कुशलतापूर्वक यह कैसे निर्धारित किया जाए कि क्या दी गई सीढ़ी वैध है?

Question

मेरे स्थानीय स्क्वैश क्लब में, एक सीढ़ी है जो निम्नानुसार काम करती है।

1. सीज़न की शुरुआत में हम एक अलग लाइन पर क्लब के प्रत्येक सदस्य के नाम के साथ एक टेबल का निर्माण करते हैं।
2. फिर हम जीते गए खेलों की संख्या और प्रत्येक नाम के आगे खेले जाने वाले खेलों की संख्या लिखते हैं (फॉर्म में: खिलाड़ी जीत / खेल)।

इस प्रकार सीज़न की शुरुआत में तालिका इस तरह दिखती है:

Carol 0/0
Billy 0/0
Alice 0/0
Daffyd 0/0

कोई भी दो खिलाड़ी एक मैच खेल सकते हैं, जिसमें एक खिलाड़ी जीत जाएगा। यदि तालिका में सबसे नीचे वाला खिलाड़ी जीतता है, तो खिलाड़ियों की स्थिति बदल जाती है। हम फिर चरण 2 को दोहराते हैं। प्रत्येक खिलाड़ी के आगे जीत और गेम की संख्या को अपडेट करते हैं। उदाहरण के लिए, अगर ऐलिस बिली को मारता है, तो हमारे पास है

Carol 0/0
Alice 1/1
Billy 0/1
Daffyd 0/0

ये मैच पूरे सीजन में चलते हैं और अंतत: खिलाड़ियों को लगभग ताकत के क्रम में सूचीबद्ध किया जाता है।

दुर्भाग्य से, अद्यतन एक अजीब तरीके से होता है, इसलिए गलतियाँ की जाती हैं। नीचे कुछ अवैध तालिकाओं के उदाहरण दिए गए हैं, अर्थात्, कुछ शुरुआती आदेश के लिए उपरोक्त चरणों का सही तरीके से पालन नहीं किया जा सकता है (हम सीजन की शुरुआत में इस्तेमाल किए गए क्रम को भूल गए हैं) और मैचों और परिणामों का क्रम:

Alice 0/1
Billy 1/1
Carol 0/1
Daffyd 0/0

Alice 2/3
Billy 0/1
Carol 0/0
Daffyd 0/0

Alice 1/1
Billy 0/2
Carol 2/2
Daffyd 0/1

एक तालिका को देखते हुए, हम यह कैसे कुशलता से निर्धारित कर सकते हैं कि यह वैध है? हम निम्नलिखित देख कर शुरू कर सकते हैं:

1. नामों के क्रम से कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम मूल शुरुआती आदेश भूल गए हैं।

2. जीत की कुल संख्या खेले जाने वाले खेलों की संख्या का आधा होना चाहिए। (इससे पता चलता है कि ऊपर दिया गया पहला उदाहरण अमान्य है।)

3. मान लीजिए कि तालिका वैध है। फिर एक मल्टीग्राफ होता है - एक ग्राफ जिसमें कई किनारों को स्वीकार किया जाता है, लेकिन कोई छोर नहीं - एक खिलाड़ी के अनुरूप प्रत्येक शीर्ष के साथ और प्रत्येक किनारे पर खेले जाने वाले मैच के लिए। फिर प्रत्येक खिलाड़ी द्वारा खेले जाने वाले खेलों की कुल संख्या मल्टीग्राफ में खिलाड़ी के शीर्ष की डिग्री से मेल खाती है। इसलिए यदि उपयुक्त वर्टेक्स डिग्री के साथ कोई मल्टीग्राफ नहीं है, तो तालिका को अमान्य होना चाहिए। उदाहरण के लिए, डिग्री के एक शीर्ष और डिग्री तीन में से एक के साथ कोई मल्टीग्राफ नहीं है, इसलिए दूसरा उदाहरण अमान्य है। [हम ऐसे मल्टीग्राफ के अस्तित्व की कुशलता से जाँच कर सकते हैं।]

इसलिए हमारे पास दो चेक हैं जिन्हें हम शुरू करने के लिए आवेदन कर सकते हैं, लेकिन यह अभी भी अमान्य तालिकाओं की अनुमति देता है, जैसे कि तीसरा उदाहरण। यह देखने के लिए कि यह तालिका अमान्य है, हम पीछे की ओर काम कर सकते हैं, जिससे तालिका के सभी संभावित तरीके समाप्त हो सकते हैं।

मैं सोच रहा था कि क्या कोई बहुपत्नी काल (खिलाड़ियों की संख्या और खेल की संख्या) एल्गोरिदम इस निर्णय समस्या को हल करने के बारे में सोच सकता है?

Comments

शायद निर्देशित मल्टीग्राफ के लिए एक हवलदार हकीमी टाइप प्रमेय है ...

— आर्यभट्ट

तीसरा उदाहरण क्यों संभव नहीं हो सकता है? क्या होगा अगर एलिस ने बॉब पर जीत हासिल की, कैरोल ने बॉब पर जीत हासिल की और कैरोल ने डैफिड पर जीत हासिल की। फिर एलिस ने 1 में से 1 गेम जीता, बॉब ने 0 में से 2 गेम जीते, कैरोल ने 2 में से 2 गेम जीते और डैफिड ने 1 में से 0 गेम जीते?

— utdiscant

utdiscant: प्रत्येक गेम के बाद, यदि निचला खिलाड़ी जीतता है, तो खिलाड़ी स्विच किए जाते हैं। यह दिखाने के लिए कि तीसरा उदाहरण संभव है, आपको एक प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन और गेम का एक क्रम देने की आवश्यकता होगी - अर्थात, एक ऑर्डर के साथ - जिसके परिणामस्वरूप तालिका दी गई है।

— बेन

आर्यभट्ट: धन्यवाद - हाँ, यह एक उपयोगी कदम होगा। दुर्भाग्य से, यह मुश्किल लग रहा है ...

— बेन

इसका अध्ययन / समाधान करने का सुझाव। इसे SAT समस्या के रूप में निर्दिष्ट करें। तो कई यादृच्छिक मामलों की कोशिश करो। देखें कि क्या कोई मानक सॉल्वर के लिए कठिन है। यदि नहीं, तो शायद P. में एक विवश उपसमुच्चय

— vzn

Answer 1

यह पूर्ण उत्तर नहीं है। मैं समस्या का सरल विवरण और कुछ टिप्पणियां देता हूं।

हम एक ग्राफ से शुरू करते हैं, जहाँ वर्टिकल को साथ लेबल किया जाता है ।$[n]$

हमारे पास एक ऑपरेशन है जो से तक ग्राफ में एक निर्देशित बढ़त जोड़ता है , और यदि उनके लेबल को स्विच करता है।$v$$u$$label(v)<label(u)$

कोने और किनारों के साथ एक निर्देशित मल्टी-ग्राफ को देखते हुए , जांचें कि क्या यह ऊपर के ऑपरेशन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।$G$$n$$e$

यह देखना आसान है कि समस्या in : एक प्रमाण पत्र एक (बहुपदीय आकार) अनुक्रम है जिसका परिणाम ।$\mathsf{NP}$$G$

अवलोकन

ऐसा लगता है कि हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि अंतिम छोर पर सभी किनारों को अनुक्रम के अंत में जोड़ा जाता है और इसमें से सभी किनारों को अनुक्रम की शुरुआत में जोड़ा जाता है। यह अन्य कोने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लें कि हमने से बड़े लेबल वाले सभी कोने हटा दिए हैं । करने के लिए सभी किनारों अनुक्रम के अंत में जोड़ रहे हैं और से सभी किनारों अनुक्रम के शुरू में जुड़ जाते हैं।$label(v)$$v$$v$

मुझे लगता है कि बहुपद समय एल्गोरिथ्म देने के लिए हेवल-हकीमी के साथ इस अवलोकन को संयोजित करना संभव है ।

Comments

नमस्ते। धन्यवाद। क्या आप अपने अवलोकन को फिर से सीढ़ी के संदर्भ में बताते हुए बुरा मानेंगे? मुझे लगता है कि आदेश 3 के ग्राफ के लिए एक प्रतिरूप है, लेकिन शायद मैं गलत समझ रहा हूं।

— बेन

@, मुझे लगता है कि यह निम्नलिखित होगा: आप यह मान सकते हैं कि सीढ़ी पर अंतिम व्यक्ति ने सभी खेल खेले जो उसने टूर्नामेंट की शुरुआत में जीते और वे सभी खेल खेले जो उसने टूर्नामेंट के अंत में गंवाए थे । मुझे बताएं कि क्या इसका कोई काउंटर-उदाहरण है, मैंने इसे ध्यान से नहीं देखा है।

— केवह

दुर्भाग्य से, वहाँ इस तरह के एक हैं: एक 2/2 बी 0/1 सी 0/1

— बेन

@ लेकिन, मुझे लगता है कि उदाहरण मैंने जो लिखा है, उसके अनुरूप है, यानी यह अवलोकन का प्रति-उदाहरण नहीं है।

— केवह

सीढ़ी वैध है। मान लेते हैं कि खेला गया अंतिम गेम C. के लिए नुकसान था। अंतिम गेम से पहले सीढ़ी को इस तरह देखा जाना चाहिए: C 0/0 B 0/1 A 1/1, लेकिन यह सीढ़ी अमान्य है। इसलिए, हम यह नहीं मान सकते कि आखिरी गेम सी।

— बेन के

Answer 2

मैंने समस्या हल नहीं की है, लेकिन मेरे पास आंशिक परिणाम हैं, जिनमें से बयान नीचे दिए गए हैं। अगर किसी की दिलचस्पी है तो मैं सबूत लिखूंगा।

प्रस्ताव । मान लीजिए कि सीढ़ी (1) में एक से अधिक खिलाड़ी हैं (2) में समान संख्या में जीत और हार शामिल हैं; और (3) ऐसा है कि प्रत्येक खिलाड़ी कम से कम एक गेम जीता है और कम से कम एक गेम हार गया है। फिर सीढ़ी वैध है।

बता दें कि खिलाड़ी की जीत की संख्या है , खिलाड़ी के नुकसान की संख्या और रैंक (जहां उच्चतर बेहतर है)।$W_i$$i$$L_i$$i$$R_i$

प्रस्ताव (फैबियो पेरिस के कारण) । यदि और सीढ़ी मान्य है, तो और एक संगत सीमा है। इस मामले में लिए रखती है कि ।$L_i=0$

$$W_i \le \sum_{k:R_k > R_i, W_k > 0} (L_k - 1)^+ + \sum_{k:R_k<R_i}L_k,$$ $L_i$$W_i=0$