2-SAT एक्सओआर-संबंध एनपी-पूर्ण के साथ है?

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मुझे आश्चर्य हो रहा है कि क्या "2-SAT के साथ XOR- संबंध" के लिए एक बहुपद एल्गोरिथ्म है। 2-SAT और XOR-SAT दोनों P में हैं, लेकिन क्या इसका संयोजन है?

उदाहरण इनपुट:

2-SAT भाग: (a or !b) and (b or c) and (b or d)
XOR हिस्सा: (a xor b xor c xor 1) and (b xor c xor d)

दूसरे शब्दों में, इनपुट निम्नलिखित बुलियन फॉर्मूला है:

(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d) .

$(a \lor \neg b) \land (b \lor c) \land (b \lor d) \land (a \oplus b \oplus \neg c) \land (b \oplus c \oplus d).$

उदाहरण आउटपुट: संतोषजनक: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0।

2-SAT क्लॉज़ की संख्या और इनपुट में XOR क्लॉज़ की संख्या , जहाँ बूलियन वेरिएबल्स की संख्या है। $O(n)$ $n$

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स
स्रोत

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यह समस्या काफी करीब है, टारगेट वेक्टर के बराबर वैक्टर की बिटवाइज xor , cstheory.se

— vzn

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3-SAT से घटाकर 2-SAT-with-XOR-संबंधों को NP- पूर्ण साबित किया जा सकता है। किसी भी 3-सैट खंड equisatisfiable 2-SAT-साथ-XOR-संबंधों अभिव्यक्ति में लिखा जा सकता है के साथ और नया चर के रूप में।

(x_{1} \lor x_{2} \lor x_{3})

$(x_1 \lor x_2 \lor x_3)$

(x_{1} \lor \bar{y}) \land (y \oplus x_{2} \oplus z) \land (\bar{z} \lor x_{3})

$(x_1 \lor \overline{y}) \land (y \oplus x_2 \oplus z) \land (\overline{z} \lor x_3)$

y

$y$

z

$z$

— काइल जोन्स
स्रोत

सभी उत्तर सही या सहायता करने वाले प्रतीत होते हैं, लेकिन मुझे यह सबसे सुरुचिपूर्ण (imho) लगा।

— अल्बर्ट हेंड्रिक्स

1

अच्छा उत्तर। यह उल्लेखनीय है कि यहाँ केवल समान रूप से संतुष्टि पर्याप्त नहीं होगी (क्योंकि संतोषजनक CNF के सभी खंडों के अनुरूप अभिव्यक्तियों के संतोषजनक असाइनमेंट मेल नहीं खा सकते हैं), लेकिन आपकी लिखित अभिव्यक्ति में वास्तव में प्रत्येक संतोषजनक असाइनमेंट के लिए संबंधित संतोषजनक असाइनमेंट है मूल खंड।

— क्लॉस ड्रेगर

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आपने अपने XOR संबंधों की शुद्धता को निर्दिष्ट नहीं किया है, लेकिन आम तौर पर SAT-टू-3SAT में कमी की तरह, आप हमेशा व्यवस्था कर सकते हैं कि उनकी अधिकतम संख्या 3. सबसे अधिक हो। अब आप शेफ़र की डायकोटॉमी प्रमेय को लागू करने के लिए महान स्थिति में हैं , जो होगा आपको बताएं कि क्या आपकी समस्या P या NP-complete में है (ये केवल दो विकल्प हैं)। यदि यह पी में निकला, तो अगला कदम ऑलेंडर एट अल को देखा जा सकता है । , जो आपको बताएगा कि आपकी समस्या कितनी आसान है।

— युवल फिल्मस
स्रोत

O (n)

$O(n)$

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द्वारा शेफ़र के विरोधाभास प्रमेय , इस एनपी पूरा हो गया है।

$\Gamma$ $R(x,y,z)$ $x \lor y$ $x \lor \neg y$ $\neg x \lor \neg y$ $x \oplus y \oplus z$ $x \oplus y \oplus \neg z$

अब शेफ़र के डाइकोटॉमी प्रमेय को उसके आधुनिक रूप में लागू करें । यह देखने के लिए कि क्या वे एक बहुरूपता हैं: छह ऑपरेशनों में से प्रत्येक की जाँच करें:

$x \lor y$
$\neg x \lor \neg y$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$\neg x \lor \neg y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$
$x \oplus y \oplus z$ $(0,0,1)$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(0,0,0)$
$x \lor y$ $(0,1,0)$ $(1,0,0)$ $(1,1,0)$ $(0,0,0)$

यह इस प्रकार है कि यह समस्या एनपी-पूर्ण है, भले ही आप सभी एक्सओआर खंडों को अधिकतम 3 पर लंबाई तक सीमित कर दें।

$(x \oplus y)$ $(x \lor y) \land (\neg x \lor \neg y)$

— DW
स्रोत