खाली भाषा पर क्लेन स्टार ऑपरेशन

Question

मेरी पाठ्य पुस्तक में उल्लेख किया गया है कि: जहाँ एक खाली भाषा है।$\emptyset^*=\{\epsilon\}$$\emptyset$

हालाँकि, हम जानते हैं कि , जहाँ कोई भी भाषा है।$L \cdot \emptyset = \emptyset$$L$

मैं इस अवधारणा को सहजता से समझ नहीं पा रहा हूं क्योंकि क्लेन स्टार ऑपरेशन इस तथ्य की ओर इशारा करता है कि ।$\emptyset^*=\emptyset^0 \cup \emptyset^1 \cup \emptyset^2 \cup \cdots$

तो क्यों है नहीं के बराबर ?$\emptyset^*$$\emptyset$

Comments

इस जवाब को देखें । मूल रूप से, किसी भी गैर-खाली सेट , फॉर्मूला संगति के लिए । यह उस स्थिति में बढ़ाया जाता है जब W = \ emptyset अधिक प्राकृतिक एक्सटेंशन के रूप में होता है। यह सेमी-रिंग में सामान्य पसंद है। बाकी क्लेन स्टार की परिभाषा से आता है। W 0 = ∅ W x W y = W x + y W = $W$$W^0=\emptyset$$W^xW^y=W^{x+y}$$W=\emptyset$

— Babou

हालाँकि, संख्याओं के लिए, को अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है, क्योंकि मैं याद करता हूं कि ज्यादातर कॉनटाउन के मुद्दों के कारण, हालांकि इसे बराबर परिभाषित करना अक्सर सुविधाजनक हो सकता है । देखें १ ० ०$0^0$$1$$0^0$

— babou

बस क्योंकि सभी के लिए , परिभाषा के द्वारा। एल$\varepsilon \in L^0 = \{\varepsilon\}$ $L$

— राफेल

@ राफेल हां। आप इसे इस तरह से लगा सकते हैं। लेकिन यह मनमाना है, afaik, जब । मुझे शायद अपना उत्तर अलग तरह से लिखना चाहिए। मैं समझाने की बहुत कोशिश करता हूं,। $L=\emptyset$

— Babou

@ बाबू अंत में, हर परिभाषा मनमानी है। कुछ परिभाषाएँ सहायक हैं, अन्य नहीं हैं। इम्हो, परिभाषाओं में अंतर्ज्ञान खोजने की कोशिश कर रहा है क्योंकि यह शायद ही कभी मददगार है, और कभी-कभी हानिकारक भी है।

— राफेल

Answer 1

यदि आप विचार करते हैं कि अब किसी भाषा की शक्तियां आपके पास तो यदि आप चाहते हैं कि यह लगातार , यानी गैर-नकारात्मक पूर्णांक से अधिक हो, तो आपको को परिभाषित करना होगा। । यदि आप इसे ले गए हैं तो आपके पास सहित, दूसरों के लिए, । इस प्रकार हम किसी भी लिए । इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से असंगत होगा। इसी तरह की असंगति किसी भी अन्य विकल्प के लिए उठती है , जो में होती है, जो भाषा सहमति के लिए पहचान है।$W$$W^xW^y=W^{x+y}$$\mathbb N_0$$W^0=\{\epsilon\}$$\emptyset$$W^x=W^{x+0}=W^xW^0=W^x\emptyset=\emptyset$$x=1$$W^1=W=\emptyset$$W$$\{\epsilon\}$

इसलिए, का केवल सुसंगत सुसंगत परिभाषा गैर खाली सेट के लिए है ।$W^0$$W$$W^0=\{\epsilon\}$

यह तब मामले में परिभाषा को विस्तारित करने के लिए सुविधाजनक है जब as ।$W=\emptyset$$\emptyset^0=\{\epsilon\}$

यह सिर्फ एक सुसंगत और सुविधाजनक परिभाषा है, जिसे अक्सर अर्ध-रिंग में अपनाया जाता है, लेकिन इसे साबित नहीं किया जा सकता है, जब विपरीत, जहां कोई अन्य सुसंगत परिभाषा नहीं है।$W\neq\emptyset$

हालांकि, अन्य परिभाषाओं को तब सुसंगत तरीके से दिया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि

$$\begin{align} \emptyset^*&=\emptyset^0\cup\emptyset^1\cup\emptyset^2\cup\ldots \\ &=\{\epsilon\}\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\ldots\\ &=\{\epsilon\} \end{align}$$

कई वेब पेजों पर इस विषय पर चर्चा की जाती है। संख्याओं के सेमी-रिंग के मामले में (परिशुद्धता की कमी जानबूझकर है) इस पृष्ठ पर लंबाई पर चर्चा की गई है: शून्य शक्ति शून्य - ? $0^0=1$।

इस उत्तर में भाषाओं का अर्ध-वलय वर्णित है ।

Comments

इस उत्तर ने मेरे सभी संदेह को दूर कर दिया। और लिंक बेहतरीन थे।

— सागनिक जूल

Answer 2

से शून्य शब्दों का खाली शब्द , इसलिए । आम तौर पर, एक भाषा के लिए , क्लीन तारा से शब्दों के किसी भी संख्या के सभी संयोजन के होते हैं , किसी भी संख्या सहित शून्य शब्द ।$\emptyset$$\epsilon$$\epsilon \in \emptyset^*$$L$$L^*$$L$

Comments

मैं एक अधिक गणितीय स्पष्टीकरण की तलाश में था क्योंकि मुझे "शून्य शब्दों के संघटन" की अवधारणा की सहज समझ नहीं मिल रही थी। हालाँकि @ बाबू के उत्तर और इस उत्तर को पढ़ने के बाद मेरे सारे संदेह दूर हो गए। धन्यवाद।

— सागनिक

"... एक भाषा एल के लिए, क्लेने स्टार एल * में एल से किसी भी संख्या के सभी समाकलन होते हैं, शून्य शब्द सहित कोई भी संख्या" यहां, शून्य शब्द कैसे इंप्लांट करता है? एप्सिलॉन एक शब्द है, इसलिए हम कैसे कह सकते हैं कि शून्य संख्या के शब्दों में एप्सिलॉन शामिल है? कृपया मुझे सुधारें।

— पलक जैन

शून्य शब्दों का संघातन, अवतरण के लिए उदासीन तत्व है, जो कि खाली शब्द है। उसी तरह, शून्य तत्वों का योग शून्य है, शून्य तत्वों का उत्पाद एक है, शून्य सेट का संघ खाली सेट है, और इसी तरह।

— युवल फिल्मस