कंप्यूटर विज्ञान में रैखिक बीजगणित के किस भाग का उपयोग किया जाता है?

Question

मैं कंप्यूटर विज्ञान सामग्री (मुख्य रूप से मशीन सीखने) को समझने में मदद करने के लिए रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोगों को पढ़ रहा हूं, लेकिन मुझे चिंता है कि बहुत सी जानकारी सीएस के लिए उपयोगी नहीं है। उदाहरण के लिए, यह जानना कि रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को कुशलतापूर्वक कैसे हल किया जा सकता है, जब तक कि आप एक नए समीकरण सॉल्वर को प्रोग्राम करने की कोशिश न करें। इसके अतिरिक्त, पुस्तक में स्पैन, रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता के बारे में बहुत बात की गई है, जब एक मैट्रिक्स का उलटा होता है, और इन दोनों के बीच संबंध, लेकिन मैं सीएस में इसके किसी भी आवेदन के बारे में नहीं सोच सकता। तो, सीएस में रैखिक बीजगणित के किन हिस्सों का उपयोग किया जाता है?

Comments

क्या आप अपने स्वयं के लाभ के लिए पूछ रहे हैं, या आप अपने छात्रों को प्रेरित करने के लिए रणनीतियों की तलाश में शिक्षक हैं?

— राफेल

रैखिक बीजगणित कंप्यूटर ग्राफिक्स के कई हिस्सों में उपयोगी है (आप संबंधित जानकारी का बहुत कुछ ढूंढ सकते हैं )।

— जुहो

कंप्यूटर विज्ञान में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना अविश्वसनीय रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए: en.m.wikipedia.org/wiki/Combinatorial_optimization

— एंट पी

मैट्रिसेस का उपयोग गेम डेवलपमेंट, IE के लिए अनुमानों, घुमावों और चतुर्धातुक गणित में किया जाता है।

— पॉल

@Paulpro प्रश्न रैखिक बीजगणित (काम का एक निकाय) के अनुप्रयोगों के लिए है, न कि मेट्रिसेस (वस्तुओं का एक सेट) के लिए।

— राफेल

Answer 1

आपके द्वारा उल्लिखित भागों रैखिक बीजगणित की मूल अवधारणाएं हैं। आप बुनियादी अवधारणाओं को समझने से पहले अधिक उन्नत अवधारणाओं (जैसे, eigenvalues ​​और eigenvectors) को समझ नहीं सकते हैं। गणित में कोई शॉर्टकट नहीं हैं। स्पैन और लीनियर इंडिपेंडेंस के कॉन्सेप्ट की सहज समझ के बिना आप लीनियर अलजेब्रा में नहीं पहुंच पाएंगे।

कुछ एल्गोरिदम केवल पूर्ण रैंक मैट्रिस के साथ काम करते हैं - क्या आप जानते हैं कि इसका क्या मतलब है? क्या आप जानते हैं कि एक मैट्रिक्स क्या पूर्ण रैंक नहीं बना सकता है? इसे कैसे संभालना है? यदि आपको पता नहीं है कि रैखिक स्वतंत्रता क्या है तो आपको कोई सुराग नहीं मिलेगा।

गॉसियन एलिमिनेशन एल्गोरिथ्म जो रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है, वास्तव में संख्यात्मक रूप से अस्थिर हो सकता है यदि अनुचित तरीके से लागू किया जाता है, और यह कुछ ऐसा है जिसे आपको कुछ मामलों में चिंता करना पड़ सकता है। एल्गोरिथ्म को समझने के बिना आपको पता नहीं चलेगा कि समस्या कहां से आती है और क्या आप इसके बारे में कुछ भी कर सकते हैं - रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम के स्तर पर नहीं, बल्कि हल करने के लिए सही रैखिक समीकरणों के साथ आने के स्तर पर।

संक्षेप में, आलसी मत बनो, और विश्वास पर ले लो कि ये चीजें उपयोगी हैं।

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"इसे विश्वास पर लें कि ये चीजें उपयोगी हैं" - ठीक है, क्या हम सभी शिक्षकों को नहीं जानते हैं जो समग्र उपयोगिता के बारे में परवाह किए बिना अपने व्याख्यान के साथ अपने व्याख्यान को लोड करते हैं? छात्र वास्तव में अंतर नहीं बता सकते, लेकिन न तो उन्हें आँख बंद करके भरोसा करना चाहिए। "मुझे इसके लिए क्या चाहिए होगा?" एक उचित सवाल है, लेकिन "यह आपके दिमाग को प्रशिक्षित करने के लिए है" भी एक उचित जवाब है।

— राफेल

"आलसी मत बनो" एक स्वर सेट करता है जो रचनात्मक नहीं है। मैंने आश्चर्यजनक रूप से जिज्ञासु, व्यस्त, और आलसी छात्रों से यह प्रश्न नहीं पूछा है। मुझे लगता है कि सीएस छात्रों की एक बड़ी आबादी पारंपरिक रेखीय बीजगणित वर्ग को दुनिया से अलग करती है जो वे सोचते हैं कि उनकी आवश्यकता है। उनकी रुचि कंप्यूटिंग और प्रोग्रामिंग है और जरूरी नहीं कि गणित हो। कुछ संदर्भ और प्रेरणा की आवश्यकता या चाहना आलस्य का प्रतीक नहीं है। चलो इसे इस तरह से पेंट नहीं करें।

— लोगन मेफील्ड

@ राफेल, लोगन मेफील्ड, क्या आप लोग भी जानते हैं कि मशीन लीनियर बीजगणित से कैसे संबंधित है? हालांकि थोड़ा विशिष्ट है, युवल ने उन उदाहरणों का उल्लेख किया है जो उन्होंने उल्लेख किए हैं। ओपी के सवाल का जवाब केवल एक इंटरनेट पोस्ट में पूरी तरह से नहीं दिया जा सकता है।

— म्यूजिकलिफ्टमे

Answer 2

रेखीय बीजगणित कभी-कभी ग्राफ एल्गोरिदम में बेहद उपयोगी और शक्तिशाली होता है। साथ मैट्रिक्स पेड़ प्रमेय आप कुशलतापूर्वक पेड़ एक ग्राफ है (आप eigenvalues समझने की जरूरत है) फैले की संख्या की गणना कर सकते हैं। एक अधिक चुनौतीपूर्ण अनुप्रयोग, जहां आपको रैखिक बीजगणित के एक भी मजबूत समझ की आवश्यकता होती है, बहुपद समय में एक प्लैनर ग्राफ में सही मिलान की संख्या की गणना के लिए एफकेटी एल्गोरिथ्म है ।

बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत और वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में रैखिक बीजगणित के उपयोग के कई और अधिक रोमांचक उदाहरण हैं । जो एल्गोरिदम उत्पन्न होते हैं, वे न केवल मेरे द्वारा दिए गए दो उदाहरणों की तरह की समस्याओं को गिनने के लिए हैं। उदाहरण के लिए, आप कनेक्टिविटी के लिए भी जाँच कर सकते हैं , या ग्राफ़ के व्यास की गणना कर सकते हैं ।

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कोई आश्चर्य करता है कि कोई क्यों फैले पेड़ों की संख्या या परिपूर्ण मिलानों की गिनती करना चाहता है। यह किस लिए अच्छा है? क्या आपके पास वास्तविक दुनिया का आवेदन है?

— युवल फिल्मस

@YuvalFilmus मैं नहीं, और यह शुरू करने के लिए गिनती की समस्याओं के अनुप्रयोगों के साथ आने के लिए शायद मुश्किल है। मुझे लगता है कि दोनों ज्यादातर सैद्धांतिक दृष्टिकोण से दिलचस्प हैं, हालांकि एफकेटी की विकी प्रविष्टि कुछ इतिहास और प्रेरणा देती है। वैसे भी, मुख्य बिंदु यह है कि रेखीय बीजगणित ग्राफ एल्गोरिदम को विकसित करने के लिए उपयोगी है, और इस प्रकार कंप्यूटर विज्ञान में अनुप्रयोग हैं।

— जुहो

Answer 3

Google के पेजरैंक एल्गोरिथ्म में रैखिक बीजगणित के सबसे प्रसिद्ध उपयोगों में से एक है :

PageRank मान संशोधित आसन्न मैट्रिक्स के प्रमुख बाएँ eigenvector की प्रविष्टियाँ हैं।

Answer 4

कंप्यूटर ग्राफिक्स, एनीमेशन, कंप्यूटर विज़न, इमेज प्रोसेसिंग, साइंटिफिक कंप्यूटिंग, या फिजिकल इंवेंटेशन के सिमुलेशन से जुड़ी लगभग कुछ चीज़ों में स्थानिक रूपांतरण और अभिविन्यास जैसी साधारण चीजों से लेकर बहुत जटिल एल्गोरिदम तक वैक्टर और मैट्रीस (रैखिक बीजगणित) का व्यापक उपयोग शामिल होगा। ये चीजें सुपरकंप्यूटिंग का डोमेन हुआ करती थीं, लेकिन अब ये बहुत ही क्षेत्र आपके डेस्कटॉप, फोन, और हर जगह, वीडियो गेम से लेकर कम्प्यूटेशनल फोटोग्राफी से लेकर सेल्फ ड्राइविंग कारों तक सभी सबसे अच्छे ऐप्स का मूल हैं। रैखिक बीजगणित हर जगह है।

Answer 5

वहाँ मैट्रिक्स बीजगणित आधारित एल्गोरिदम और तकनीकों के बहुत सारे हैं। और यह बहुत अच्छा है। प्रधान घटक विश्लेषण कुछ काफी उपयोगी लागू रैखिक बीजगणित का एक उदाहरण है। फूरियर विश्लेषण के बारे में भी यही कहा जा सकता है, जो रूढ़िवादी और आंतरिक उत्पादों में भी अपनी जड़ें रखता है। इसलिए प्रत्यक्ष आवेदन हैं।

लेकिन , और भी महत्वपूर्ण बात, एक रैखिक बीजगणित वर्ग लेना मूल्यवान है क्योंकि यह आपको एक निश्चित तरीके से सोचना सिखाता है। अधिकांश अच्छे रैखिक बीजगणित कक्षाएं सामान्यीकरण, तर्क और प्रमाणों पर जोर देती हैं। क्या सामान्य रूप से कुछ सच है, या सिर्फ कुछ विशिष्ट, सामान्य मामले हैं? आप कैसे निश्चित हो सकते हैं? अपनी मान्यताओं को साबित करने के तरीके के बारे में सोचने में सक्षम होने के कारण यह अच्छा है क्योंकि यह आपको खुद को बुरी धारणाएं बनाने और कोड लिखने में मदद करता है जो आपके द्वारा मानने के तरीके को सामान्य नहीं करता है। यह आपको यह सोचने में भी मदद करता है कि चीजों को कैसे सामान्य किया जाए जो सामान्य रूप से मुश्किल हो सकता है, और यह कि आप बड़ी समस्याओं को हल करते हैं।

सारांश में, यह ध्यान रखना अच्छा है कि रैखिक बीजगणित अच्छा है क्योंकि यह आपके मस्तिष्क के उस भाग के लिए भारोत्तोलन है जो कंप्यूटर विज्ञान में उपयोगी है।

Answer 6

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली (जो कि गौसियन उन्मूलन विधि के साथ की जा सकती है) को हल करना, रैखिक प्रोग्रामिंग (जिसे सरल विधि से हल किया जा सकता है), कम से कम वर्ग, और संपीडित संवेदन (विकिपीडिया लेख देखें) कई में उत्पन्न होने वाली व्यावहारिक समस्याएँ हैं। उपयेाग क्षेत्र। रैखिक बीजगणित इन समस्याओं के लिए सही और कुशल एल्गोरिदम विकसित करने में मदद करता है।

पाठ देखें [कॉर्मेन, लिसेरसन, रिवेस्ट और स्टीन, "एल्गोरिदम का परिचय, तीसरा संस्करण"], जहां अध्याय 28 मैट्रिक्स के संचालन पर है और अध्याय 29 रैखिक प्रोग्रामिंग पर है।