एक वर्ग का क्रोमेटिक बहुपद

Question

एक वर्ग, एबीसीडी पर विचार करें। सहज रूप से यह मुझे लग रहा था कि इसका रंगीन बहुपद जहाँ रंग उपलब्ध हैं ..$\lambda(\lambda - 1)(\lambda - 1)(\lambda - 2)$$\lambda$

यह है कि तरीके हैं जिनमें A के लिए एक रंग चुना जा सकता है, B और D के लिए रंगों के लिए तरीके चुने जाएंगे (B और D A के समीप हैं) और रंगों के लिए तरीके C के लिए चुना जाएगा।λ - 1 λ - $\lambda$$\lambda - 1$$\lambda - 2$

हालाँकि अपघटन प्रमेय (स्लाइड ४,, उदाहरण ११.३३) और वर्ग ३ की लंबाई और त्रिभुज में विघटित होने से पता चलता है कि मेरा प्रारंभिक तर्क गलत है।

क्या आप मुझे बता सकते हैं कि मैं अपनी सोच में कहां गलत हूं।

Answer 1

आपको याद होगा कि एक दूसरे से तिरछे तिरछे एक ही रंग का हो सकता है! आपका सूत्र उस पर ध्यान नहीं देता है। हम समावेश-अपवर्जन सिद्धांत के माध्यम से एक ग्राफ की रंगीन संख्या पा सकते हैं। यह एक बहुत ही सामान्य गिनती तकनीक है जो हमें जटिल संरचनाओं की गणना करने की अनुमति देती है, अगर हम कुछ सबसेट पर कुछ सीमाएं साबित कर सकते हैं।

मुख्य विचार यह है कि हम कुछ संपत्ति होने के सभी संभावित तरीकों को गिनते हैं। फिर हम कुछ "खराब" आइटम निकालते हैं। हालांकि, हमने बहुत अधिक हटा दिया है, और कुछ "अच्छे" आइटम वापस जोड़ने की आवश्यकता है। यह तब तक आगे और पीछे चला जाता है जब तक हम सभी सबसेट्स से नहीं निकल जाते।

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत हमें बताता है कि दिए गए कुछ ग्राउंड सेट , के तत्वों की संख्या जो किसी भी में नहीं है is एक्स एक मैं Σ मैं ⊆ [ एन ] ( - 1 ) | मैं | | A I | $|X|=n$$X$$A_i$

$$\sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|}|A_I| \text{, where } \\ I \text{ is the set of indices in } X \text{ and } A_I = \bigcap_{i \in I} A_i$$

मान लें कि रंगों की संख्या है, और को सभी संभव रंगों का सेट होने दें (जैसे; ), और$\lambda$$X$$|X| = \lambda^4$

$$A_{e} = \{\text{coloring} : e=(i,j) \in E, \text{color}(i) = \text{color}(j) \}$$

इससे पहले कि हम अपना अंतिम बहुपद प्राप्त करें, हमें अपने सेटों का आकार , और सभी अन्तर्विभाजक सबसेट का आकार गिनना होगा ।$A_{e}$

निरीक्षण करें कि । यह इस तथ्य के कारण है कि हम सिर्फ रंग रहे हैं लेकिन पड़ोसी के लिए समान रंग चुन रहे हैं। हमारे पास आगे बढ़ते हुए,$|A_{12}| = |A_{23}| = |A_{34}| = |A_{41}| = \lambda^3$$G$

$|A_{12} \cap A_{23} | = |A_{23} \cap A_{34} | = |A_{34} \cap A_{41}| = |A_{41} \cap A_{12}| = |A_{12} \cap A_{34}| = |A_{41} \cap A_{23}| = \lambda^2$

मैं प्रत्येक 3-सेट को सूचीबद्ध नहीं करने जा रहा हूं, लेकिन उन सभी की गिनती समान है। । और अंत में, । अब हमारी शर्तों को इकट्ठा करने और जोड़ने की सुविधा देता है।$|A_e \cap A_{e'} \cap A_{e''}| = \lambda$$|A_{12} \cap A_{23} \cap A_{34} \cap A_{41}| = \lambda$

$$\lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 4\lambda + \lambda = \lambda^4 - 4\lambda^3 + 6\lambda^2 - 3\lambda$$

अब इस समस्या के लिए शामिल किए जाने-अपवर्जन के साथ गिनती करना इतना बुरा नहीं था क्योंकि हमारे पास एक सरल 4-चक्र था। यदि ग्राफ़ में अधिक संरचना थी, तो यह जल्दी से सभी संभावित चौराहों के लिए प्रत्येक चौराहे के आकार का पता लगाने के लिए कष्टप्रद हो जाएगा।

Answer 2

ऊपर निकोलस द्वारा जवाब और इस एक मुझे मेरी सोच में दोष देखने में मदद की। मैंने निकोलस पर विशेष रूप से विस्तार करने के बारे में सोचा ',

आपको याद होना चाहिए कि एक दूसरे से तिरछे तिरछे एक ही रंग का हो सकता है

और मेरे गलत तर्क के लिए समायोजन करके क्रोमेटिक बहुपद प्राप्त करें।

मैंने शुरू में पता लगाया था कि सी के लिए रंग लेने के तरीके हैं सी। के लिए "-2 -2" रंगों का हिसाब अलग-अलग है जो कि बी और डी से अलग हैं। मैंने ऐसा नहीं सोचा था कि बी और डी हो सकते हैं। उसी रंग में सी। के लिए रंग चुनने का सिर्फ एक ही तरीका होगा प्रकार$\lambda - 2$$\lambda - 1$

$P(ABCD, \lambda)$ = जब B और D एक ही रंग के हों तो ABCD को ठीक से रंगने के तरीकों की संख्या + ABCD को ठीक से रंगने के तरीकों की संख्या जब B और D अलग अलग रंग के होते हैं
=$λ(λ−1)(1)(λ−1) + λ(λ−1)(λ−2)(λ−2)$