AVL पेड़ वजन-संतुलित नहीं हैं?

Question

पिछले प्रश्न में वजन संतुलित पेड़ों की परिभाषा और लाल-काले पेड़ों के बारे में एक प्रश्न था।

यह प्रश्न एक ही प्रश्न पूछना है, लेकिन एवीएल पेड़ों के लिए ।

प्रश्न यह है कि, $\mu$ असंतुलित पेड़ों की परिभाषा को दूसरे प्रश्न के रूप में दिया गया है,

क्या कुछ $\mu \gt 0$ ऐसे हैं जो सभी बड़े एवीएल पेड़ $\mu$ असंतुलित हैं?

मुझे लगता है कि एवीएल पेड़ों की केवल एक ही परिभाषा है और कोई अस्पष्टता नहीं है।

Answer 1

दावा : नहीं, ऐसा कोई $\mu$ ।

सबूत : हम बढ़ते आकार के एवीएल पेड़ों का एक अनंत अनुक्रम देते हैं, जिसका वजन-संतुलन मूल्य हो जाता है $0$, दावे का खंडन करता है।

चलो $C_h$ को ऊँचाई का पूरा पेड़ $h$ ; इसमें $2^{h+1}-1$ नोड है।

चलो फाइबोनैचि पेड़ ऊंचाई की ज ; इसमें F h + 2 - 1 नोड है। [ १ , २ , टीएओसीपी ३ ]$S_h$$h$$F_{h+2} - 1$

आइए अब $(T_h)_{i\geq 1}$ के साथ $T_h = N(S_h,C_h)$ के पेड़ हम एक काउंटर उदाहरण होने का दावा के अनुक्रम।

$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

यह प्रमाण को समाप्त करता है।

संकेतन :

• $F_n$$n$
• $\phi \approx 1.6$$\hat{\phi} \approx -0.62$
• $f \sim g$$f$$g$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

नोटा नेने : फाइबोनैचि पेड़ वास्तव में एवीएल पेड़ हैं जो किसी दिए गए ऊँचाई के लिए कम से कम नोड्स हैं (या, समतुल्य, किसी दिए गए संख्या के लिए अधिकतम ऊंचाई)।

परिशिष्ट : यदि हम एक प्रोफेसर का उल्लेख नहीं करते हैं तो हम फिबोनाची पेड़ों के साथ कैसे आ सकते हैं? ठीक है, क्या होगा ऊंचाई का एक AVL पेड़ तरह संभव देखो के रूप में कुछ नोड्स के रूप में के साथ? निश्चित रूप से, आपको एक जड़ की आवश्यकता है। उप-भागों में से एक की ऊंचाई होनी चाहिए, और हमें इसे यथासंभव कम नोड्स के साथ चुनना होगा। दूसरे की ऊंचाई की ऊंचाई संतुलन की स्थिति का उल्लंघन किए बिना हो सकती है, और हम इसे यथासंभव कम नोड्स के साथ भी चुनते हैं। संक्षेप में, हम उन पेड़ों का निर्माण करते हैं जो हम पुनरावर्ती चाहते हैं! ये पहले चार हैं:$h$$h-1$$h-2$

^{[ स्रोत ]}

हम ऊँचाई निर्मित पेड़ में नोड्स की संख्या के लिए एक पुनरावृत्ति सेट करते हैं :$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

इसे हल करने से जिसका हमने ऊपर उपयोग किया था।$f(h) = F_{h+2} - 1$

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निवेर्गेल्ट और रींगोल्ड (1972) द्वारा बाउंडेड बैलेंस के बाइनरी सर्च ट्री में एक ही प्रमाण (कम विस्तार के साथ ) दिया गया है।