मैं इनपुट स्ट्रिंग की लंबाई पर इंडक्शन का उपयोग करके एक प्रमाण कैसे लिखूं?

Question

मेरे कम्प्यूटिंग थ्योरी कोर्स में, परिमित ऑटोमेटा के बारे में बयान साबित करने के लिए इनपुट स्ट्रिंग की लंबाई पर इंडक्शन का उपयोग करते हुए हमारी बहुत सी समस्याएं शामिल हैं। मैं गणितीय इंडक्शन को समझता हूं, हालांकि जब स्ट्रिंग्स चलन में आती हैं तो मैं असली में फंस जाता हूं। मैं वास्तव में इसकी सराहना करता हूं अगर कोई इस तरह के कदम से कदम उठाने की प्रक्रिया से गुजरेगा।

यहां एक उदाहरण समस्या है (हॉपक्रॉफ्ट और उलेमन 3 संस्करण से व्यायाम 2.2.10):

निम्नलिखित संक्रमण तालिका के साथ DFA पर विचार करें:

        ० १
       ________
-> ए | एबी
  * बी | बी 0 ए 0

इस DFA द्वारा स्वीकृत भाषा का अनौपचारिक रूप से वर्णन करें, और इनपुट स्ट्रिंग की लंबाई पर इंडक्शन द्वारा साबित करें कि आपका विवरण सही है।

यह पुस्तक में एक उत्तर दी गई समस्या है, इसलिए मैं अपना होमवर्क करने के लिए किसी की तलाश नहीं कर रहा हूं। मुझे सीधे किसी को यह समझाने की जरूरत है।

पुस्तक का उत्तर: ( यहाँ से लिया गया )

ऑटोमेटन बताता है कि क्या 1 की देखी गई संख्या भी (राज्य ए) या विषम (राज्य बी) है, बाद वाले मामले में स्वीकार करना। यह एक आसान प्रेरण है | w | यह दिखाने के लिए कि d (A, w) = A यदि और केवल यदि w की सम संख्या 1 है। आधार: | w | = 0. तब w, खाली स्ट्रिंग में निश्चित रूप से 1 की संख्या होती है, अर्थात शून्य 1 की, और δ- हैट (ए, डब्ल्यू) = ए।

संकेत: w से छोटे तार के लिए कथन मान लें। फिर w = za, जहां a या तो 0 या 1 है।

• केस 1: a = 0. यदि w में 1 की सम संख्या है, तो z आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, δ-hat (A, z) = A. DFA के परिवर्तन हमें (-hat (A, w) = A. बताते हैं, यदि w की विषम संख्या 1 है, तो z होता है। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, δ-hat (A, z) = B, और DFA के संक्रमण हमें A-hat (A, w) = B. बताते हैं। इस प्रकार, इस मामले में δ-hat (A, w) = एक और केवल अगर w की संख्या 1 है।

• केस 2: a = 1. यदि w की सम संख्या 1 है, तो z की विषम संख्या 1 है। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, δ-hat (A, z) = B। DFA के परिवर्तन हमें hat-hat (A, w) = A. बताते हैं, यदि w की विषम संख्या 1 है, तो z की सम संख्या है। 1 के। आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, δ-hat (A, z) = A, और DFA के परिवर्तन हमें hat-hat (A, w) = B. बताते हैं। इस प्रकार, इस मामले में δ-hat (A, w) ) = एक अगर और केवल अगर w की संख्या 1 है।

मैं समझता हूँ कि कैसे तरह बातें साबित करने के लिए प्रेरण का उपयोग करना। मैं सिर्फ इस उलझन में हूं कि यह इमारत के तारों के साथ कैसे काम करता है। मैं बोल्ड भागों से भ्रमित हूं। मुझे समझ नहीं आ रहा है कि वे किस तरह से आ रहे हैं / यह वास्तव में कैसे साबित होता है / यह कैसे आगमनात्मक है।$\sum_{i=0}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$

δ-हैट एक तरह से विस्तारित संक्रमण फ़ंक्शन है।

Answer 1

^{जैसा कि यह स्पष्ट नहीं है कि आपकी समस्या कहां है, मैं बहुत शुरुआत में शुरू करूंगा।}

गणितीय प्रेरणादायक चीनी फुसफुसाहट के खेल की तरह काम करता है (आदर्श मामले में, यानी सभी संचार दोषरहित है) या (पूरी तरह से स्थापित) डोमिनोज़ : आप कहीं से शुरू करते हैं और दिखाते हैं कि आपका हर अगला कदम कुछ भी नहीं तोड़ता है, यह मानते हुए कि कुछ भी टूट नहीं गया है। फिर।

औपचारिक रूप से, प्रत्येक प्रेरण प्रमाण में तीन मूल तत्व होते हैं:

• इंडक्शन एंकर , बेस केस भी : आप छोटे मामलों के लिए दिखाते हैं, जो दावा करता है।
• इंडक्शन परिकल्पना : आप मानते हैं कि जिस सेट के बारे में आप कुछ साबित करना चाहते हैं , उस दावे का एक निश्चित सबसेट है।
• प्रेरक कदम : परिकल्पना का उपयोग करना, आप दिखाते हैं कि दावा अधिक तत्वों के लिए है।

बेशक, स्टेप को ऐसे ट्यून करना होगा कि यह पूरे बेस सेट (लिमिट में) को कवर करे।

महत्वपूर्ण नोट: जो लोग अपने प्रेरण कौशल के बारे में आश्वस्त होते हैं वे अक्सर लंगर पर चमकते हैं और परिकल्पना को छोड़ देते हैं। जबकि यह एक विशेषज्ञ दर्शकों (जैसे एक कागज) को अपना काम प्रस्तुत करते समय ठीक है, यह खुद को प्रूफ करते समय अनुशंसित नहीं किया जाता है , खासकर एक शुरुआत के रूप में। सब कुछ लिखो।

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एक सरल उदाहरण पर विचार करें ; हम यह दिखाना चाहते हैं कि ∑ n i = 0 i = n ( n + $(\mathbb{N},\leq)$ सभी के लिए रखती हैn∈$\sum_{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$$n \in \mathbb{N}$ ।

• एंकर : के लिए , Σ n मैं = 0 मैं = 0 = n ( n + 1 $n=0$$\sum_{i=0}^{n} i = 0 = \frac{n(n+1)}{2}$ स्पष्ट रूप से रखती है।
• हाइपोथीसिस : मान लें कि एक मनमाना लिए रखती है, लेकिन fixed²n∈एन।$\sum_{i=0}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$$n \in \mathbb{N}$

• चरण : , योग की गणना करें:$n+1$

  $\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^{n+1} i = (n+1) + \sum_{i=0}^{n} i \overset{\text{IH}}{=} n+1 + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+2)(n+1)}{2}$

  तो पहचान । (हम ध्यान दें कि हमें केवल k = n के लिए परिकल्पना के एक छोटे से हिस्से की आवश्यकता थी$n+1$$k=n$ । अक्सर ऐसा होता है।)

आगमनात्मक सिद्धांत अब हमें विश्वास दिलाता है कि दावा वास्तव में धारण करता है: हमने इसे सीधे लिए दिखाया है । चरण कहता है, यदि यह 0 के लिए है, तो यह 1 के लिए भी है ; यदि यह 1 के लिए है , तो यह 2 के लिए भी है$0$$0$$1$$1$$2$ ; और इसी तरह।

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आइए एक और उदाहरण देखें, इस बार । दावा हम साबित करना चाहते है: हर परिमित सबसेट के लिए एक के एन , बिजली के आकार को निर्धारित 2 ए के एक है 2 | ए | ³। हम में हमारे प्रेरण प्रदर्शन ( एन , ≤ ) , फिर अर्थात् सबसेट के आकार पर, एक ।$(2^\mathbb{N}, \subseteq)$$A$$\mathbb{N}$$2^A$$A$$2^{|A|}$$(\mathbb{N}, \leq)$$A$

• एंकर: आकार , खाली सेट के (केवल) सेट पर विचार करें । स्पष्ट रूप से, 2 ly = { ∅ } और इसलिए | 2 ∅ | = 1 = 2 0 जैसा कि दावा किया गया है।$0$$2^\emptyset = \{\emptyset\}$$|2^\emptyset| = 1 = 2^0$
• हाइपोथीसिस: मान लें कि सभी सेट के लिए के साथ | ए | ≤ n कुछ मनमाने ढंग से साथ है, लेकिन तय n ∈ एन , हमारे पास है | 2 ए | = 2 | ए | ।$A \subseteq \mathbb{N}$$|A| \leq n$$n \in \mathbb{N}$$|2^A| = 2^{|A|}$

• कदम: Let आकार के arbitrary⁴ n + 1 , और ख ∈ बी मनमाना (जैसे ख के रूप में मौजूद n + 1 > 0 )। अब परिकल्पना पर लागू होता है बी ∖ { ख } और इस तरह | 2 बी ∖ { बी } | = 2 एन । जबसे$B \subseteq \mathbb{N}$$n+1$$b \in B$$b$$n+1 > 0$$B \setminus \{b\}$$|2^{B \setminus \{b\}}| = 2^n$

  ,$\qquad \displaystyle 2^B = 2^{B \setminus \{b\}} \cup \{ A \cup \{b\}\mid A \in 2^{B \setminus \{b\}} \}$

  हम वास्तव में है का दावा किया है।$|2^{B}| = 2 \cdot |2^{B \setminus \{b\}}| = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

फिर से, प्रेरण द्वारा दावा सिद्ध किया जाता है।

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अब, आपकी समस्या के लिए एक आम चाल का उपयोग कर सकते हैं: कथन को मजबूत करना । यदि आप अपने दावे को "एक स्वचालित संख्या के साथ सभी शब्दों को स्वीकार करते हैं" के रूप में अपना दावा करते हैं, तो आपको लंबाई n के सभी शब्दों के बीच एक प्रेरण परिकल्पना मिलती है।$n$ , ठीक उसी तरह जो विषम संख्या वाले लोगों को ऑटोमेटन द्वारा स्वीकार किया जाता है"। यह आपको कहीं भी नहीं ले जाएगा क्योंकि हम इस बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं कि किसी दिए गए (स्वीकृत) शब्द के किस हिस्से में कितने लोग शामिल हैं; परिकल्पना आपके मनमाने ढंग से चयनित शब्द को काट देने पर लागू नहीं होती है।

इसलिए, आप एक मजबूत दावा तैयार करना चाहते हैं: "ऑटोमेटन राज्य $B$ अगर और केवल अगर इनपुट के उपभोग किए गए हिस्से में एक विषम संख्या होती है", और इसे यह दिखाएं। ध्यान दें कि यह पूर्व दावे का अर्थ है।

• एंकर : लंबाई शून्य, processing के एकमात्र स्ट्रिंग को संसाधित करने के बाद, स्पष्ट रूप से राज्य $\varepsilon$$A$ के रूप में दावा किया है।
• परिकल्पना : मान लें कि क्लेम एन तक की लंबाई के इनपुट टुकड़ों के लिए है$n$ जो जो मनमाने ढंग से चुना गया है, लेकिन निश्चित है।
• चरण : एक मनमाना शब्द पर विचार करें । दो मामले हैं। $w \in \{0,1\}^{n+1}$
  1. में सम संख्या वाले सम्‍मिलित हैं। अंतिम प्रतीक के लिए दो मामले हैं। $w$
     1. : इस मामले में, डब्ल्यू ' = डब्ल्यू 1 ... डब्ल्यू एन - 1 लोगों की सम संख्या में शामिल है। प्रेरण परिकल्पना द्वारा, ऑटोमेटन डब्ल्यू ′ के उपभोग के बादराज्य ए में है। जैसा कि दावा किया गया है, w n = 0 काउपभोगकरने से ऑटोमेटन राज्य A में रहता है।$w_n = 0$$w' = w_1 \dots w_{n-1}$$A$$w'$$w_n = 0$$A$
     2. : इस मामले में, डब्ल्यू ' = डब्ल्यू 1 ... डब्ल्यू एन - 1 लोगों की एक विषम संख्या में शामिल है। प्रेरण परिकल्पना करके, automaton अवस्था में है बी सेवन के बाद एक डब्ल्यू ' । जैसा कि दावा किया गया है, w n = 1 काउपभोगकरने से ऑटोमेटन राज्य A पर स्विच होजाता है।$w_n = 1$$w' = w_1 \dots w_{n-1}$$B$$w'$$w_n = 1$$A$
  2. में विषम संख्या है। केस 1 के समान।$w$

प्रेरण का सिद्धांत तात्पर्य है कि दावा वास्तव में है।

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1. आप कुछ आंशिक ऑर्डर के साथ इंडक्शन करते हैं; लंगर को सभी न्यूनतम तत्वों को कवर करने की आवश्यकता होती है, और कभी-कभी अधिक (बयान के आधार पर)।
2. "मनमाना, लेकिन निश्चित" आवश्यक है! हम n बदल नहीं सकते$n$ कदम में और इसे मान सकते हैं जैसे कि यह एक निश्चित संख्या थी, लेकिन हम इसके बारे में कुछ भी नहीं मान सकते हैं।
3. साथ सेट शक्ति को नकारना अजीब लग सकता है। यह अवलोकन में निहित है कि पावर सेट ए से 0 , 1 तक सभी कार्यों के सेट के बराबर है$2^A$$A$${0,1}$ , जिसे इस प्रकार निरूपित किया जाता है।
4. पूरे स्थान को कवर करने के लिए मनमाना चुनना आवश्यक है। किसी को यह कहने के लिए लुभाया जा सकता है, "कोई भी ऐसा ए लें और एक ऐसा तत्व जोड़ें जो पहले नहीं था।" इस मामले में, वह भी ऐसा ही करेगा, लेकिन अधिक जटिल सेटिंग्स (जैसे ग्राफ़ में नोड्स जोड़ना) में गलत करना आसान हो सकता है। हमेशा एक मनमाना बड़ा ऑब्जेक्ट लें और फिर इसके हिस्सों पर परिकल्पना को लागू करने के लिए इसे काट दें; छोटे से बड़े ऑब्जेक्ट को इकट्ठा न करें जो परिकल्पना द्वारा कवर किया जाता है।$B$$A$