शब्द के साथ एकात्मक भाषाओं की नियमितता दो सम्मान का योग है। तीन वर्ग

Question

मैं एकात्मक भाषाओं के बारे में सोचता हूं $L_k$, कहाँ पे $L_k$ सभी शब्दों का सेट है, जिसकी लंबाई है $k$वर्गों। औपचारिक रूप से:

$$L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\}$$ यह दिखाना आसान है $L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}$नियमित नहीं है (जैसे पम्पिंग-लेम्मा के साथ)।
इसके अलावा, हम जानते हैं कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या चार वर्गों का योग है जो इसके लिए है$k\ge 4$ सारी भाषाएँ $L_k$ कब से नियमित हैं $L_k=L(a^*)$।

अब, मुझे मामलों में दिलचस्पी है $k=2$ तथा $k=3$:

$L_2=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2}\mid n_1,n_2\in\mathbb{N_0}\}$, $L_3=\{a^{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}\mid n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N_0}\}$।

दुर्भाग्य से, मैं यह दिखाने में सक्षम नहीं हूं कि यह भाषा नियमित है या नहीं (यहां तक ​​कि लीजेंड्रे के तीन-वर्ग प्रमेय की सहायता से या फ़र्मेट की प्रमेय दो वर्गों की रकम पर )।

मुझे पूरा यकीन है कि कम से कम $L_2$नियमित नहीं है लेकिन दुर्भाग्यपूर्ण सोच इसका प्रमाण नहीं है। कोई मदद?

Comments

हो सकता है कि हमारे संदर्भ प्रश्नों ( नियमित , नियमित नहीं ) में उपयोगी संकेत हों।

— राफेल

Answer 1

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं $L_2$। यह ज्ञात है कि पूर्णांकों का ऊपरी घनत्व जो दो वर्गों का योग है, 0. है$L_2$नियमित थे तो यह अंततः आवधिक होगा, और इसलिए, क्योंकि इसका ऊपरी घनत्व 0 है, परिमित है। लेकिन हम जानते हैं कि मनमाने ढंग से बड़े पूर्णांक हैं$L_2$, ताकि $L_2$ नियमित नहीं हो सकता।

के बारे में $L_3$शब्दों पर विचार करें $w_k = 1^{4^k 7}$। मैं दावा करता हूं कि$k < \ell$, शब्द $w_k,w_\ell$असमान हैं। वास्तव में,$w_k 1^{4^k 8} \notin L_3$ जबकि $w_\ell 1^{4^k 7} \in L_3$। Myhill-Nerode कसौटी तब दिखाता है$L_3$ अनियमित है।

Answer 2

मान लीजिए $L_3$नियमित है। तो फिर इसका पूरक है, जो लीजेंड्रे के तीन-वर्ग प्रमेय द्वारा है$\{a^n\ |\ n=4^k(8l+7), k,l\in\mathbb{N}\}$। द्वारा पारिख की प्रमेय , इस अर्थ होगा कि लंबाई के सेट$S=\{4^k(8l+7)\ |\ k,l\in\mathbb{N}\}$ अर्ध-रैखिक, यानी एक परिमित संघ है $\bigcup_{i=1}^NS_i$ रैखिक सेट का $S_i=\{a_i + rb_i\ |\ r\in\mathbb{N}\}$।

दो तत्वों पर विचार करें $s_1 = 4^{k_1}(8l_1+7), s_2 = 4^{k_2}(8l_2+7)\in S$ साथ में $k_1>k_2$, और जाने $r:=k_1-k_2$। अगर$s_1,s_2$ दोनों एक ही में हैं $S_i$, तो ऐसा है $2s_1-s_2$ या $2s_2-s_1$ (मौसम पर निर्भर करता है $s_1<s_2$ या $s_1>s_2$)। परंतु

• $2(4^{k_1}(8l_1+7))-(4^{k_2}(8l_2+7)) = 4^{k_2}(8l'-7)$, कहाँ पे $l'=4^{r-1}(8l_1+7)-l_2$,
• $2(4^{k_2}(8l_2+7))-(4^{k_1}(8l_1+7)) = 4^{k_2}(8l'-7*4^r+14)$, कहाँ पे $l'=2l_2-4^rl_1$।

इनमें से कोई भी अंदर नहीं है $S$, इसलिए $s_1,s_2$संघ के विभिन्न सदस्यों में होना चाहिए। लेकिन यह असंभव है, क्योंकि$S$ एक परिमित संघ है, और असीम रूप से कई अलग-अलग हैं $k$।

इसलिए, $L_3$ नियमित नहीं है।