क्या इस क्रिया चक्र कवर समस्या के लिए एक कुशल एल्गोरिदम है?

Question

मैं एक निर्देशित ग्राफ G के अधिकतम वर्टेक्स चक्र कवर को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म खोजने की कोशिश कर रहा हूं - अर्थात, असंतुष्ट चक्रों का एक सेट जिसमें सभी कोने होते हैं , जितने संभव हो उतने चक्रों के साथ (हम विचार नहीं करते हैं व्यक्तिगत अनुलंब चक्र यहाँ)। मुझे पता है कि एक न्यूनतम वर्टेक्स साइकिल कवर खोजने की समस्या , साथ ही साथ चक्रों के साथ एक वर्टेक्स साइकिल कवर खोजने की समस्या एनपी-पूर्ण है। लेकिन अधिकतम मामले का क्या?$G$$G$$k$

हालांकि मुझे सामान्य रूप से इस दिलचस्प का जवाब मिलेगा, जिन ग्राफ़ का मैं इसके लिए उपयोग करना चाहता हूं, वे वास्तव में उनके निर्माण से काफी विवश हैं, इसलिए हो सकता है कि समस्या एनपी-पूर्ण होने पर भी इन विशिष्ट उदाहरणों के लिए एक बहुपदीय समाधान हो सकता है।

हम पूर्णांकों की एक सूची है , तत्वों और हम उपयोग करेंगे , तत्वों का उल्लेख करने के यह छँटाई के बाद। उदहारण के लिए:l i s s i i$L$$l_i$$S$$s_i$$L$

$$L = (1, 3, 2, 5, 0, 7, 4, 2, 6, 0, 8, 1)\\ S = (0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)$$

ग्राफ के पहचान जोड़े जैसे कि और । ग्राफ में एक निर्देशित किनारा है यदि और केवल अगर । (इस ग्राफ में एक चक्र मानों के एक सेट से मेल खाता है, जिसे चक्रीय रूप से अनुमति दी जा सकती है जैसे कि वे अपनी छँटाई स्थिति में समाप्त हो जाएंगे।)$(n, i)$$l_i = n$$s_i \neq n$$(n, i) \rightarrow (m, j)$$s_j = n$

उपरोक्त उदाहरण निम्नलिखित ग्राफ (1-आधारित सूचकांकों का उपयोग करके) प्राप्त करेगा:

एक चीज जो काम नहीं करती है वह है सबसे छोटे चक्र को हटाने का लालची दृष्टिकोण (जैसा कि इस उदाहरण से पता चलता है)।

ध्यान दें कि यह समस्या है (यदि मैंने कोई गलती नहीं की है) यह पूछने के बराबर है कि आपको दी गई सूची को क्रमबद्ध करने के लिए कितने स्वैप की आवश्यकता है । (जो पहली जगह में इस समस्या को देखने से प्रेरित है।)

जुहो के उत्तर के कुछ बिंदुओं और साहित्य के माध्यम से थोड़ा और अधिक स्थानांतरित होने के बाद, मैं असाइनमेंट समस्या में आया हूं जो बहुत निकट से संबंधित लगता है। हालाँकि, असाइनमेंट की समस्या एक भारित द्विदलीय ग्राफ के रूप में तैयार की गई है और अब तक मैं इस समस्या को कम करने के लिए किनारों और वज़न को चुनने का तरीका नहीं खोज पाया हूँ। यदि हम एक वजन समारोह को कम करने के संदर्भ में समस्या को यहाँ तैयार करना चाहते हैं, तो एक सहज दृष्टिकोण यह कहना होगा कि प्रत्येक चक्र का वजन जहाँचक्र में किनारों (या कोने) की संख्या है। (बेशक, यह सिर्फ के वजन को सेट करने के बराबर है$|C|-1$$|C|$$-1$।) यही है, वजन चक्र के आकार पर निर्भर करता है, न कि इसमें शामिल विशेष किनारों पर। लेकिन शायद यह समस्या को कम करने के लिए किसी और को विचार देता है।

यह भी प्रतीत होता है कि चक्रों के आकार को बांधना समस्या को सामान्य ग्राफ़ के लिए APX-कठिन बनाता है। यह जरूरी नहीं है कि यह चक्रों की संख्या को अधिकतम करने के कार्य के लिए सही है, और न ही यहां विचाराधीन विशिष्ट रेखांकन के लिए, लेकिन यह पर्याप्त रूप से निकट से संबंधित लगता है कि यह महत्वपूर्ण हो सकता है।

संक्षेप में: क्या उपरोक्त प्रक्रिया से निर्मित रेखांकन के लिए एक अधिकतम वर्टेक्स डिसऑर्डर साइकिल कवर मिल सकता है?

दो पक्षों के रूप में, मुझे इस बात में भी दिलचस्पी होगी कि क्या अधिकतम वर्टेज डिस्चार्ज साइकिल कवर में भी मनमाना रेखांकन के लिए एक कुशल समाधान है जो कम से कम एक चक्र कवर (जो शायद मुख्य प्रश्न के उत्तर के रूप में बाहर गिर जाएगा) को स्वीकार करता है, या क्या अधिकतम कवर में चक्रों की संख्या का निर्धारण (प्रत्येक में निहित वास्तविक किनारों के विपरीत) समस्या को कोई भी सरल बनाता है। मुझे अलग-अलग प्रश्नों के रूप में पोस्ट करने में खुशी हो रही है अगर लोगों को लगता है कि वे अपने दम पर पूर्ण उत्तर देने के लायक हैं।

Comments

क्या आपने गुर्दे के आदान-प्रदान पर सीएस साहित्य को देखा है? समस्या संबंधित लगती है, इसलिए मुझे आश्चर्य होता है कि क्या कोई भी तरीका इस पर लागू किया जा सकता है। यह एक मृत अंत है, हालांकि हो सकता है ...

— DW

@ मैं क्या नहीं है (मुझे पता नहीं है कि एक बात है)। मैं देखूंगा कि मुझे क्या मिल सकता है, धन्यवाद।

— मार्टिन एंडर

समस्या वास्तव में एक सैद्धांतिक पीओवी से अध्ययन किए गए गुर्दे के आदान-प्रदान के समान है। जैसे रफगार्डन द्वारा यह पत्र बताता है कि छोटे चक्र लगभग स्पष्ट कारणों (पी 3) के लिए पसंद किए जाते हैं; चक्र का आकार "एक साथ संचालन" और छोटे लोगों को जटिलताओं या दाता बदलते दिमाग आदि के साथ सभी ऑपरेशनों को खींचने का जोखिम कम करता है

— vzn

@AustinMohr मेरा मानना ​​है कि मेरे द्वारा बताए गए निर्माण से प्राप्त ग्राफ हमेशा चक्र में (और इसके अलावा, कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन सा चक्र हटाते हैं, शेष अभी भी एक चक्र में डीकोप्रोजेक्ट होगा)। यदि आप सामान्य ग्राफ़ को भी संबोधित करना चाहते हैं, तो मान लें कि कम से कम एक पूर्ण कवर मौजूद है।

— मार्टिन एंडर

@ मार्टिनबटनर आपके विशिष्ट मामले में, यदि सभी सूची तत्व अलग-अलग हैं, तो क्या आपकी समस्या क्रमपरिवर्तन के (अद्वितीय) चक्र अपघटन को खोजने के बराबर होगी ?

— mhum

Answer 1

$G$$k$$k=2$$k=3$ $k$$k$

$G$$G$$((3/5)-\epsilon)$$\epsilon > 0$

उपरोक्त दावों के विवरण और प्रमाण के लिए, देखें [1]।

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[१] ब्लशर, मार्कस और बोडो मेंथे। "3-चक्र कवर के लिए दो सन्निकटन एल्गोरिदम।" कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन के लिए अनुमान एल्गोरिदम। स्प्रिंगर बर्लिन हीडलबर्ग, 2002. 40-50।

Comments

दिलचस्प है, मैं उस कागज से संदर्भों का पालन करने की कोशिश करूंगा। धन्यवाद। (जब मैंने सोचा कि मुझे कुछ गलत करना चाहिए तो के-साइकल कवर बिल्कुल के साइकल वाले कवर थे। या हो सकता है कि यह कहीं और इस्तेमाल की जाने वाली एक अलग परिभाषा हो।)

— मार्टिन एंडर

@ MartinBüttner वैसे, आप यहाँ Bläser के PhD थीसिस को देखना चाहेंगे । (यह जर्मन में है, लेकिन आपको संभवतः उस :-) के साथ कोई समस्या नहीं होगी)। यह वास्तव में अधिकतम वजन 2-चक्र कवर कंप्यूटिंग के विवरण को कवर करना चाहिए।

— जुहो

$|V|-n$$n$

इसके बारे में कुछ और सोचकर, मुझे यकीन नहीं है कि वास्तव में समस्या को वजन के संदर्भ में तैयार करना संभव है। समान भार के साथ सभी चक्र कवरों का वजन समान होता है। एक चक्र के लिए मेरी "लागत" वास्तव में इसकी लंबाई शून्य से 1 है। यही कारण है कि मैं यथासंभव अधिक से अधिक चक्र चाहता हूं। यदि इसे भार के संदर्भ में तैयार किया जा सकता है तो यह असाइनमेंट की समस्या को कम कर देता है, लेकिन अगर मुझे नहीं लगता कि मुझे खोज जारी रखने की आवश्यकता है।

— मार्टिन एंडर