सतह क्षेत्र को कम करने के लिए एल्गोरिदम, दी गई मात्रा

Question

निम्नलिखित एल्गोरिथम कार्य पर विचार करें:

इनपुट: एक सकारात्मक पूर्णांक , अपने प्रधानमंत्री गुणन के साथ खोजें: धनात्मक पूर्णांक कि कम से कम एक्स y + y z + एक्स जेड , प्रतिबंध यह है कि के अधीन x y z = n$n$
$x,y,z$$xy+yz+xz$$xyz=n$

इस समस्या की जटिलता क्या है? क्या एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म है? क्या यह एनपी-कठिन है?

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यह समस्या मूल रूप से पूछती है: सभी आयताकार ठोस पदार्थों में से जिनकी मात्रा $n$ और जिनके आयाम सभी पूर्णांक हैं, जिनमें से सबसे कम सतह क्षेत्र है?

इस समस्या को डान मेयर ने शीर्षक दिया था, द मैथ प्रॉब्लम के शीर्षक के तहत 1,000 मैथ टीचर्स हल नहीं कर सके । अब तक उन्होंने जिन गणित शिक्षकों के साथ काम किया उनमें से किसी ने भी इस समस्या के लिए एक उचित एल्गोरिदम नहीं पाया है। उनके संदर्भ में, "वाजिब" की परिभाषा थोड़ी सी गलत है, लेकिन कंप्यूटर वैज्ञानिकों के रूप में हम इस समस्या की जटिलता के बारे में अधिक सटीक सवाल पूछ सकते हैं।

स्पष्ट दृष्टिकोण लिए सभी संभावनाओं की गणना करना है $x,y,z$, लेकिन यह घातीय समय लेता है। दान मेयर के ब्लॉग के टिप्पणीकारों ने कई कुशल उम्मीदवार एल्गोरिदम का प्रस्ताव रखा है जो दुर्भाग्य से सभी गलत निकले। मार्टिन स्ट्रॉस कहते हैं कि यह समस्या 3-विभाजन की अस्पष्ट याद दिलाती है , लेकिन मैं इसमें कमी नहीं देख सकता।

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मुझे कुछ गलतफहमियों को भी दूर करने दें जो मैंने टिप्पणियों / उत्तरों में देखी हैं:

• आप अपनी शक्ति 2 q के साथ प्रत्येक संख्या $q$ को प्रतिस्थापित करके 3-विभाजन से कम नहीं कर सकते , क्योंकि दोनों समस्याओं के उद्देश्य कार्य अलग-अलग हैं। स्पष्ट कमी बस काम नहीं करती है।$2^q$

• यह सच नहीं है कि इष्टतम समाधान शामिल है में से एक को चुनने के $x,y,z$ के निकटतम भाजक होने के लिए $n$ करने के लिए $\sqrt[3]{n}$ । मैं कई लोगों को देखता हूं जो मान रहे हैं कि यह मामला है, लेकिन वास्तव में, यह सही नहीं है। यह डान मेयर ब्लॉग पोस्ट पर पहले से ही अस्वीकृत है। उदाहरण के लिए,विचार करें$n=68$; , और 4 विभाजित 68 है, तो आप सोच सकते हैं कि कम से कम एकएक्स,वाई,जेड4 होना चाहिए; हालाँकि, यह सही नहीं है। इष्टतम समाधानx=2,y=2,z=17 है। एक और counterexample हैn=222,3$\sqrt[3]{68} \approx 4$$x,y,z$$x=2$$y=2$$z=17$$n=222$, लेकिन इष्टतम समाधान हैएक्स=37,y=3,जेड=2। (यहहो सकता हैसच है कि सभी के लिए हो सकता हैn, इष्टतम समाधान शामिल है की कम से कम एक पर बनाएक्स,वाई,जेडया तो की सबसे छोटी भाजक के बराबर होनाएनसे बड़ा3$\sqrt[3]{222}\approx 6$$x=37$$y=3$$z=2$$n$$x,y,z$$n$ याका सबसे बड़ा भाजकnसे छोटी3$\sqrt[3]{n}$ $n$ - मेरे पास अभी एक प्रतिरूप नहीं है - लेकिन अगर आपको लगता है कि यह कथन सत्य है, तो इसे प्रमाण की आवश्यकता होगी। आप बिल्कुल नहीं मान सकते कि यह सच है।)$\sqrt[3]{n}$

• " एक ही आकार हो" जरूरी सभी मामलों में इष्टतम उत्तर देने के लिए प्रकट नहीं होता है; काउंटर के लिए दान मेयर के ब्लॉग पोस्ट देखें। या, कम से कम, वाक्यांश की कुछ उचित व्याख्याओं के लिए "उन्हें लगभग एक ही आकार का बना दें", ऐसे प्रतिरूप हैं जो दिखाते हैं कि यह रणनीति वास्तव में इष्टतम नहीं है। यदि आप उस तरह की कुछ रणनीति का प्रयास करना चाहते हैं, तो सुनिश्चित करें कि आप दावे को ठीक बताते हैं और फिर एक सावधानीपूर्वक गणितीय प्रमाण प्रदान करते हैं।$x,y,z$

• का रनिंग टाइम बहुपद नहीं है। पी में होने वाली इस समस्या के लिए, चलने का समय इनपुट की लंबाई में एक बहुपद होना चाहिए । इनपुट की लंबाई की तरह कुछ है एलजी n , नहीं n । स्पष्ट जानवर-बल एल्गोरिथ्म को O ( n 3 ) या O ( n 2 ) समय में चलाने के लिए बनाया जा सकता है , लेकिन यह lg n में घातीय है और इस तरह एक घातीय-समय एल्गोरिथ्म के रूप में गिना जाता है। इस प्रकार यह सहायक नहीं है।$O(n^3)$$\lg n$$n$$O(n^3)$$O(n^2)$$\lg n$

Comments

दिलचस्प। मेरा अनुभवहीन दृष्टिकोण होगा " लगभग एक ही आकार का बनाना", इस विचार को सामान्य बनाना कि क्यूब किसी दिए गए आयतन के लिए सबसे छोटी सतह क्षेत्र के साथ आयताकार ठोस है। क्या इससे काम हो जायेगा? और अगर ऐसा है: मैं यह नहीं देखता कि कैसे कुशलतापूर्वक किया जाए, लेकिन क्या एक कमी है जिसे प्राप्त करना आसान है, हो सकता है? $x,y,z$

— जी। बाच

एक कमी एक बुरा सपना होने जा रहा है क्योंकि आपको उपयुक्त प्राइम नंबर जेनरेट करने का तरीका चाहिए। सबसे अच्छा आप जो उम्मीद कर सकते हैं वह एक यादृच्छिक रूप से कमी है, उपयुक्त primes उत्पन्न करने के लिए Dirichlet के प्रमेय जैसी कुछ का उपयोग करना लेकिन यहां तक ​​कि संभावना नहीं लगती है।

— टॉम वैन डेर ज़ंडेन

@ जी.बच, मुझे लगता है कि ब्लॉग लेख उस नस के उत्तराधिकार का एक गुच्छा मानता है (उदाहरण के लिए, प्रत्येक के साथ शुरू करने के लिए निकटतम पूर्णांक 3 $x,y,z$ और फिर उन्हें एक छोटा सा समायोजित करें), और प्रत्येक के लिए स्पष्ट रूप से स्पष्ट शब्दों को दर्शाता है। लेकिन शायद आपके पास एक एल्गोरिथ्म है जिसे उन्होंने नहीं माना है? $\sqrt[3]{n}$

— डीडब्ल्यू

oeis.org/A075777 एल्गोरिथ्म का दावा करता है, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है कि यह अनिश्चित है (n = 1332 उदाहरण के लिए 6,6,37 के बजाय 9,4,37 उत्पन्न करता है)

— स्कॉट

यहाँ एक अवलोकन है जो उपयोगी हो सकता है। यह देखते हुए , इष्टतम y , z है वास्तव में "भोली सपना" को पूरा: वे के कारकों की जोड़ी होना चाहिए n / एक्स निकटतम करने के लिए $x$$y,z$$n/x$ । सर्वोत्कृष्ट समाधान पर (। यह आसान साबित करने के लिए है)एक्स*,y*,जेड*, इस हालत एक साथ सभी तीन चर के लिए पकड़ चाहिए:एक्स*,y*जोड़ी के लिए इसी हैंजेड*, आदि एक निहितार्थ: दियाz, केवल एक संभव जोड़ीx है,yजिसके साथ यह इष्टतम हो सकता है। दुर्भाग्य से, (1) यह स्थितिविशिष्ट रूपसे इष्टतम ट्रिपल की पहचाननहीं करती है; (2) मैं नहीं देखता कि कैसे तेजी से इसी जोड़ी को खोजने के लिए। $\sqrt{n/x}$$x^*,y^*,z^*$$x^*,y^*$$z^*$$z$$x,y$

— usul

Answer 1

यहाँ "क्यूब रूट के पास विभाजक चुनें" एल्गोरिथ्म का एक संशोधित संस्करण है। इसे अभी भी कई मामलों को लागू करना चाहिए, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि सभी मामलों की गणना पर यह कितना वास्तविक सुधार है। हालाँकि, मैंने इसे OEIS पर एल्गोरिथम में सुधार के रूप में प्रस्तुत किया (जो कि गलत परिणाम उत्पन्न करता है) क्योंकि मेरा मानना ​​है कि यह कम से कम सटीक होना चाहिए।

यहाँ आयताकार (s1, s2, s3) और आयताकार प्रिज्म के सतह क्षेत्र को खोजने के लिए एल्गोरिदम दिया गया है:

1. N को देखते हुए, घनमूल ज्ञात कीजिए।
2. उस घनमूल की छत पर एक प्रारंभिक मान पूर्णांक s1 सेट करें।
3. यह देखने के लिए परीक्षण करें कि क्या s1 n का भाजक है और यदि नहीं, तो s1 को 1 से कम करें।
4. यदि एक विभाजक s1 पाया जाता है, तो एक प्रारंभिक s2 को (n / s1) के वर्गमूल की छत के रूप में सेट करें।
5. फिर यह देखने के लिए परीक्षण करें कि क्या s2 n / s1 का भाजक है, और यदि नहीं, तो s2 को 1 से कम करें।
6. जब एक विभाजक s2 पाया जाता है, तो s3 तब n / (s1 * s2) पर सेट होता है।
7. वर्तमान सतह क्षेत्र की गणना 2 * (s1 * s2 + s1 * s3 + s2 * s3) द्वारा की जाती है।
8. वर्तमान एसए की तुलना वर्तमान न्यूनतम के मुकाबले की जाती है। यदि इसकी पहली सतह क्षेत्र की गणना की जाती है, तो इसे मिनसा के रूप में संग्रहीत किया जाता है। पहले के बाद, हम यह देखने के लिए परीक्षण करते हैं कि क्या वर्तमान SA, minSA से छोटा है, और यदि ऐसा है, तो इसे minSA में संग्रहीत करें।

यह एल्गोरिथ्म कुछ त्रिगुणों (s1, s2, s3) की गणना करता है, लेकिन केवल क्यूब रूट के तहत विभाजकों का परीक्षण करने की आवश्यकता है। (चूंकि सभी तीन भाजक घनमूल से ऊपर नहीं हो सकते हैं)। इसी तरह से, s2 को केवल n / s1 के वर्गमूल n / s1 के विभाजनों का परीक्षण करने की आवश्यकता है, क्योंकि दोनों विभाजक वर्गमूल से ऊपर नहीं हो सकते हैं)

चरण 3 पर एक नोट: यदि घनमूल एक भाजक है तो n एक घन है और हम बॉक्स (s1, s1, s1) से न्यूनतम सतह क्षेत्र 6 * s1 ^ 2 के साथ वहां रुक सकते हैं।

अजगर:

import math
def minSArectprism(n):
    s1_0 = int(math.ceil(n ** (1 / 3.0))) 
    minSA=-1
    s1 = s1_0
    while s1>=1:
        while n % s1 > 0:  
            s1 = s1 - 1
        s1quot = int(n/s1) 
        s2_0 = int(math.ceil(math.sqrt(n/s1)))
        s2 = s2_0
        while s2>=1:
            while s1quot % s2 > 0:
                s2 = s2 - 1
            s3 = int(n / (s1 * s2))  
            SA = 2*(s1*s2 + s1*s3 + s2*s3)  
            if minSA==-1:
                minSA=SA
            else:
                if SA<minSA:
                    minSA=SA
            s2 = s2 - 1
        s1 = s1 - 1    
    return minSA

Comments

आपका एल्गोरिथ्म घातीय समय लेता है। के बारे में प्रत्येक लूप जाँच संभव उम्मीदवारों, तो चलने का समय हैहे( 3 $\sqrt[3]{n}$है, जो घातीय, नहीं बहुपद समय है। इस प्रकार, यह एल्गोरिथ्म प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। (मैंने पहले ही प्रश्न में एक घातांक-समय एल्गोरिथ्म का उल्लेख किया है।)$O(\sqrt[3]{n}^2) = O(n^{2/3})$

— डीडब्ल्यू

हम्म, y n की घनमूल के तहत सीमित नहीं है, उदाहरण के लिए, n = 1332, हम अंततः s1 = 2 का परीक्षण करेंगे, जिसका अर्थ है कि s2 1332/2 ~ = 26 के वर्गमूल के तहत होगा। वास्तव में (2,18, 37) क्यूब रूट के ऊपर y और z के साथ परीक्षण किया जाता है।

— स्कॉट फरार

@ScottFarrar, हाँ, मुझे पता है। मैंने जटिलता विश्लेषण के सभी विवरणों को शामिल नहीं किया; एक भी टिप्पणी में जगह नहीं थी। यदि आप गैरी विवरण शामिल करते हैं, तो मुझे लगता है कि आप पाएंगे कि आपको मेरे द्वारा चलाए जा रहे समय मिल जाएगा। आप या तो मुझ पर भरोसा कर सकते हैं :-), या उन संदर्भों के बारे में अधिक जानने के लिए हमारे संदर्भ प्रश्न को पढ़ें । किसी भी मामले में, भले ही आप भीतरी पाश हटा दिया, बाहरी पाश अभी भी होता है पुनरावृत्तियों, तो अपने एल्गोरिथ्म का चलने का समय कम से कम है Ω ( एन 1 / 3 ) - यानी, यह निश्चित रूप से है घातीय। $\Theta(n^{1/3})$$\Omega(n^{1/3})$

— डीडब्ल्यू

Answer 2

यदि प्राइम डिकम्पोजिशन नहीं दिया गया तो समस्या फैक्टरिंग जटिलता से संबंधित होगी। कारकों को देखते हुए, और सभी प्रमुख कारकों के लॉग लेने पर, यह समस्या विभाजन sums (व्यायाम, शायद या तो विश्लेषणात्मक या प्रयोगात्मक रूप से, के विचलन-से-मतलब को कम करने के रूप में एक ही प्रतीत होती है , इस सहज ज्ञान युक्त सन्निकटन को कितनी बारीकी से पाते हैं। समस्या रखती है)।$k$

यहां यह 3-वे मामला है (विभाजन रकम ) है। 2-वे मामले का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और यह एनपी हार्ड (1 ^सेंट रिफ से) है। (यह 2-वे मामला काफी हद तक ज्ञात एनपी-पूर्ण 2-वे विभाजन की समस्या के समान नहीं है, जहाँ विभाजन समताएँ समान हैं। नोट समान विभाजन योगों का अर्थ विभाजन के योगों में 0 विचलन है और इसके विपरीत। ) 2 ^nd रेफरी अध्ययन 3-। तरीका और n -way विभाजन, आंशिक रूप से आनुभविक रूप से, जहाँ 2-वे मामले के रूप में ज्यादा अध्ययन नहीं है।$\log(x), \log(y), \log(z)$$n$

• सबसे कठिन समस्या: संख्या विभाजन / मर्टेंस

• मल्टी-वे नंबर विभाजन / कोरफ

Comments

यह उत्तर सहायक नहीं है और प्रश्न का उत्तर नहीं देता है। 1. मैं सबूत या सबूत की तलाश कर रहा हूं, अटकलें नहीं। कोई सबूत नहीं है कि विचलन को कम करने से एक इष्टतम समाधान निकलता है। यहां तक ​​कि अगर यह सच था, तो यह सवाल का जवाब नहीं देगा: यह हमें विचलन को कम करने की जटिलता नहीं बताएगा। 2. पहला संदर्भ 2-विभाजन के बारे में है। 2-विभाजन पर मुझे एक संदर्भ में इंगित करना सहायक नहीं है। मैंने पहले ही सवाल में समझाया कि मेरी समस्या सिर्फ 3-विभाजन (या 2-विभाजन) क्यों नहीं है। एक समस्या के एक संस्करण पर एक पेपर जिसके बारे में मैंने नहीं पूछा वह सहायक नहीं है।

— डीडब्ल्यू

इस दावे के प्रति प्रतिकार करना कि आपको इस मतलब से पूर्ण विचलन को कम करना चाहिए: । फिर 1 , 4 , 17 से 2.85342 का पूर्ण विचलन प्राप्त होता है , जो सबसे कम संभव पूर्ण विचलन है। हालांकि 2 , 2 , 17 सही (इष्टतम) समाधान है, और इसकी सतह का क्षेत्रफल कम है। [मतलब से पूर्ण विचलन द्वारा, मैं विशेष रूप से मतलब है | log ( x ) - μ | + | log ( y ) - μ | + $n=68$$1,4,17$$2.85342$$2,2,17$(जहां μ = ( लॉग ( एक्स ) + लॉग ( y ) + लॉग ( जेड ) ) / 3 ।)]$|\log(x)-\mu|+|\log(y)-\mu|+|\log(z)-\mu|$$\mu=(\log(x)+\log(y)+\log(z))/3$

— DW

ठीक है! इस एल्गोरिथ्म के सही होने का कभी कोई दावा नहीं था, यह टिप्पणियों में कुछ उदाहरणों और अन्य सुझावों के निरीक्षण पर आधारित था। यह केवल एक प्रतिरूप है (आपने इंगित किया कि विचलन को कम करने का तरीका संशोधित पोस्ट में त्रुटिपूर्ण है )। "कितनी बार" यह एल्गोरिथ्म एक सही समाधान देता है, यह दिलचस्प है क्योंकि यह एक सही अनुकूलन मीट्रिक के लिए कुछ सुराग दे सकता है। इस एल्गोरिथ्म को "अक्सर" सही उत्तर देता है। 2-रास्ता रेफरी समस्या के विचलन संस्करण को दिखाने के लिए है जो कि विकिपीडिया आदि पर विशिष्ट सटीक संस्करण से भिन्न है

— vzn

यह भी देखें

— लाखो

Answer 3

संपादित करें

यहाँ एक अनौपचारिक तर्क दिया गया है कि एक तेज़ एल्गोरिथम मौजूद होने की संभावना क्यों नहीं है। यह वाक्य नहीं बदला है, लेकिन मैंने यहां जो किया है, उसे निकाल लिया है क्योंकि यह अगले भाग में औपचारिक प्रमाण की तरह बहुत अधिक संरचित था और चर्चा अपने बगों पर हो रही थी, जिनमें से कुछ मैंने खुद पर गौर किए और एक जिनमें से DW ने मुझे बताया। इसके बजाय मुझे इसके पीछे के अंतर्ज्ञान को व्यक्त करने की कोशिश करें।

इस समस्या के प्रति चतुर दृष्टिकोण के प्रमुख कारकों को तीन सूचियों में विभाजित करने के तरीकों को खोजने पर ध्यान केंद्रित कर रहा है और जल्दी से अधिकांश संयोजनों की जांच किए बिना उन पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। तो मान लीजिए कि यह दृष्टिकोण काम करता है, यानी यह आपको इष्टतम बॉक्स खोजने के लिए एक पी-टाइम एल्गोरिथ्म देता है।$N$

क्या होता है जब हम एक ही बीजगणित को अलग बीजगणित में अनुवाद करते हैं, जैसे गुणा और भाग के बजाय जोड़ और घटाव? हम जानते हैं (नीचे दिए गए लेम्मा देखें) कि हमारे एल्गोरिथ्म को 3-विभाजन मिलेगा जिनके उत्पाद बराबर हैं, यदि कोई मौजूद है, या फिर यह निर्धारित करें कि ऐसा कोई 3-विभाजन मौजूद नहीं है। इसलिए, यदि हम एक ही तकनीक को एडिटिव ग्रुप में ट्रांसलेट कर सकते हैं, तो हम एक 3-पार्टिशन पा सकते हैं, जिनके योग बराबर हैं, या यह निर्धारित करते हैं कि ऐसा कोई विभाजन मौजूद नहीं है। दूसरे शब्दों में, हम 3-विभाजन को बहुपद समय में हल कर सकते हैं। यह बहुत प्रशंसनीय नहीं है।

तो, क्यों इस तरह के एक एल्गोरिथ्म गुणा के लिए काम कर सकता है और इसके अलावा विफल हो सकता है? एक संभावित कारण यह है कि प्रत्येक पूर्णांक में गुणन के तहत एक अद्वितीय प्रधान गुणनखंडन होता है, लेकिन इसके अलावा चक्रीय भी होता है। एक और यह है कि गुणन इसके अलावा एक अंगूठी बनाता है, इसलिए आपके पास संचालन का एक और सेट है जिसका आप उपयोग कर सकते हैं। एक और बात यह है कि गैर-primes के लिए काम करने के लिए आपको एल्गोरिदम को सामान्य बनाना होगा, और यह उनकी प्राथमिकता पर निर्भर हो सकता है। एक DW ने बताया कि अनुवाद की विशिष्ट विधि आपके इनपुट के आकार को तेजी से बढ़ा सकती है। और शायद पी = एनपी सब के बाद।

लेकिन अगर वे कमियां हैं जो एक तेज एल्गोरिदम को काम करने देती हैं, तो मुझे लगता है कि यह जानना अभी भी उपयोगी है, क्योंकि यह सुझाव देता है कि हमें अपने प्रयासों पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए। हमें किसी ऐसी चीज की तलाश करनी चाहिए, जिसे अगर हम एनपी-पूर्ण समस्या पर लागू करने की कोशिश करते हैं तो वह टूट जाएगी। एक दृष्टिकोण जो अन्य बीजगणितों के लिए सामान्य होगा, शायद गलत पेड़ को भौंक रहा है। मुझे संदेह है, हालांकि, यह गुणा वास्तव में काम करने के लिए पर्याप्त भिन्न नहीं है, लेकिन यह सिर्फ एक कूबड़ है।

लेम्मा

$m = \sqrt[3]{N}$$(am, bm, \frac{m}{ab})$$a$$b$$(ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b})m^2$ and is minimized when $a = b = 1$.

Proof: We see immediately from the restriction $xyz = N$ that any arbitrary solution has this form.

Its weight is $(am)(bm) + (am)(\frac{m}{ab}) + (bm)(\frac{m}{ab}) = abm^2 + \frac{m^2}{b} + \frac{m^2}{a} = (ab+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})m^2$.

Let $f(a,b) = ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$. To minimize this function, we take the partial derivatives $\frac{\delta f}{\delta a} = b - \frac{1}{a^2}$ and $\frac{\delta f}{\delta b} = a - \frac{1}{b^2}$. The critical point where these partial derivatives are zero comes where $a = b^2, b = a^2$, and therefore, since $a$ and $b$ must be real numbers greater than 0, $a = b = 1$. We see from the matrix of second-order partial derivatives that this is a global minimum.

My immediate motivation to prove this was to fill in a hand wave in my proof above that, if a perfect-cube solution exists, it is optimal. However, this formula could be useful for pruning the search tree.

Assorted Thoughts

I don’t see any obvious symmetry except the interchangeability of x, y and z, which only gives us at best a constant factor of 6. We do have some speedups for the 2-partition that basically say we’d want both terms to be as close to each other as possible, but I don’t immediately see an application to this problem.

Off the top of my head, simply taking the log of all the numbers immediately reduces this to a classic 3-partition problem using addition, or equivalently, taking some number to the power of the numbers in any 3-partition addition problem turns it into a multiplication problem such as this. That implies this problem should not be any easier. We do have here the prime factorization, whereas that factorization would not be prime, but does that help us?

Graphically, the surface xyz = 0 would look like the union of the xy-, yz- and xz-planes, and for any positive n, the equation would look like y = n/xz, so each slice along a coordinate plane would be a hyperbola. We can generally say that the quantity we’re trying to minimize is lowest at the origin and grows most rapidly along the line where x = y = z. If we can search only along this manifold, we might be able to reduce to a two-dimensional problem.

Comments

If x+y+z=n, 2^n=2^(x+y+z)=2^x*2^y*2^z, which is an instance of this problem minus the restriction that the inputs are a prime decomposition of the product. They would instead all be powers of two.

— Davislor

यह सच है कि कम से कम वजन अलग होगा, लेकिन अगर x = y = z मूल समस्या में है, तो x'y '+ x'z' + y'z 'को उसी समस्या में कम से कम नहीं किया जाएगा जहां प्रत्येक w w '= 2 ^ w द्वारा प्रतिस्थापित किया गया, जिसका अर्थ है कि यदि मूल समस्या का समाधान मौजूद है, तो कमी इसे खोजेगी? हमें रूपांतरित समस्या से एक सहज समाधान मिल सकता है, लेकिन हम यह पता लगा सकते हैं कि रेखीय समय में जब रकम को सत्यापित करके वापस परिवर्तित किया जाए।

— डेविस्लर

as above comment by GBach suggests, maximizing $xy + yz + xz$ subject to $xyz=n$ likely happens when $x,y,z$ are "close together" or have low deviation (from average). this is not necessarily the same as "close to $\sqrt[3]{n}$". the numerical examples given by Meyer on his page appear to fit this pattern.

— vzn

@vzn: हम सतह क्षेत्र को कम से कम करने की कोशिश कर रहे हैं, इसे अधिकतम नहीं। यदि 3-विभाजन की समस्या का समाधान है, तो यह एक संशोधित बॉक्स-आयाम समस्या में बदल जाता है जहां समाधान एक पूर्ण घन है। एक काल्पनिक पॉली-टाइम एल्गोरिथ्म में उस क्यूब के किनारों के कारक मिलेंगे, और हम इसे फिर से मूल डोमेन में बदल सकते हैं, जबकि गोलाकार समाधानों की जाँच रैखिक समय में। यह सुझाव देता है कि थोड़ी-सी आराम की समस्या के लिए एक एल्गोरिथ्म एक कठिन समस्या के लिए एक दैवज्ञ के रूप में काम कर सकता है, जिससे यह संभव नहीं है कि बेहतर-से-अधिक घातीय एल्गोरिथ्म मौजूद हो।

— डेविस्लर

? am not disagreeing with you. arent we saying the same thing? plz drop by Computer Science Chat to untangle/ sort this out further. also cant follow @D.W.s claim that the logarithmic transformation doesnt work, can you? am using some of your (seemingly on-target) analysis as basis for my own answer.

— vzn