की फॉर्म पावर के सभी बाइनरी स्ट्रिंग्स को स्वीकार करने के लिए डी ( द्वारा विभाज्य नहीं ) यानी लिए दिए गए

9

हम DFA द्विआधारी संख्या को स्वीकार करने से विभाज्य फार्म कर सकते हैं । $n$

उदाहरण के लिए डीएफए को द्विआधारी संख्या को 2 से स्वीकार करना निम्नानुसार बनाया जा सकता है:

इसी प्रकार डीएफए को बाइनरी संख्या को 3 से विभाजित करके स्वीकार किया जा सकता है:

हम इन प्रकार के डीएफए बनाने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित प्रक्रिया का पालन कर सकते हैं। हालांकि फॉर्म की संख्याओं को स्वीकार करने के लिए तर्क को कहने के लिए कोई अच्छी तरह से परिभाषित प्रक्रिया या बेहतर हो सकती है ? $n^k$

उदाहरण के लिए, आइए DFA को फॉर्म सभी नंबरों को स्वीकार करने पर विचार करें । यह भाषा , इस प्रकार regex । हम निम्नानुसार DFA बना सकते हैं: $2^k$ $\{1,10,100,1000,...\}$ $10^*$

मैंने और इसी तरह के लोगों के लिए DFA बनाने की कोशिश की ? लेकिन कर नहीं पा रहा था। या यह सिर्फ बाइनरी समकक्षों के अपने पैटर्न है जो DFA बनाने के लिए संभव बना रहा था और हम विशिष्ट लिए फॉर्म के सभी द्विआधारी संख्या को स्वीकार करते हुए DFA नहीं बना सकते हैं ? $3^k$ $2^n$ $n^k$ $n$

— महा
स्रोत

मुझे लगता है कि आपके पास इसका जवाब है

3

@Raphael, nope, जो गुणकों के लिए है ; यह शक्तियों के बारे में है ।

n

$n$

n

$n$

— डीडब्ल्यू

fyi वहाँ अन्य "आस-पास" कार्य हो सकते हैं जो डीएफए द्वारा गणना योग्य हैं जैसे कि शक्तियों का विभाजन आदि। उदाहरण के लिए कोलैट्ज फ़ंक्शन (जिसमें 3 की शक्तियाँ शामिल हैं) को एक परिमित राज्य ट्रांसड्यूसर आदि द्वारा गणना की जा सकती है

— vz4

10

पम्पिंग लेम्मा का उपयोग करते हुए यहां एक त्वरित और गंदा सबूत है कि बाइनरी में युक्त भाषा नियमित नहीं है (ध्यान दें: यह नियमित है अगर टर्नरी में प्रतिनिधित्व किया जाता है, इसलिए प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण है)। $L$ $3^n$

मैं विकिपीडिया लेख पुनः पम्पिंग लेम्मा से अंकन का उपयोग करूंगा । विरोधाभास के लिए मान लें कि नियमित है। चलो _ के साथ किसी भी तार हो (पंपिंग लंबाई)। लेम्मा पंप करके, with और सभी । मैं संबंधित भागों के संख्यात्मक मानों के लिए , और भी लिखूंगा , और में उनकी लंबाई के लिए । संख्यात्मक रूप से हमारे पास कुछ लिए $L$ $w \in L$ $|w| \ge p$ $w = x y z$ $|y| \ge 1, |xy| \le p$ $i \ge 0$ $xy^i z \in L$ $x$ $y$ $z$ $|x|, |y|, |z|$ $w$ $w = 3^{k_0}$ $k_0 \in \mathbb{N}$ । उसी समय हमारे पास संख्यात्मक रूप से | इस प्रकार, हमारे पास है $w = z + 2^{|z|} y + 2^{|z|+|y|}x$

z + 2^{| z |} y + 2^{| z | + | y |} x = 3^{k_{0}}

$z + 2^{|z|}y+2^{|z|+|y|} x = 3^{k_0}$

अब, आइए को सभी लिए पंप करें $w$ $i \ge 0$

z + 2^{| z |} y (\sum_{j = 0}^{i - 1} (2^{| y |})^{j}) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}},

$z + 2^{|z|} y \left( \sum_{j=0}^{i-1} (2^{|y|})^j \right) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i},$

जहां । सरल करना हमें लिए मिलता है $k_0 < k_1 < k_2 < \ldots$ $i \ge 1$

z + 2^{| z |} y (2^{i | y |} - 1) / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}} .

$z + 2^{|z|} y (2^{i |y|} - 1) / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i}.$

Let | तो हमारे पास हैं $C = z - 2^{|z|} y / (2^{|y|}-1)$

3^{k_{i}} = 2^{| z | + i | y |} y / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x + C .

$3^{k_i} = 2^{|z|+i |y|} y / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x + C.$

अब, कि निरीक्षण करते हैं

3^{k_{i}} - 3^{k_{i - 1}} = (2^{| y |} - 1) (3^{k_{i - 1}} - C) .

$3^{k_i} - 3^{k_{i-1}} = (2^{|y|}-1)(3^{k_{i-1}} - C).$

इसलिए, हमारे पासध्यान दें कि । इस प्रकार, एक तरफ, दाहिने हाथ की तरफ का पूर्ण मूल्य कम से कम बढ़ता है, जो कि साथ अनंत तक जाता है । दूसरी ओर से स्वतंत्र है और एक स्थिर है। यह एक विरोधाभास देता है। $C (2^{|y|}-1) = 3^{k_{i-1}} (2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}).$ $|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$ $3^{k_{i-1}}$ $i$ $C(2^{|y|}-1)$ $i$

— डेनिस पैंक्राटोव
स्रोत

क्या आप थोड़ा विस्तार से बता सकते हैं कि क्यों सच है? मैं पूछ रहा हूँ क्योंकि इस असमानता को अकेले एक विरोधाभास तक पहुँचने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है: , इसके दोनों पक्षों को गुणा करते हुए , हम प्राप्त करते हैंइस प्रकार, , इस प्रकार , जो एक विरोधाभास है (आपके प्रमाण में दिए गए कारण से)।

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

3^{k_{i - 1}}

$3^{k_{i-1}}$

| 3^{k_{i - 1}} 2^{| y |} - 3^{k_{i}} | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|3^{k_{i-1}} 2^{|y|} - 3^{k_i}| \ge 3^{k_{i-1}}$

| C (2^{| y |} - 1) | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|C (2^{|y|} - 1)| \ge 3^{k_{i-1}}$

— एंटोन ट्रूनोव

1

चूंकि , हमारे पास सम है और विषम है। उनका अंतर विषम है, इसलिए कम से कम 1 पूर्ण मूल्य में है।

| y | \geq 1

$|y| \ge 1$

2^{| y |}

$2^{|y|}$

3^{k_{i} - k_{i - 1}}

$3^{k_i - k_{i-1}}$

— डेनिस पैंक्राटोव

10

यह देखने का एक तरीका है कि यह संभव नहीं है (जैसे) द्विआधारी विस्तार में की शक्तियों की भाषा जनरेटिंग फ़ंक्शन पर विचार करके है $L$ $3$

$\sum_{k=0}^{\infty}n_kz^k$ ,

जहां में लंबाई के शब्दों की संख्या है । इस कार्य को किसी भी नियमित लिए परिमेय अर्थात एक भागफल बहुपद कहते हैं । विशेष रूप से, संख्याएँ एक रेखीय पुनरावृत्ति को संतुष्ट करती हैं लिए कुछ और । $n_k$ $k$ $L$ $p(x)/q(x)$ $L$ $n_k$ $n_{k+p+1}=a_0n_k+\dots+a_{p}n_{k+p}$ $p\in\mathbb{N}$ $a_1,\dots,a_p\in\mathbb{Z}$

दूसरी ओर, चूँकि एक अपरिमेय संख्या है , हम उस को सभी , और अनुक्रम आवधिक नहीं है। यह एक विरोधाभास देता है, चूंकि अधिकांश चरणों के बाद, के मानों को दोहराना पड़ता है, और पुनरावृत्ति फिर आवधिक व्यवहार को जन्म देगी। $\log_2(3)$ $(1,2)$ $n_k\in\{0,1\}$ $k$ $(n_k)_{k\ge 1}$ $2^p$ $n_k,\dots,n_{k+p}$

— क्लाउस ड्रेगर
स्रोत

8

आपके प्रश्न का पूरा उत्तर कोभम [2] के (कठिन) परिणाम द्वारा प्रदान किया गया है।

यदि संख्या आधार को देखते हुए , प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट को पहचानने योग्य कहा जाता है यदि इसके तत्वों के आधार में अभ्यावेदन वर्णमाला के पर एक नियमित भाषा । इस प्रकार, के रूप में आप मनाया, की शक्तियों के सेट है -recognizable के बाद से यह नियमित रूप से सेट का प्रतिनिधित्व करती है वर्णमाला पर । इसी तरह, की शक्तियों के सेट है -recognizable - यह नियमित रूप से सेट से मेल खाती है और की शक्तियों के सेट - है $b$ $b$ $b$ $\{0, 1, \dotsm, b-1\}$ $2$ $2$ $10^*$ $\{0,1\}$ $4$ $2$ $1(00)^*$ $3$ $3$ पहचानने योग्य - यह वर्णमाला पर नियमित सेट से मेल खाती है । $10^*$ $\{0,1,2\}$

प्राकृतिक संख्याओं के एक सेट को अंततः आवधिक कहा जाता है अगर यह अंकगणितीय प्रगति का परिमित संघ है।

दो आधारों को गुणात्मक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि ऐसा है कि और दोनों ही शक्तियां हैं : उदाहरण के लिए और गुणात्मक रूप से और बाद से निर्भर हैं । $b, c > 1$ $r > 1$ $b$ $c$ $r$ $8$ $32$ $8 = 2^3$ $8 = 2^5$

प्रमेय [कोबहम] चलो और दो गुणात्मक स्वतंत्र आधार। यदि कोई सेट -recognizable और -recognizable है, तो यह अंततः आवधिक है। $b$ $c$ $b$ $c$

विशेष रूप से , की शक्तियों का समुच्चय है । हमने देखा है कि यह पहचानने योग्य है। यदि यह भी पहचानने योग्य था, तो यह अंततः आवधिक होगा, जो निश्चित रूप से लिए मामला नहीं है । $S$ $3$ $3$ $2$ $S$

कोहम के प्रमेय ने कई आश्चर्यजनक सामान्यीकरण और विकास किए। यदि आप रुचि रखते हैं तो मैं सर्वेक्षण [1] की सलाह देता हूं।

[1] वी Bruyère, जी बयाना, सी Michaux, आर Villemaire, तर्क और पूर्णांकों का -recognizable सेट, Journées Montoises (मॉन्स, 1992)। सांड। Belg। गणित। समाज। साइमन स्ट्विन 1 (1994), नहीं। 2, 191--238। नहीं में सुधार। 4, 577 है। $p$

[२] ए। कोहम, यूनिफॉर्म टैग सीक्वेंस, मैथ। सिस्टम थ्योरी 6 (1972), 164--192।

— J.-E. पिन
स्रोत

क्या आप संदर्भ ठीक कर सकते हैं, कृपया? अब वे दोनों [1] और [1] हैं।

— एंटोन ट्रूनोव