क्यों Schaefer प्रमेय साबित नहीं करता है कि P = NP?

Question

यह शायद एक बेवकूफ सवाल है, लेकिन मुझे समझ में नहीं आता है। एक अन्य प्रश्न में वे शेफ़र की द्विभाजन प्रमेय के साथ आए । मेरे लिए ऐसा लगता है कि यह साबित करता है कि हर सीएसपी समस्या पी में या एनपी-पूर्ण में है, लेकिन बीच में नहीं। चूंकि हर एनपी समस्या को पॉलीनोमियल समय में सीएसपी में परिवर्तित किया जा सकता है (क्योंकि सीएसपी एनपी-पूर्ण है), यह क्यों नहीं साबित करता है कि पी और एनपी-पूर्ण के बीच कोई जगह नहीं है और इसलिए पी = एनपी?

उदाहरण के लिए मेरे विचार जैसे हैं, पूर्णांक फैक्टराइजेशन को एक संतोषजनक समस्या के रूप में फिर से लिखा जा सकता है, इसलिए शेफर के प्रमेय का उपयोग करके यह पी या एनपी-पूर्ण में होना चाहिए, लेकिन बीच में नहीं (भले ही हम यह पता नहीं लगा सकते कि यह कौन है)।

पूरे प्रश्न को देखने का एक अलग तरीका: हम यह निर्धारित करने के लिए कि क्या पूर्णांक कारक P में है या NP- पूर्ण में है, हम Schaefer के प्रमेय का उपयोग क्यों नहीं कर सकते?

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EDIT: डेविड रिचर्बी के जवाब के जवाब में (यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा है):

दिलचस्प है, लेकिन मुझे अभी तक पूरी तरह से समझ नहीं आया है। शेफर के प्रमेय का उपयोग करते समय संबंधों के गामा के सेट को परिभाषित करते हुए, हम उस पर प्रतिबंध लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम गामा को केवल आरती 2 के संबंधों का उपयोग करने के लिए प्रतिबंधित कर सकते हैं (तब समस्या पी में है)। हम गामा पर किस तरह के प्रतिबंध लगा सकते हैं?

हम ऐसे प्रतिबंध क्यों नहीं लगा सकते कि CSP (गामा) के सभी उदाहरण बिल्कुल (isomorphic to।) L के समान हैं? उदाहरण के लिए, जब असमान संख्याओं के लिए पूर्णांक कारक को स्थानांतरित करते हैं, तो दो विभाजक में से एक बाइनरी का प्रतिनिधित्व किया जाता है xn .. x3 x2 1. अब, मैं चाहता हूं कि यह संख्या 1. से अधिक हो। इसलिए, मेरा संबंध (xn or ..) है। या x3 या x2)। तो मैं कहता हूं कि गामा का संबंध n-1 से हो सकता है। लेकिन मैं नहीं चाहता कि उस संबंध को भाषा में L के अलावा अन्य उदाहरणों को शामिल करने के लिए इस्तेमाल किया जाए, इसलिए मैं इसके साथ ही यह भी आरोप लगाता हूं कि x2..xn या संबंध में निषेध होने की अनुमति नहीं है। बेशक, मुझे यह भी प्रतिबंध लगाने की आवश्यकता है कि वहां केवल विशिष्ट चर का उपयोग किया जाता है।

क्या सीएसपी (गामा) को पूर्णांक फैक्टराइजेशन के लिए समसामयिक नहीं होने देना इस तरह संभव नहीं है? मुख्य सवाल यह है कि हम गामा पर किस तरह के प्रतिबंध लगा सकते हैं?

EDIT 2: युवल फिल्मस के जवाब के जवाब में।

मैं आपका उत्तर समझता हूं और यह सही लगता है, हालांकि डेविड के उत्तर के बारे में भी। उदाहरण के लिए, हम फ़ैक्टराइज़ेशन को 3-सैट में घटा सकते हैं और फिर यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फ़ैक्टरीकरण एनपी पूर्ण है, जो गलत है क्योंकि 3-सैट के अन्य उदाहरण हैं जो शायद फैक्टरिज़ेशन नहीं हैं।

वह हिस्सा जो मुझे समझ में नहीं आता है, जब कोई उदाहरण (गैर-) मनमाना है। उदाहरण के लिए, 2-SAT मुझे गैर-मनमाना भी लगता है, क्योंकि केवल 2 के खंडों को अनुमति दी जाती है (हालांकि मुझे यह स्वीकार करना चाहिए कि प्रमाण तब भी मौजूद है क्योंकि यह एक ऊपरी बाध्य है और इस मामले में ऊपरी बाध्य P है)।

शायद एक बेहतर उदाहरण एनपी-पूर्णता एक है: ऊपर जुड़ा हुआ प्रश्न। एक उत्तर देने वाले को पूरे शेफ़र का प्रमाण दिया जाता है। लेकिन मैं इनपुट पर गैर-तुच्छ प्रतिबंध लगाता हूं (2-सैट क्लॉज की अनुमति है और एक्सोर-क्लॉस है, लेकिन कुछ और नहीं)। निश्चित रूप से, प्रमाण अभी भी मौजूद है क्योंकि सीएसपी समस्याओं को प्रमाण में माना जाता है जो मूल रूप से एक ही है।

जो हिस्सा मुझे समझ में नहीं आता है वह यह है कि हम फैक्टराइजेशन के लिए समान क्यों नहीं कर सकते? बेशक यह 3-SAT को कम करने के लिए कोई फायदा नहीं है, लेकिन मुझे CSP उदाहरण देने की अनुमति देता है जो एक नंबर को फैक्टर करता है और केवल एक नंबर (4 बिट्स) का कारक है। (अगर यह संभव है, तो END-OF-SKIP पर जाएं)।

फैक्टराइजेशन का उदाहरण।

इनपुट:

$n_4n_3n_2n_1$
$m_4m_3m_2m_1$

अब, इसे CSP उदाहरण में बदल देते हैं

$n_5..n_1$$m_5..m_1$

$d_4d_3d_2d_1$
$e_4e_3e_2e_1$

रिश्ते:

$e_4 \lor e_3 \lor e_2$

$(d_4 \land \neg m_4) \lor (d_4=m_4 \land d_3 \land \neg m_3) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2 \land \neg m_2) \lor (d_4=m_4 \land d_3=m_3 \land d_2=m_2 \land d_1 \land \neg m_1)$

$d_1 \land e_1 = n_1$
$(d_1 \land e_2) \oplus (d_2 \land e_1) = n_2$
$n_3 = ... ; n_4 = ...$

अंत छोड़ें

क्रूक्स है, जब शेफर के प्रमेय को लागू करते हैं, तो हमें केवल ऐसे सीएसपी पर विचार करना चाहिए । (जैसे 2-सैट के लिए हम केवल सीएसपी को एरिटी 2 मानते हैं)। ऐसा करते समय, या तो छह बहुरूपियों में से एक धारण करता है, या यह नहीं करता है (सेट सिद्धांत में कुछ quirks को बचाने के लिए)। या तो मामले में, एनपी-मध्यवर्ती कारक नहीं है।

यह 3-SAT के लिए भी किया जा सकता है। फिर, हमें केवल (कमी का उपयोग करके) 3-सैट के उदाहरणों पर विचार करना चाहिए जो कि फैक्टराइजेशन इंस्टेंस का प्रतिनिधित्व करते हैं (जो कि 3-सैट अब नहीं है)।

मैं गलत कहां जाऊं?

Comments

मैं दृढ़ता से सुझाव देता हूं कि आप शेफ़र के डाइकोटॉमी प्रमेय का एक सटीक सूत्रीकरण पढ़ते हैं। यह सच नहीं है कि आप "संबंधों के सेट पर प्रतिबंध लगा सकते हैं"। शेफ़र की द्विभाजन प्रमेय इस मामले को कवर नहीं करता है। विकिपीडिया कभी-कभी गलत और भ्रामक हो सकता है, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप इसके बजाय व्याख्यान नोट्स ढूंढें, या शायद एक प्रासंगिक पेपर भी देखें।

— युवल फिल्मस

मैंने अपना उत्तर संपादित करने से पहले आपकी टिप्पणी पर ध्यान नहीं दिया। हो सकता है कि इसे संबंधों के सेट पर प्रतिबंध लगाने की अनुमति नहीं है, लेकिन यह मुझे ऐसा लगता है जैसे कि आपको उन संबंधों पर विचार नहीं करना चाहिए जो शेफ़र के प्रमेय को लागू करते समय प्रतिबंध से मेल नहीं खाते हैं। जैसे 2-सैट के साथ, आप उन संबंधों पर विचार नहीं करते हैं जो "प्रतिबंध" से मेल नहीं खाते हैं कि प्रत्येक खंड में 2 लीटर होने चाहिए।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

btw किसी को भी एक अच्छी पाठ्यपुस्तक या स्कैफ़र डाइकोटॉमी थीम के आधुनिक उपचार का पता नहीं है?

— vzn

Answer 1

$L$$\Gamma$$\Gamma$$L$$L$$\Gamma$$L$$\Gamma$

Comments

दिलचस्प। मैंने आपके प्रश्न के उत्तर में अपना प्रश्न संपादित किया।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

मैं गलत हो सकता हूं, लेकिन मैं कहूंगा कि इंटेगर फैक्टराइजेशन समस्या का इनपुट सीएसपी (गामा) के इनपुट के समान है: कोई भी दो बाइनरी नंबर (फैक्टराइज्ड होने की संख्या और डिवोर्स में से एक का न्यूनतम मूल्य) । सही? मैं इस भाग को समझता हूँ कि यदि आप परिवर्तन को सावधानी से नहीं करते हैं, तो आप एक अन्य समस्या को समाप्त कर देते हैं।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

$\Gamma$$\Gamma$

Answer 2

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

$\Gamma$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$

Comments

आपके जवाब के लिए धन्यवाद। मैंने आपके प्रश्न के उत्तर में अपना प्रश्न (EDIT 2) संपादित किया।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स