क्या कोई परिमित समस्या एनपी-पूर्ण में हो सकती है?

Question

मेरे लेक्चरर ने बयान दिया

कोई भी परिमित समस्या एनपी-पूर्ण नहीं हो सकती है

वह उस समय सुडोकू के बारे में बात कर रहा था कि लाइनों के साथ कुछ कह रहा था कि 8x8 सुडोकू के लिए समाधान का एक सीमित सेट है, लेकिन मैं ठीक से याद नहीं कर सकता कि उसने क्या कहा। मैंने वह नोट लिखा है जिसे मैंने उद्धृत किया है लेकिन अभी भी वास्तव में समझ में नहीं आया है।

अगर मैं गलत नहीं हूं तो सुडोकू एनपी पूरा हो गया है। Clique की समस्या NP-Complete भी है और अगर मुझे 4-Clique समस्या थी, तो यह NP-पूर्ण समस्या नहीं है?

Comments

'परिमित समस्या' क्या है? Google और विकिपीडिया मदद नहीं कर रहे हैं।

— एंटोन ट्रूनोव

@AntonTrunov एक समस्या जिसमें इनपुट की लंबाई बंधी है।

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus, सभी मान्य ट्यूरिंग मशीन * इनपुट जोड़े के सच नहीं है? IIRC प्रतीकों में से एक को खाली प्रतीक नामित किया गया है और इनपुट में शुरू में एक बाउंडेड क्षेत्र है जिसके बाहर खाली प्रतीक के अलावा अन्य चिह्न दिखाई नहीं दे सकते हैं। शब्द "एनपी पूरा" आमतौर पर धाराओं के संचालन के संदर्भ में उपयोग नहीं किया जाता है, जो उस धारणा को शिथिल किए बिना मॉडल नहीं किया जा सकता है।

— माइक सैमुअल

@ मायकेसमुएल जब मैं बंधी हुई लंबाई कहता हूं, तो मेरा मतलब है कि अधिकतम 100 पर आकार का इनपुट। (या 100 के अलावा कोई भी संख्या।)

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus, ठीक है। मैं कह रहा हूं, "एनपी पूरा" शब्द का उपयोग केवल तब किया जाता है जब इनपुट पर कोई गैर-रिक्त प्रतीक नहीं होते हैं या एक पूर्णांक मौजूद होता है जो बाईं ओर के गैर-रिक्त प्रतीक और सबसे दाहिने गैर-रिक्त प्रतीक के बीच प्रतीकों की संख्या होती है । 100 ऐसा उदाहरण होगा।

— माइक सैमुअल

Answer 1

यदि एक परिमित समस्या एनपी-पूर्ण है तो पी = एनपी, क्योंकि प्रत्येक परिमित समस्या में एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म (यहां तक ​​कि एक निरंतर समय एल्गोरिथ्म) है।

$n^2 \times n^2$

अंत में, 4-क्लिक समस्या, जबकि एक परिमित समस्या नहीं है (इनपुट ग्राफ का अबाधित आकार है), एक आसान समस्या है जिसमें एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म है।

Comments

तो क्या यह एक बहुपद समय एल्गोरिथ्म के बाद 4-पी समस्या है?

— TheRapture87

@ Aceboy1993 राइट, यही पी। की परिभाषा है

— युवल फिल्मस

लेकिन फिर K-Clique को NP-Complete में क्यों माना जाता है? क्या K केवल 4 जैसी संख्या का प्रतिनिधित्व नहीं करता है?

— रैप्टर87

$k$$k$

साथ ही, हम यह साबित कर सकते हैं कि Clique NP-complete है।

— युवल फिल्मस 13

Answer 2

आपके शिक्षक का कथन गलत है या शायद आपने उसे सही तरीके से नहीं सुना। सही कथन है

$L$$|L| \geq 1$$P = NP$

$P \neq NP$$|L|>1$$\emptyset$$P=NP$$P \neq NP$

सुडोकू या शतरंज एनपी-पूर्ण में नहीं (जैसा कि युवल ने इंगित किया है), क्योंकि उनका इनपुट परिमित आकार 9x9 या 8x8 बोर्ड है (मैं निर्णय संस्करणों के बारे में बात कर रहा हूं, चाहे सुडोकू का समाधान हो या शतरंज की जीतने की रणनीति हो)। शतरंज में, मैं यह मान रहा हूं कि यदि आप किसी पद को दोहराते हैं, तो इसे ड्रा माना जाता है।

Answer 3

स्मरण करो: एक समस्या X NP- पूर्ण iff है अगर यह दो मानदंडों को पूरा करती है:

क) यह एनपी में है - यानी एक्स का कोई भी अनुमानित समाधान बहुपद समय में सत्यापित किया जा सकता है।

बी) यह एनपी के लिए पूरा हो गया है - यानी एनपी में हर समस्या वाई में एक बहुपद-समय की कमी है जो एक्स के उदाहरण के लिए वाई का एक उदाहरण का अनुवाद करता है (ताकि कोई भी बहुपद-समय कार्यक्रम जो हल करता है एक्स भी बहुपद-काल में हल करेगा। )।

हम सहमत हो सकते हैं कि एक 9x9 सुडोकू संतुष्ट (ए)। यह (ख) जहां चीजें गिर जाती हैं। अधिक आम तौर पर - समस्याएं (एनपी या अन्यथा में) आमतौर पर एन के मनमाने ढंग से बड़े मूल्यों के लिए आकार एन के उदाहरण हैं ; निश्चित रूप से यह एनपी में ज्ञात समस्याओं के लिए सच है। इस तरह की समस्या से एक कमी, जिसमें अधिकतम संभव समस्या का आकार है, संभवतः एक वैध उदाहरण-से-उदाहरण की कमी नहीं हो सकती है, क्योंकि पूर्व में हमेशा (बाद में) उत्तरार्द्ध की तुलना में अधिक उदाहरण हैं। यही कारण है कि सुडोकू को एनपीएन-पूर्णता पर विचार करने से पहले एनएक्सएन मैट्रिसेस के लिए सामान्यीकृत किया जाना चाहिए।

Comments

यह सही नहीं है। पूरी तरह से कई उदाहरणों के साथ समस्या के लिए कई उदाहरणों के साथ एक समस्या से एक वैध कटौती करना पूरी तरह से संभव है। उदाहरण के लिए, यहां SAT से कमी की समस्या के बारे में बताया गया है कि क्या लंबाई -1 स्ट्रिंग "a" के बराबर है: यदि SAT उदाहरण संतोषजनक है, तो इसे स्ट्रिंग "a" पर मैप करें; अन्यथा, इसे स्ट्रिंग "बी" पर मैप करें। अब, यह कमी (शायद) बहुपद समय में गणना योग्य नहीं है, लेकिन यह पूरी तरह से वैध कमी है।

— डेविड रिचरबी