरम चक्र बढ़त" संपत्ति और "चरम कटौती बढ़त" संपत्ति है, जो अवधारणाओं, गैर-चक्र-भारी और गैर-कट-लाइटस्ट का उपयोग करती है। मैंने उन अवधारणाओं को कहीं और नहीं देखा है, हालांकि वे काफी स्वाभाविक हैं।

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यहां दो संबंधित दिलचस्प टिप्पणियां हैं।

• के लिए किसी भी किनारे , ई गैर चक्र-भारी है ⇔ ई अद्वितीय कट-हल्का है ⇔ ई हर MST में है$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$
• के लिए किसी भी किनारे , ई अद्वितीय चक्र-भारी है ⇔ ई है गैर कट सबसे हल्का ⇔ ई नहीं किसी भी MST में है$e$$e$$\Leftrightarrow$ $e$$\Leftrightarrow$ $e$

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अद्वितीय एमएसटी के लिए दो पर्याप्त लेकिन आवश्यक शर्तें नहीं

प्रत्येक चक्र में सबसे भारी किनारे की विशिष्टता का अर्थ है "चरम चक्र बढ़त" संपत्ति। तो यह एक पर्याप्त स्थिति है। इसकी आवश्यक स्थिति के लिए एक प्रतिरूपता वजन के साथ ग्राफ है ।$ab\rightarrow 1, bc\rightarrow 1, cd\rightarrow 1, da\rightarrow 2, ac\rightarrow 2$

प्रत्येक कट-सेट में सबसे हल्के किनारे की विशिष्टता का अर्थ है "चरम कट किनारे" संपत्ति। तो यह एक पर्याप्त है। इसकी आवश्यक स्थिति के लिए एक प्रतिरूपता वजन साथ एक त्रिकोण है ।$1,1,2$