रैंडमाइज़्ड मेल्डेबल हीप

रैंडमाइज़्ड मेल्डेबल हीप्स में एक ऑपरेशन " मेल्ड " होता है, जिसे हम फिर सम्मिलित करने सहित अन्य सभी ऑपरेशनों को परिभाषित करने के लिए उपयोग करते हैं।

सवाल यह है कि उस पेड़ की अपेक्षित ऊंचाई कितनी है $n$ नोड्स?

गैम्बिन और मैलिंकोव्स्की के प्रमेय 1, रैंडमाइज़्ड मेल्डेबल प्रायोरिटी क्यूज़ (एसओएफएसईएम 1998 की कार्यवाही, कंप्यूटर साइंस खंड में व्याख्यान नोट्स। 1521, पीपी। 344-349, 1998; पीडीएफ ) इस सवाल का जवाब प्रमाण के साथ देता है। हालाँकि, मुझे समझ नहीं आ रहा है कि हम क्यों लिख सकते हैं:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

मेरे लिए पेड़ की ऊंचाई है

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

जिसका मैं विस्तार कर सकता हूं:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

दो उपप्रकारों की ऊँचाई की संभावना बराबर होती है , कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है: $k$

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

तो अंत में मुझे मिलता है:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

यह वह जगह है जहां मैं फंस गया हूं। मैं देख सकता हूं कि कमोबेश बराबर (हालांकि हमें सबसे ज्यादा ) । लेकिन सिवाय इसके कि सूत्र से शुरू से ही कुछ भी नहीं। $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

उप्र की ऊंचाइयां मुझे स्वतंत्र नहीं लगती हैं।

सहायता के लिए धन्यवाद।

— माट्यूज़ विस्ज़स्की
स्रोत

कागज में, ऊंचाई नहीं है। यह एक पूर्ण बाइनरी ट्री में जड़ से दूर एक यादृच्छिक चलने की लंबाई है (वे जोर देते हैं कि प्रत्येक पत्ती "नील" है), इसलिए उनके पास जो अभिव्यक्ति है वह सही बात है। $h_Q$

इसके अलावा, आप प्रेरण से बच सकते हैं। गहराई एक विशिष्ट पत्ते पर समाप्त होने की संभावना सिर्फ । तो चलने की अपेक्षित लंबाई है $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

जो एक वितरण का आकार का एक सेट है। $|\text{leaves}(Q)|$

— लुई
स्रोत

क्या आप अधिक विस्तार से बता सकते हैं कि मुझे इंडक्शन का उपयोग क्यों नहीं करना है? मैं अपेक्षित लंबाई के फार्मूले से सहमत हूं। मैं अभी नहीं देखता कि यह O (logn) क्यों होना चाहिए? स्ट्रिंग्स पर वितरण के एंट्रॉपी से आपका क्या मतलब है?

— माटुस्ज़ विस्ज़स्की

क्योंकि आकार सेट पर एक वितरण की एन्ट्रापी को एक समान वितरण द्वारा अधिकतम करने के लिए जाना जाता है, जिस स्थिति में यह ।

n

$n$

\log n

$\log n$

— लुई

रैंडमाइज़्ड मेल्डेबल हीप - अपेक्षित ऊँचाई