परीक्षण करना कि क्या एक मनमाना प्रमाण परिपत्र है?

Question

मैं सबूतों के बारे में सोच रहा था और एक दिलचस्प अवलोकन में भाग गया। इसलिए प्रमाण करी-हावर्ड इसोर्फिज्म के माध्यम से कार्यक्रमों के बराबर हैं, और परिपत्र साक्ष्य अनंत पुनरावृत्ति के अनुरूप हैं। लेकिन हम रुकने की समस्या से जानते हैं कि सामान्य परीक्षण में क्या एक मनमाना कार्यक्रम हमेशा के लिए पुनरावृत्त होता है या नहीं। करी-हावर्ड द्वारा, इसका मतलब यह है कि कोई "सबूत परीक्षक" नहीं है जो यह निर्धारित कर सकता है कि क्या कोई प्रमाण परिपत्र तर्क का उपयोग करता है?

मैंने हमेशा सोचा है कि प्रमाण आसानी से जांचे जाने योग्य चरणों (जो कि निष्कासन नियमों के अनुप्रयोगों के अनुरूप हैं) से बने होते हैं, और सभी चरणों की जाँच करने से आपको विश्वास होता है कि निष्कर्ष इस प्रकार है। लेकिन अब मैं सोच रहा हूं: शायद इस तरह के प्रूफ चेकर को लिखना वास्तव में असंभव है, क्योंकि हॉल्टिंग समस्या के आसपास पहुंचने और परिपत्र तर्क का पता लगाने के लिए कोई रास्ता नहीं है?

Answer 1

प्रूफ सिस्टम के विशाल बहुमत अनंत, वृत्ताकार प्रमाणों के लिए अनुमति नहीं देते हैं, लेकिन वे ऐसा करते हैं कि वे अपने लैंगगेज को गैर-ट्यूरिंग पूर्ण बनाते हैं।

एक सामान्य कार्यात्मक भाषा में, प्रोग्राम को हमेशा के लिए का एकमात्र तरीका पुनरावृत्ति के साथ है, और सिद्धांत के संदर्भ में, आमतौर पर हम पुनरावर्तन को कॉम्बिनेटर के रूप में देखते हैं , प्रकार का प्रोग्राम : यानी, यह एक ऐसा फंक्शन लेता है, जो किसी अन्य "सेल्फ" तर्क को कॉल करता है, और इसे एक एकल पुनरावर्ती फ़ंक्शन में बदल देता है।∀ ए । ( a → a ) → $Y$$\forall a \ldotp (a \to a) \to a$

अब, यह करने के लिए करी-हावर्ड समाकृतिकता लागू होते हैं: अब हम एक सबूत है कि, किसी भी प्रस्ताव के लिए है , अगर ही अर्थ है, तो हम साबित कर सकते हैं । हम इस तरह से कुछ भी साबित कर सकते हैं!a $a$$a$$a$

यहाँ कुंजी यह है कि वाई-कॉम्बिनेटर एक भाषा में बनाया गया है, इसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया गया है। इसलिए यदि आप चाहते हैं कि यह आपको समस्या न पैदा करे, तो इसे एक स्वयंसिद्ध के रूप में प्राप्त करें!

अधिकांश औपचारिक प्रूफ सिस्टम, इस वजह से, आपके पुनरावर्तन को अच्छी तरह से स्थापित करने की आवश्यकता होती है। वे केवल उन कार्यों को स्वीकार करते हैं जिन्हें वे साबित कर सकते हैं कि वे रुक जाएंगे। और परिणामस्वरूप, वे कुछ ऐसे कार्यक्रमों को अस्वीकार कर देते हैं जो रुक जाते हैं, लेकिन जो वे इसके लिए साबित नहीं कर सकते हैं।

Coq इसे काफी सीमित तरीके से करता है: इसके लिए केवल यह आवश्यक है कि किसी भी पुनरावर्ती कार्यों में एक तर्क हो जहां कोई भी पुनरावर्ती कॉल केवल उस तर्क के छोटे संस्करणों का उपयोग करें। आगाडा कुछ ऐसा ही करता है, लेकिन कुछ और कार्यक्रमों को स्वीकार करने के लिए थोड़े अधिक फैंसी चेकिंग के साथ।

Comments

क्या Coq कुछ वैध प्रमेयों से इनकार करता है जिन्हें आप अन्यथा साबित कर सकते हैं? या जब हमेशा समग्र चेकर बहुत ही रूढ़िवादी होता है, तो क्या इसके लिए हमेशा वर्कअराउंड होते हैं? (मुझे लगता है कि उत्तर आश्रित प्रकार के सिद्धांत पर आधारित अन्य प्रमाण सहायकों के लिए उत्तर समान है?)

— स्टोवटॉप

Coboy में @boyers FWIW, किसी भी फ़ंक्शन को साबित करने के लिए निर्माण Functionया Program Fixpointनिर्माण का उपयोग कर सकता है, यदि कुल परीक्षक विफल रहता है। एक सरल उदाहरण सूचियों पर मर्ज-सॉर्ट फ़ंक्शन है। हमें मैन्युअल रूप से यह साबित करने की आवश्यकता है कि हम सूचियों (लंबाई> 1) को कड़ाई से छोटे उपखंडों में विभाजित करें।

— एंटोन ट्रूनोव

@ लॉयर्स हां, गोडेल की पहली प्रमेय द्वारा ऐसी चीजें होनी चाहिए जो आप कोक में साबित नहीं कर सकते। व्यवहार में यह उनका सामना करने के लिए दुर्लभ है, लेकिन हमेशा विकर्ण तर्क होता है: Coq खुद को साबित नहीं कर सकता है, यह केवल एक सबसेट (बहुत बड़ा उपसमूह, मन, सभी सुविधाओं सहित) को साबित कर सकता है, लेकिन कितना पुनरावर्ती पर कम सीमा के साथ इसे संभाल सकते हैं)। मुझे यह याद है कि कोक का सिद्धांत पीनो एक्सिओम्स के बराबर है और साथ ही एक निश्चित बड़े ऑर्डिनल का अस्तित्व भी है (और इसलिए ऐसे प्रमाण जो एक बड़े ऑर्डिनल के लायक नहीं हैं), लेकिन मुझे अब संदर्भ नहीं मिल रहा है।

— गाइल्स का SO- बुराई पर रोक '31

@AntonTrunov इस संदर्भ में, Programऔर एक लाल हेरिंग की तरह हैं। वे सिद्धांत नहीं बदलते हैं। वे एक प्रमाण में एक उपाय का उपयोग करने के लिए वाक्यविन्यास चीनी क्या करते हैं: यह तर्क देने के बजाय कि जिस वस्तु में आप रुचि रखते हैं वह छोटी हो जाती है, आप अप्रत्यक्ष स्तर जोड़ते हैं: किसी अन्य वस्तु की गणना छोटी हो जाती है (जैसे कुछ आकार) और यह साबित करना छोटा हो जाता है। Wfपुस्तकालय देखें ।

— गिल्स एसओ- बुराई को रोकें '31

@ मुझे लगता है कि संदर्भ व्यावहारिक (ठोस) पक्ष के बारे में था, जैसे कि जब कोक के उत्तराधिकारी विफल होते हैं ... क्या आप कृपया उस पेपर को खोजने की कोशिश कर सकते हैं जिसका आपने उल्लेख किया है? एक लिंक बहुत सराहना की जाएगी।

— एंटोन ट्रूनोव