गेंदों के जोड़े के साथ डिब्बे भरना

एक बिन को पूर्ण कहा जाता है यदि उसमें कम से कम गोले हों। हमारा लक्ष्य है कि जितना संभव हो सके उतने डिब्बे बनाने हैं। $k$

सबसे सरल परिदृश्य में, हमें गेंदें दी जाती हैं और उन्हें मनमाने ढंग से व्यवस्थित कर सकते हैं। उस मामले में, जाहिर है कि हम जो सबसे अच्छा कर सकते हैं, वह है मनमाने ढंग से डिब्बे और उनमें से हर एक में गेंदों को डालना । $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

मुझे निम्नलिखित परिदृश्य में दिलचस्पी है: हमें गेंदों के जोड़े दिए गए हैं । हमें प्रत्येक जोड़ी की दो गेंदों को दो अलग-अलग डिब्बे में रखना होगा। फिर, एक विरोधी आता है और प्रत्येक जोड़ी से एक गेंद निकालता है। निष्कासन के बाद पूर्ण डिब्बे की अधिकतम संभव संख्या के लिए हम क्या कर सकते हैं? $n$

एक साधारण रणनीति है: पिक जोड़े डिब्बे की। प्रत्येक बिन-जोड़ी को बॉल-जोड़े से भरें (प्रत्येक बिन में बॉल होते हैं, प्रत्येक जोड़ी से एक बॉल)। फिर, चाहे हमारी प्रतिकूलता दूर हो, हमारे पास प्रत्येक बिन-जोड़ी में कम से कम एक पूर्ण बिन है। $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

क्या हमारे पास एक ऐसी रणनीति है जो बड़ी संख्या में पूर्ण डिब्बे ( ) प्राप्त करती है? $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— एरल सेगल-हलेवी
स्रोत

मैं ऐसा नहीं मानता

— Zach Saucier

n

$n$ दिया जाता है और दिया जाता है? पर निर्भर करता है ?

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— ईविल

@ ईवीएलजेएस और दिए गए हैं, और स्वतंत्र हैं।

n

$n$

k

$k$

— एरेल सेगल-हलेवी

सब उसकी के खिलाड़ी जगह है गेंदों के जोड़े और फिर विरोधी की पसंद गेंदों ?, या खिलाड़ी जगह गेंदों की एक जोड़ी करता है और फिर विरोधी है कि जोड़ी से एक चुन लेगा और फिर प्लेयर रखती है अगले जोड़ी और विरोधी की पसंद एक और इतने पर जब तक कि वहाँ गेंदों के अधिक जोड़े जगह नहीं हैं?

n

$n$

n

$n$

— रोटिया

@rotia खिलाड़ी अपने सभी n गेंदों के जोड़े रखता है, और फिर विरोधी n गेंदों को चुनता है।

— इरेल सहगल-हलेवी

टीएल; डीआर - नहीं, सरल रणनीति से बेहतर कोई रणनीति नहीं है। यहाँ प्रमाण का मुख्य विचार है। जब पर्याप्त गेंदें नहीं होती हैं, तो एक -full बिन से एक बिन तक अधिकांश गेंदों के साथ "बॉल पथ" होगा । विरोधी है कि मार्ग के किनारे है कि कम पूर्ण बिन, जो बार-बार किया जा सकता है जब तक की संख्या से उस संपूर्ण बिन से एक गेंद पारित कर सकते हैं -full डिब्बे कम है। $k$ $k-2$ $k$

ग्राफ सिद्धांत में सुधार

मान लें कि हमें फ़ंक्शन साथ एक साधारण परिमित ग्राफ गया है । हम कहते हैं कि किनारे में गेंद हैं । चलो हो (अंत में चिह्नित धार) सेट । यदि संतुष्ट करता है हर किनारे के लिए , तो हम कहते हैं कि है -distributing। कोई भी -distributing फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन को प्रेरित करता है, जिसे हम एक ही प्रतीक का उपयोग करते हैं, , । हम कहते हैं कि $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ बॉल्स । दिए गए , , द्वारा । $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

(Erel-Apass Theorem) किसी भी सरल परिमित ग्राफ और , हमारे पास $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

कल्पना करें कि प्रत्येक शीर्ष एक बिन है। प्रत्येक किनारे के लिए , गेंद-जोड़े को और में रखा जाता है , जिनमें से प्रत्येक में गेंदें होती हैं। इनमें गेंद जोड़े, विरोधी दूर लग सकता है से गेंदों और से गेंदों । अंतिम परिणाम वैसा ही है जैसे कि, शुरू में सभी खाली डिब्बे दिए गए हैं, प्रत्येक किनारे के लिए , गेंदों को इसमें डाल दिया जाता है और फिर, और गेंदों को और वितरित किया जाता है $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ क्रमशः विरोधी द्वारा। इसलिए, एरेल-एपास प्रमेय का कहना है कि स्मार्ट प्रतिकूल परिस्थितियों को हटाने के बाद के-पूर्ण डिब्बे सुनिश्चित करने के लिए कम से कम जोड़े गेंदों की जरूरत होती है। $t$ $(2k-1)t$ एक और शब्द में, पूर्ण डिब्बे को अधिकतम संभव संख्या में छोड़ देने की एक इष्टतम रणनीति वास्तव में "सरल रणनीति" है, जो बार-बार बॉल- जोड़ी के साथ डिब्बे की एक अलग जोड़ी को भरती है जब तक कि हमारे पास दोहराने के लिए पर्याप्त गेंद नहीं है। $2k-1$

प्रमेय का प्रमाण

विरोधाभास के लिए, और को एक प्रतिरूप मानें, जिनकी संख्या सभी संख्याओं में सबसे छोटी है। है, वहाँ है -distributing ऐसी है कि सब के बीच कम से कम है के -distributing समारोह । इसके अलावा, $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

Let । चलो । तो । $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

दावा एक: । $V_s\neq\emptyset$ दावे का प्रमाण। मान लीजिए अन्यथा खाली है। हमें भी पुन: उपयोग करते हैं से एक समारोह के रूप करने के लिए ऐसी है कि किसी भी ।
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ इसलिए एक वर्टिकल होना चाहिए जैसे कि ।

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

प्रेरित सेटअप और , जहां , प्रेरित ग्राफ़ और कहाँ है । किसी भी के लिए -distributing समारोह , हम एक करने के लिए इसे विस्तार कर सकते हैं समारोह -distributing जहां रूप में ही है पर , जबकि के लिए हर बढ़त के निकट । ध्यान दें कि बाद से $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ । फिर So, और एक प्रतिरूप है जिसकी संख्याओं की संख्या में कोने की संख्या से छोटी है । और बारे में हमारी धारणा से यह सच नहीं हो सकता । तो दावा एक सिद्ध है।

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

किसी शीर्ष के लिए , परिभाषित शिखर से -reachable अगर वहाँ एक रास्ता है , ऐसी है कि । चलो । $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

दावा दो: $V_r = V$ दावा दो का सबूत: मान लीजिए । और किसी भी शीर्ष लिए , चूँकि हम से तक नहीं पहुँच सकते हैं , यदि एक किनारे है, तो विचार करें प्रेरित सेटअप और , जहां , प्रेरित ग्राफ और जहां । किसी भी -distributing फ़ंक्शन ,
$V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ जहां रूप में ही है पर और के रूप में ही अन्य किनारों पर। ध्यान दें कि सभी कोने के बाद से कम से कम के साथ गेंदों के अंदर में हैं । फिर So, और $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ । और बारे में हमारी धारणा से यह सच नहीं हो सकता । इसलिए दावा दो साबित हुआ है।

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

अब हम प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

चूंकि और , वहाँ है एक पथ , साथ , और । आइए एक नए -distributing function को से ताकि $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ और और , और को छोड़कर सभी कोने पर सहमत हैं । प्राप्त करने के लिए हम इस प्रक्रिया को पर लागू कर सकते हैं । इस दोहरा कुछ बड़ा पर्याप्त के लिए समय , हम एक प्राप्त करेंगे समारोह -distributing के साथ । हालांकि, हम मान लिया है कि के बीच में कम से कम है के समारोह -distributing $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ । यह विरोधाभास दर्शाता है कि हमने एरेल-एपास प्रमेय को साबित कर दिया है।

— जॉन एल।
स्रोत

मैंने प्रमाण पढ़ा, यह अच्छा लग रहा है। वास्तव में, अगर मैं सही ढंग से समझूं, तो यह और भी सामान्य है क्योंकि यह एक मनमाना ग्राफ के लिए अनुमति देता है - मेरा सवाल एक विशेष मामला है जहां जी पूरा ग्राफ है। क्या ये सही है? एक और सवाल: जहां वास्तव में सबूत इस तथ्य का उपयोग करता है कि एम ऐसा है कि एफके (एम) न्यूनतम है? मैं देखता हूं कि इसका उपयोग केवल अंतिम पैराग्राफ में किया जाता है - क्या इस तथ्य के बिना प्रमाण में पिछले दावे सही हैं?

— ईगल सहगल-हलेवी

हां, प्रमेय किसी भी ग्राफ के लिए सही है क्योंकि यह कहता है "किसी भी (सरल परिमित) ग्राफ जी (वी, ई)" के लिए। प्रत्येक दावे के लिए की आवश्यक है। यदि आप "काउंटरएक्सप्लांट" की खोज करते हैं, तो आप पाएंगे कि न्यूनतमता का उपयोग कहां किया जाता है।

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— जॉन एल